第59讲 统计与成对数据分析 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

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三、典题精讲 PAGEREF _Tc237112332 \h 6
考点一：抽样方法与统计图表 PAGEREF _Tc237112333 \h 6
考点二：样本的数字特征与百分位数 PAGEREF _Tc237112334 \h 11
考点三：总体分布的估计与分层抽样方差 PAGEREF _Tc237112335 \h 17
考点四：变量间的相关关系与一元线性回归 PAGEREF _Tc237112336 \h 19
考点五：非线性回归模型与误差分析 PAGEREF _Tc237112337 \h 25
考点六：列联表与独立性检验 PAGEREF _Tc237112338 \h 28
四、高考真题 PAGEREF _Tc237112339 \h 32
一、考情分析
1. 考查频次与题型
近三年全国一卷共考查2次，2025年以解答题形式直接考查（13分），2026年以单选题形式直接考查（5分），2024年未考查.
2. 命题角度与特色
（1） 基础概念的直接应用：2026年直接给出样本数据，要求计算中位数，考查对基本统计量定义的掌握程度.
（2） 结合实际情境的统计推断：2025年以医疗检查为背景，考查列联表数据的提取、概率的估计以及利用卡方公式进行独立性检验，侧重于数据分析与统计推断能力.
3. 备考策略
（1） 熟练掌握基础统计量：准确记忆并熟练运用平均数、中位数、众数、方差、标准差以及百分位数的计算公式与性质.
（2） 强化独立性检验与回归分析：重点掌握列联表的构建与卡方值的计算，理解独立性检验的基本思想；熟悉线性回归方程的求解步骤及残差分析的意义，提升解决实际应用题的能力.
二、知识清单
1. 抽样方法
（1） 抽样调查
① 总体：统计中所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合称为总体.
② 个体：构成总体的每一个元素叫做个体.
③ 样本：从总体中抽取若干个个体进行考察，这若干个个体所构成的集合叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量.
（2） 简单随机抽样
① 定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.这样抽取的样本，叫做简单随机样本.
② 两种常用的简单随机抽样方法：抽签法、随机数法.
③ 抽签法与随机数法的适用情况：抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况.
④ 简单随机抽样的特征：有限性、逐一性、不放回性、等可能性.
（3） 分层抽样
① 定义：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样.
② 适用情况：分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的.
注意：分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取ni=n×NiN个个体（其中i是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层中个体的个数，N是总体容量）.
③ 分层随机抽样的均值与方差：假设总体分为两层，各层的样本量分别为n1,n2，样本均值分别为x1,x2，样本方差分别为s12,s22.记总样本量为n=n1+n2.总样本均值x=n1nx1+n2nx2.总样本方差s2=n1n[s12+(x1−x)2]+n2n[s22+(x2−x)2].此公式可自然推广至多层的情形.
2. 用样本估计总体
（1） 频率分布直方图
① 频率、频数、样本容量的计算方法：频率 = 频数 / 样本容量，小矩形面积 = 频率 / 组距 × 组距 = 频率.
② 频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于1.
（2） 频率分布直方图中数字特征的计算
① 众数：最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.
② 中位数：中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.
③ 平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
（3） 百分位数
① 定义：一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100−p)%的数据大于或等于这个值.
② 四分位数：第25百分位数，第50百分位数（中位数），第75百分位数.
（4） 样本的数字特征
① 众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数.
② 中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.
③ 平均数：n个样本数据x1,x2,⋯,xn的平均数为x=x1+x2+⋯+xnn.
（5） 标准差和方差
① 标准差：s=1n(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(xn−x)2.
② 方差：s2=1n(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(xn−x)2.
③ 数据特征：标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动程度的大小.标准差、方差越大，则数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小.
④ 平均数、方差的性质：如果数据x1,x2,⋯,xn的平均数为x，方差为s2，那么一组新数据ax1+b,ax2+b,⋯,axn+b的平均数为ax+b，方差是a2s2.
3. 变量间的相关关系与线性回归
（1） 变量之间的相关关系
① 概念：当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则这两个变量之间的关系叫相关关系.
（2） 散点图
① 正相关：如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.
② 负相关：如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为负相关.
（3） 相关系数
① 公式：r=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2i=1n(yi−y)2=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2i=1nyi2−ny2.
② 性质：r的范围为−1≤r≤1.当r>0时，表示两个变量正相关；当r0.75时，认为两个变量具有很强的线性相关关系.
（4） 线性回归
① 线性回归方程：y=bx+a.
② 参数求法：b=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2，a=y−bx.其中x=1ni=1nxi，y=1ni=1nyi，(x,y)称为样本点的中心.
③ 经验回归直线的性质：经验回归直线y=bx+a必过样本中心点(x,y).残差的和为0，即i=1nei=i=1n(yi−yi)=0.
（5） 残差分析
① 残差：ei=yi−yi.
② 残差图：通过残差分析，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精确度越高.
③ 残差平方和：Q=i=1n(yi−yi)2.残差平方和越小，则说明选用的模型的拟合效果越好.
④ 相关指数：R2=1−i=1n(yi−yi)2i=1n(yi−y)2.R2越接近于1，说明残差的平方和越小，也表示回归的效果越好.
（6） 非线性回归模型
① 对于不呈线性相关的两个变量，可以通过变量代换将其转化为线性回归模型.
② 常见的非线性模型包括：指数函数型y=cekx（两边取自然对数转化为lny=lnc+kx）；对数函数型y=a+blnx（令u=lnx转化为y=a+bu）；幂函数型y=axb（两边取对数转化为lny=lna+blnx）；反比例函数型y=a+bx（令u=1x转化为y=a+bu）.
4. 独立性检验
（1） 分类变量和列联表
① 分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量.
② 列联表：列出的两个分类变量的频数表称为列联表.
③ 从2×2列表中，依据aa+b与cc+d的值可直观得出结论：两个变量是否有关系.
（2） 等高条形图
① 等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图表示列联表数据的频率特征.
（3） 独立性检验
① 零假设：在进行独立性检验时，首先提出零假设H0：分类变量X和Y相互独立（即两个分类变量没有关联）.
② 公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).
③ 检验规则：基于小概率值α的检验规则是，当χ2≥xα时，推断H0不成立，即认为X和Y不独立（有关联），该推断犯错误的概率不超过α；当χ276.16，所以前5个月的营业额的方差确实大于后5个月，C正确；
对于D：将10个数据从小到大排序：21,23,25,29,30,36,41,43,47,60,
因为10×70%=7，所以第70百分位数取第7项和第8项的平均数41+432=42，D错误.
故选：AC.
考法3：结合频率分布直方图计算频数与频率
3.某大学有男生2000名.为了解该校男生的身体体重情况，随机抽查了该校100名男生的体重（单位：kg）分成以下六组：[54,58)、[58,62)、[62,66)、[66,70)、[70,74)、[74,78]，绘制成如下的频率分布直方图：
该校体重（单位：kg）在区间[70,78]上的男生大约有＿＿＿＿＿＿人.
【答案】240
【思路】根据频率分布直方图中各小矩形的面积等于频率，求出目标区间的频率，再乘以样本容量即可得到人数.
【解析】由频率分布直方图可知，该校体重（单位：kg）在区间[70,78]上的男生的人数为
2000×(0.02+0.01)×4=240.
故答案为：240.
4.（2026·湖南株洲·一模）从某社区1万余名居民中随机调查了部分居民，获得了他们的每日运动时长数据，整理得到如下频率分布直方图.
（1） 求a的值；
（2） 假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该社区全体居民的每日平均运动时长；
（3） 若用样本的频率估计总体的概率，现从该社区居民中随机抽取4人，用X表示每日运动时长在50分钟以上的居民人数，求随机变量X的数学期望E(X).
【答案】（1） a=0.01
（2） 42.5分钟
（3） 1
【思路】（1）利用频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1求参数；（2）利用各组区间中点值乘以对应频率之和估计平均数；（3）先求出单次抽取的概率，再利用二项分布的期望公式求解.
【解析】（1） 根据题意得：(0.005×2+a+0.02×2+0.04)×10=1，
解得a=0.01.
（2） 设样本中居民的运动时长的平均数为x，
x=15×0.05+25×0.1+35×0.2+45×0.4+55×0.2+65×0.05=42.5
所以估计该社区全体居民的每日平均运动时长为42.5分钟.
（3） 从该社区居民中随机抽取一名居民，根据直方图中的信息，
估计每日运动时长在50分钟以上的概率14，
随机变量X服从二项分布，X∼B4,14，E(X)=4×14=1.
考法4：利用频率分布直方图估算样本数字特征
5.（2025·安徽淮北·二模）（多选）某校100名学生学业水平测试数学成绩的频率分布直方图如图所示，已知所有学生成绩均在区间[50,100]内，则（ ）
A. 图中a的值为0.005 B. 这组数据的平均数为73
C. 这组数据的众数为75 D. 这组数据的中位数约为71.7
【答案】ABD
【思路】利用频率之和为1求出参数a；根据各组组中值与对应频率的乘积之和计算平均数；找到最高矩形对应的组中值作为众数；根据中位数左右两侧面积相等估算中位数.
【解析】对于A，由频率分布图可知：(2a+0.02+0.03+0.04)×10=1，解得a=0.005，故A正确；
对于B，由频率分布图可知：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73，故B正确；
对于C，由频率分布图可知众数为65，故C错误；
对于D，设这组数据的中位数约为x，因为0.05+0.4=0.450.5，
所以中位数x在区间[70,80]内，则(x−70)×0.03=0.5−0.05−0.4，解得x≈71.7，故D正确；
故选：ABD.
6.（2025·福建宁德·模拟）某地组织全市高中学生开展青少年劳动技能知识竞赛，竞赛分为笔试和操作两部分，随机抽取了100名高中学生的笔试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示.
（1） 根据频率分布直方图，估计笔试成绩的样本平均数和第一四分位数.
（2） 用频率估计概率，笔试成绩在80分（含）以上记为良好.经统计，学生笔试等级为良好的情况下操作等级为良好的概率为0.8，学生笔试等级非良好的情况下操作等级为良好的概率为0.6.从全市所有高中学生中选取5人，记操作等级为良好的人数为X，求X的数学期望与方差.
【答案】（1） 平均数62，第一四分位数52.5
（2） E(X)=3.1，D(X)=1.178
【思路】（1）利用组中值估计平均数，根据频率之和为0.25估计第一四分位数；（2）利用全概率公式求出单次操作良好的概率，再结合二项分布的期望与方差公式求解.
【解析】（1） 设笔试成绩样本平均数为x，第一四分位数（即下四分位数）为t，
则x=40×0.1+50×0.2+60×0.3+70×0.24+80×0.12+90×0.04=62
前一组频率为0.10.25，
所以第一四分位数（即下四分位数）落在第二组内，则0.1+(t−45)×0.02=0.25，解得t=52.5；
（2） 记“笔试成绩等级良好”为事件A，“操作成绩等级为良好”为事件B，
依题意P(A)=0.122+0.04=0.1，P(A)=1−P(A)=0.9，P(B|A)=0.8，P(B|A)=0.6，
所以P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A)P(A)=0.8×0.1+0.6×0.9=0.62，
则X∼B(5,0.62)，所以E(X)=5×0.62=3.1，D(X)=5×0.62×(1−0.62)=1.178.
【考点一 方法总结】
1. 分层抽样问题类型及解题思路：
（1） 求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算.
（2） 已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算.
（3） 分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比 = 样本容量 / 总体容量 = 各层样本数量 / 各层个体数量”.
2. 频率分布直方图数字特征的计算：
（1） 众数：最高矩形的底边中点的横坐标.
（2） 中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等.
（3） 平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和.
考点二：样本的数字特征与百分位数
考法5：依据定义计算离散数据的百分位数
7.（2026·安徽安庆·二模）统计某地区2025年上半年的月降水量，数据如下表：
则该地区上半年月降水量的75%分位数为＿＿＿＿＿＿.
【答案】56
【思路】先将数据从小到大排序，然后根据百分位数的计算规则，用样本容量乘以百分比，若为小数则向上取整，找到对应位置的数据.
【解析】将6个降水量数据从小到大排列：46，48，53，56，56，58，则样本容量为6.
根据百分位数计算规则，可得6×0.75=4.5
因为4.5不是整数，
所以向上取整5，因此75%分位数为排序后第5个数据，即56.
考法6：结合频率分布直方图估算百分位数
8.（2026·山东滨州·二模）某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对200位参赛学生的综合表现进行评分.学生得分的频率分布直方图如图所示，根据图中数据，估计得分的第80百分位数为（ ）
A. 78 B. 82 C. 85 D. 88
【答案】D
【思路】先根据频率之和为1求出参数，然后计算前几组的频率之和，确定第80百分位数所在的区间，最后通过列方程求解.
【解析】由频率分布直方图的性质可得，(2a+3a+4a+5a+6a)×10=1，解得a=0.005.
前三组的频率之和为(2a+4a+6a)×10=120a=0.6，前四组的频率之和为0.6+5a×10=0.6+0.25=0.85，
所以第80百分位数在区间[80,90)内，
设第80百分位数为x，则0.6+(x−80)×0.025=0.8，解得x=88.
故选：D.
9.（2026·河南郑州·二模）（多选）在一次歌唱比赛中，11位评委给某位选手打分分值从小到大排列依次为a1,a2,a3,⋯,a11，这组分值的中位数和平均数均为a，方差为S2.现从中去掉一个最低分a1，再去掉一个最高分a11后，将剩下的9个分值从小到大排列为b1,b2,b3,⋯,b9，方差为S22.下列说法中一定正确的是（ ）
A. a1⋅a11