第45讲 立体几何中的轨迹问题 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

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三、典题精讲 PAGEREF _Tc236411875 \h 2
考点一：由动点保持平行求轨迹 PAGEREF _Tc236411876 \h 2
考点二：由动点保持垂直求轨迹 PAGEREF _Tc236411877 \h 4
考点三：由动点保持等距(或定长)求轨迹 PAGEREF _Tc236411878 \h 7
考点四：由动点保持等角(或定角)求轨迹 PAGEREF _Tc236411879 \h 17
考点五：投影求轨迹 PAGEREF _Tc236411880 \h 21
考点六：翻折与动点求轨迹 PAGEREF _Tc236411881 \h 23
考点七：立体几何与圆锥曲线的轨迹 PAGEREF _Tc236411882 \h 24
一、考情分析
近三年高考全国一卷未直接或间接涉及本讲核心知识.立体几何中的轨迹问题是培养空间想象能力、逻辑推理能力和代数运算能力的绝佳载体.通过对空间动点轨迹的探究，能够加深对线面平行、线面垂直、空间角与距离等核心概念的理解，同时熟练掌握坐标法、向量法及圆锥曲线定义的综合应用，对解答立体几何压轴题及解析几何综合题具有重要的思维训练价值.
二、知识清单
1. 定义法
（1） 球面定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面.
（2） 中垂面定义：空间中到两定点距离相等的点的集合是这两定点连线的中垂面.
（3） 圆柱面定义：空间中到定直线的距离等于定长的点的集合是圆柱面.
（4） 阿波罗尼斯球：空间中到两定点距离之比为常数（不等于 1）的点的轨迹是球面.
（5） 圆锥曲线定义：平面内到定点的距离与到定直线的距离之比为常数 e 的点的轨迹，当 03，故 D 错误，
故选：D.
【规律】折叠问题中求动点投影的轨迹，关键是利用二面角的平面角构造直角三角形，找到投影点与折痕上垂足的几何位置关系.
考法15：投影法求球的平行投影轨迹
例22.如图，已知水平地面上有一半径为 4 的球，球心为 O'，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆 O.如图，椭圆中心为 O，球与地面的接触点为 E，OE=3.若光线与地面所成角为 θ，椭圆的离心率 e=＿＿＿＿＿＿.
【答案】35
【思路】利用平行投影的性质，结合直角三角形求出椭圆的长短半轴，进而求离心率.
【解析】连接 OO'，
因为 ∠O'OE=θ，O'E=4，OE=3，
所以 O'O=O'E2+OE2=42+32=5，
所以 sinθ=O'EOO'=45，
在照射过程中，椭圆的短半轴长是球的半径，即 b=4，
如图，椭圆的长轴长 2a 是 AC，过点 A 向 BC 作垂线，垂足为 B，
由题意得 AB=2R=8，sin∠ACB=sinθ=45，
因为 sinθ=ABAC=45，所以 AC=10，
所以 2a=10，得 a=5，
所以椭圆的离心率为 e=ca=a2−b2a=25−165=35，
故答案为：35.
【规律】球在平行光下的投影是椭圆，其短半轴长等于球的半径，长半轴长与光线倾斜角有关.通过截面图构造直角三角形是求解关键.
【考点五 方法总结】
1. 折叠问题中求动点投影的轨迹，关键是利用二面角的平面角构造直角三角形，找到投影点与折痕上垂足的几何位置关系.
2. 球在平行光下的投影是椭圆，其短半轴长等于球的半径，长半轴长与光线倾斜角有关.通过截面图构造直角三角形是求解关键.
考点六：翻折与动点求轨迹
考法16：几何法求多边形翻折动点轨迹
例23.已知菱形 ABCD 的各边长为 2，∠D=60∘.如图所示，将 △ACD 沿 AC 折起，使得点 D 到达点 S 的位置，连接 SB，得到三棱锥 S−ABC，此时 SB=3. E 是线段 SA 的中点，点 F 在三棱锥 S−ABC 的外接球上运动，且始终保持 EF⟂AC，则点 F 的轨迹的周长为（ ）
A. 233π
B. 433π
C. 533π
D. 2213π
【答案】C
【思路】确定外接球球心位置，利用线面垂直找到动点所在的平面，求出截面圆半径即可.
【解析】取 AC 中点 M，则 AC⟂BM，AC⟂SM，BM∩SM=M，
∴AC⟂ 平面 SMB，SM=MB=3，又 SB=3，∴∠SBM=∠MSB=30∘，作 EH⟂AC 于 H，设点 F 轨迹所在平面为 α，则平面 α 经过点 H 且 AC⟂α，设三棱锥 S−ABC 外接球的球心为 O，△SAC，△BAC 的中心分别为 O1，O2，易知 OO1⟂ 平面 SAC，OO2⟂ 平面 BAC，且 O，O1，O2，M 四点共面，由题可得 ∠OMO1=12∠O1MO2=60∘，O1M=13SM=33，解 Rt△OO1M，得 OO1=3O1M=1，又 O1S=23SM=233，则三棱锥 S−ABC 外接球半径 r=OO12+O1S2=73，易知 O 到平面 α 的距离 d=MH=12，
故平面 α 截外接球所得截面圆的半径为 r1=r2−d2=73−14=536，
∴ 截面圆的周长为 l=2πr1=533π，即点 F 轨迹的周长为 533π.
故选：C.
【规律】翻折问题中求外接球上的动点轨迹，核心是先定位外接球球心，再根据垂直条件确定动点所在的截面，最后利用勾股定理求截面圆半径.
考法17：几何法求多边形翻折投影轨迹
例24.已知 △ABC 的边长都为 2，在边 AB 上任取一点 D，沿 CD 将 △BCD 折起，使平面 BCD⟂ 平面 ACD.在平面 BCD 内过点 B 作 BP⟂ 平面 ACD，垂足为 P，那么随着点 D 的变化，点 P 的轨迹长度为（ ）
A. π6 B. π3 C. 2π3 D. π
【答案】C
【思路】利用面面垂直的性质定理，确定投影点P恒在过B作CD的垂线上，进而转化为平面几何中的轨迹问题.
【解析】由题意，在平面 BCD 内作 BQ⟂CD，交 CD 于 Q，因为平面 BCD⟂ 平面 ACD，平面 BCD 与平面 ACD 交于 CD，所以 BQ⟂ 平面 ACD，又 BP⟂ 平面 ACD，所以 P，Q 两点重合，于是随着点 D 的变化，BP⟂CD 始终成立，可得在平面 ABC 中，BP⟂CP 始终成立，即得点 P 的轨迹是以 BC 为直径的圆的一部分，由题意知随着点 D 的变化，∠BCD 的范围为 [0,π3]，可得点 P 的轨迹是以 BC 为直径 (半径为 1) 的圆的 13，即得点 P 的轨迹长度为 13×2π×12=23π.
故选：C.
【规律】翻折过程中的投影点轨迹，通常利用面面垂直性质定理，将投影点锁定在某条直线上.若该直线与某定直线始终垂直，则轨迹为圆弧.
【考点六 方法总结】
1. 翻折问题中求外接球上的动点轨迹，核心是先定位外接球球心，再根据垂直条件确定动点所在的截面，最后利用勾股定理求截面圆半径.
2. 翻折过程中的投影点轨迹，通常利用面面垂直性质定理，将投影点锁定在某条直线上.若该直线与某定直线始终垂直，则轨迹为圆弧.
考点七：立体几何与圆锥曲线的轨迹
考法18：坐标法求空间距离转化轨迹
例25.已知正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 22，对角线 AC1 的中点为 F，动点 P 在平面 AA1C1C 内，且点 P 到平面 AA1B1B 的距离等于 22|PF|.
（1）求四棱锥 P−AA1B1B 体积的最小值；
（2）记点 P 的轨迹为曲线 M，点 G，R，Q 是曲线 M 上不同三点.
（i）若平面 AB1F 与轨迹 M 相交于 R，G 两点，求线段 RG 的长；
（ii）若点 G 在点 F 上方，且 GF⟂AC，GR，GQ 与平面 ABCD 所成角相等，平面 α 过 R，Q 且与 AB 平行，判断平面 α 与平面 ABCD 的夹角是否为定值，若是定值，求出这个夹角的余弦值；若不是定值，请说明理由.
【答案】（1）83 （2）（i）12 （ii）是定值，33
【思路】将空间距离关系转化为平面内的抛物线定义，建立空间直角坐标系，利用向量法和解析几何方法综合求解.
【解析】（1）设点 P 到平面 AA1B1B 和直线 AA1 的距离分别为 d1，d2，
因为点 P 在平面 AA1C1C 内，且平面 AA1B1B 与平面 AA1C1C 的夹角为 π4，
因此 d1=22d2，得 d2=|PF|，
所以点 P 的轨迹是 F 为焦点，AA1 为准线的抛物线，
当点 P 在抛物线的顶点 O 处时，d2 最小，
最小值为 14AC=1，此时 dmin=22，
所以四棱锥 P−AA1B1B 体积的最小值为 13×8×22=423；
（2）设 AA1 的中点为 E，则 EF∥AC，如图 1，
以 EF 的中点 O 为原点，EF 所在直线为 y 轴，过点 O 且垂直于平面 ABCD 的直线为 z 轴，过点 O 且平行于 BD 的直线为 x 轴，建立空间直角坐标系 O−xyz，设点 P(0,y,z)，则 z2=4y，
（i）平面 AB1F 与平面 AA1C1C 的交线为 AF，
因此 R，G 是直线 AF 与抛物线 M 的交点，如图 2，
在平面 AA1C1C 中，可以设 GR:z=22(y−1)，
与抛物线 M 方程联立，得：y2−10y+1=0，
因此，|GR|=|GF|+|RF|=y1+1+y2+1=12；
（ii）如图 3，
在平面 AA1C1C 中，点 G 在点 F 上方，且 GF⟂AC，
得到点 G 坐标为 (1,2)，因为 GR，GQ 与平面 ABCD 所成角相等，
所以 GR，GQ 与 AC 所成角相等，
因此，GR，GQ 的斜率互为相反数，
设 R(y1,z1)，Q(y2,z2)，则 z1−2y1−1+z2−2y2−1=0，
得 z1−2z124−1+z2−2z224−1=0⇒z1+z2=−4，
因此，kRQ=z1−z2y1−y2=z1−z2z124−z224=4z1+z2=−1，
因此，在空间直角坐标系中，RQ 的方向向量为 (0,1,−1)，
又 AB=(2,2,0)，
设平面 α 的法向量 n=(x,y,z)，
由 n⟂RQ⇒y=z，由 n⟂AB⇒x+y=0，
令 y=1，则 n=(−1,1,1)，
又平面 ABCD 的法向量 m=(0,0,1)，cs⟨n,m⟩=33.
【考点七 方法总结】
1. 空间中的距离关系若能转化为平面内动点到定点与定直线的距离相等，则可判定轨迹为抛物线.后续常结合坐标系转化为解析几何综合题.