第58讲 定点、定值与存在性问题 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

这是一份第58讲 定点、定值与存在性问题 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】，共13页。
三、典题精练 PAGEREF _Tc237110045 \h 3
考点一：直线与曲线过定点问题 PAGEREF _Tc237110046 \h 3
考点二：圆锥曲线中的定值问题 PAGEREF _Tc237110047 \h 5
考点三：圆锥曲线中的存在性问题 PAGEREF _Tc237110048 \h 8
一、考情分析
近三年高考全国一卷未直接或间接涉及本讲核心知识.定点、定值与存在性问题涵盖了圆锥曲线中的核心代数运算（如韦达定理的应用、斜率与向量的转化、复杂代数式的化简等）.通过本讲的练习，可系统提升解析几何的代数变形与综合求解能力，为应对高考圆锥曲线综合题提供必要的运算基础与方法支撑.
二、知识清单
1. 定点、定值问题的常见求解策略
（1） 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量、函数、定值”，具体操作程序如下：
① 变量：选择适当的量为变量.
② 函数：把要证明为定值的量表示成变量的函数.
③ 定值：化简得到的函数解析式，消去变量得到定值.
（2） 求定值问题常见的方法有两种：
① 从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关.
② 直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值.
（3） 常用消参方法：
① 等式代入消参：找到两个参数之间的等式关系 F(k,m)=0，用一个参数表示另外一个参数 k=f(m)，即可代入其他式子，消去参数 k.
② 分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值.
③ 因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉.
④ 参数无关消参：当与参数相关的因式为 0 时，此时与参数的取值没什么关系，比如：y−2+kg(x)=0，只要因式 g(x)=0，就和参数 k 没什么关系了，或者说参数 k 不起作用.
（4） 求解直线过定点问题常用方法如下：
① “特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明.
② “一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点.
③ 求证直线过定点 (x0,y0)，常利用直线的点斜式方程 y−y0=k(x−x0) 或截距式 y=kx+b 来证明.
（5） 一般解题步骤：
① 斜截式设直线方程：y=kx+m，此时引入了两个参数，需要消掉一个.
② 找关系：找到 k 和 m 的关系：m=f(k)，等式代入消参，消掉 m.
③ 参数无关找定点：找到和 k 没有关系的点.
2. 解决存在性问题的技巧
① 特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立.
② 假设法：先假设存在，推证满足条件的结论.若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在.
3. 圆锥曲线中常见的定点与定值结论
（1） 抛物线中的定点与定值结论：
① 焦点弦性质：过抛物线 y2=2px(p>0) 焦点 F 的直线交抛物线于 A(x1,y1)、B(x2,y2) 两点，则 y1y2=−p2，x1x2=p24（定值）.
② 焦半径倒数和：过抛物线 y2=2px(p>0) 焦点 F 的弦 AB，则 1|AF|+1|BF|=2p（定值）.
③ 垂直弦过定点：若抛物线 y2=2px(p>0) 上的两动点 A、B 满足 OA⟂OB（O 为坐标原点），则直线 AB 恒过定点 (2p,0).
（2） 椭圆与双曲线中的定点与定值结论：
① 焦半径倒数和：过椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 焦点 F 的弦 AB，则 1|AF|+1|BF|=2ab2（定值）.
② 斜率乘积定值（第三定义）：若 A、B 是椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点（异于 A、B），则直线 PA 与 PB 的斜率之积 kPA⋅kPB=−b2a2（定值）.对于双曲线 x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，该定值为 b2a2.
③ 中点弦斜率定值：若 P(x0,y0) 是椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 弦 AB 的中点，则 kAB⋅kOP=−b2a2（定值）.对于双曲线 x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，该定值为 b2a2.
三、典题精练
考点一：直线与曲线过定点问题
考法1：联立方程与韦达定理求解直线过定点问题
1.（2026·安徽铜陵·一模）已知双曲线 E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 的左顶点 A(−2,0)，一条渐近线方程为 y=32x.
（1） 求双曲线 E 的标准方程；
（2） 设双曲线 E 的右顶点为 B，P 为直线 x=−1 上的动点，连接 PA，PB 交双曲线于 M ，N 两点 (异于 A，B)，记直线 MN 与 x 轴的交点为 Q．
①求证：Q 为定点；
②直线 MN 交直线 x=−1 于点 D，记 QD=λQM ，QD=μQN.求证：λ+μ 为定值．
2.（2026·浙江名校协作体·联考）已知椭圆 C:43x2+2y2=1，动点 P(x0,y0) 在抛物线 y2=x+1 上，过点 P 作椭圆的两条切线分别交抛物线于不同的两点 A(x1,y1)，B(x2,y2)．
（1）求椭圆 C 的焦距；
（2）若切线 AP 与椭圆的切点恰好是 AP 的中点，求直线 AP 的方程；
（3）证明：直线 AB 经过定点，并写出定点坐标．
3.（2026·山东临沂·模拟）已知椭圆 C:x216+y212=1(a>b>0) 的两个焦点分别为 F1，F2，点 P 是 C 上的一动点，当 △PF1F2 面积取到最大值 43 时，∠PF1F2=60∘.
（1）求 C 的方程；
（2）过点 E(3,0) 的直线 l 与 C 交于 A,B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点为 A1(A1 与 B 不重合).
（i）求证：直线 A1B 过定点；
（ii）求 △EA1B 面积的最大值.
4.已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的右顶点是 M(2,0)，离心率为 12．
（1） 求椭圆 C 的标准方程．
（2） 过点 T(4,0) 作直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，点 B 关于 x 轴的对称点为 D，问直线 AD 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
考法2：利用三点共线与斜率相等转化求解直线过定点问题
5.已知椭圆 Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的左、右焦点分别为 F1,F2，过点 B(0,b) 且与直线 BF2 垂直的直线交 x 轴负半轴于 D，且 2F1F2+F2D=0．
（1） 求椭圆 Γ 的离心率；
（2） 若过 B、D、F2 三点的圆恰好与直线 l:x−3y−6=0 相切，求椭圆 Γ 的方程；
（3） 设 a=2．过椭圆 Γ 右焦点 F2 且不与坐标轴垂直的直线 l 与椭圆 Γ 交于 P、Q 两点，点 M 是点 P 关于 x 轴的对称点，在 x 轴上是否存在一个定点 N，使得 M、Q、N 三点共线？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，说明理由．
6.已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的焦距为 2，长轴长为 4.
（1） 求椭圆 E 的方程及离心率；
（2） 过点 M(−3,0) 且与 x 轴不重合的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 B、C，点 B 关于 x 轴的对称点为 B'.问：平面内是否存在定点 P，使得 B' 恒在直线 PC 上？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由.
考法3：构建曲线系方程求解曲线过定点问题
7.（2026·浙江名校协作体·联考）若曲线族（具有某种共同性质的所有曲线的集合）满足条件：存在直线 l，使得曲线族中存在无数个点在该直线上，称该曲线族是“完美的”，下列曲线族是“完美的”是
A. (x−a)2+(y−a2)2=a22(a∈N∗)
B. (x−a2)2+(y−a)2=a2(a∈N∗)
C. (x−a)2+(y−a)2=a22(a∈N∗)
D. (x−a)2+(y−a)2=a2(a∈N∗)
8.（2026·安徽马鞍山·二模）已知曲线 C:y=ax(a>0,a≠1) 恒过定点 A，点 P 是曲线 C 上的一个动点，点 B12,0，当 BA⋅BP 的最小值为 54 时，a=＿＿＿＿＿＿.
【考点一 方法总结】
1. 联立方程与韦达定理法：设出直线方程，与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，再代入目标代数式中化简，消去参数得到定点.
2. 三点共线与斜率相等转化法：利用已知点或对称点，将三点共线转化为斜率相等或斜率互为相反数，结合韦达定理化简求出定点.
3. 构建曲线系方程法：对于具有某种共同性质的曲线族，通过化简方程，分离出参数，令参数的系数为零，从而求出曲线恒过的定点.
考点二：圆锥曲线中的定值问题
考法4：利用韦达定理与斜率公式证明斜率与角度定值问题
9.（2026·山东德州·一模）已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的焦距为 2，点 (1,32) 在 C 上，O 为坐标原点．
（1） 求椭圆 C 的标准方程；
（2） 过椭圆 C 右焦点 F 的直线 l 与椭圆交于 A,B 两点．
（i） 若点 M 的坐标为 (4,0)，证明：∠OMA=∠OMB；
（ii） 若 AF=λFB，当 λ∈[12,2] 时，求弦长 |AB| 的取值范围．
10.已知 C1:x2a+y24−a=1(00) 与抛物线 C2:x2=2p2y(p2>0) 在第一象限交于点 P.
（1） 已知 F 为抛物线 C1 的焦点，若 PF 的中点坐标为 (1,1)，求 p1；
（2） 设 O 为坐标原点，直线 OP 的斜率为 k1. 若斜率为 k2 的直线 l 与抛物线 C1 和 C2 均相切，证明 k1+k2 为定值，并求出该定值.
12.已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的离心率为 22，以 C 的短轴为直径的圆与直线 y=ax+6 相切．
（1） 求 C 的方程；
（2） 直线 l:y=k(x−1)(k≥0) 与 C 相交于 A，B 两点，过 C 上的点 P 作 x 轴的平行线交线段 AB 于点 Q，且 PQ 平分 ∠APB，设直线 OP 的斜率为 k'(O 为坐标原点)，判断 k⋅k' 是否为定值？并说明理由．
考法5：结合坐标运算与韦达定理证明向量数量积定值问题
13.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F1，F2 是 C 的左、右焦点，过 F1 的动直线 l 与 C 交于不同的两点 A，B 两点，且 △ABF2 的周长为 42，椭圆 C 的其中一个焦点在抛物线 y2=4x 准线上，
（1） 求椭圆 C 的方程；
（2） 已知点 M−54,0，证明：MA⋅MB 为定值.
14.已知点 P 到 A(−2,0) 的距离是点 P 到 B(1,0) 的距离的 2 倍.
（1） 求点 P 的轨迹方程；
（2） 若点 P 与点 Q 关于点 B 对称，过 B 的直线与点 Q 的轨迹 Γ 交于 E，F 两点，探索 BE⋅BF 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
15.已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的右焦点为 F(1,0)，点 P−1,32 在 E 上．
（1） 求椭圆 E 的标准方程；
（2） 过点 F 的直线 l 与椭圆 E 交于 A，B 两点，点 Q 为椭圆 E 的左顶点，直线 QA，QB 分别交 x=4 于 M，N 两点，O 为坐标原点，求证：OM⋅ON 为定值．
16.（2026·山东德州·二模）在平面直角坐标系 xOy 中，点 T 到点 (0,22) 的距离是它到直线 y=2 距离的 2 倍，记点 T 的轨迹为 C．
（1） 求 C 的方程；
（2） 设点 A 为 C 的下顶点，直线 l 过点 P(0,t) 且垂直于 y 轴（P 位于原点与上顶点之间），过 P 的直线交 C 于 G,H 两点，直线 AG,AH 分别交 l 于 M,N 两点．
①证明：OM⋅ON 为定值；
②是否存在实数 t 使得 O,A,N,M 四点共圆？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．
考法6：运用弦长与距离公式证明线段长度与面积定值问题
17.（2026·山东师大附中·检测）已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的离心率 e=32，且经过点 (0,1)，O 为坐标原点，斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 E 交于 P,Q 两点，∠POQ=π2.
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）证明：点 O 到直线 l 的距离是定值；
（3）求 |PQ|2 的取值范围.
18.已知 l1，l2 既是双曲线 C1:x2−y24=1 的两条渐近线，也是双曲线 C2:x2a2−y2b2=1 的渐近线，且双曲线 C2 的焦距是双曲线 C1 的焦距的 3 倍.
（1） 任作一条平行于 l1 的直线 l 依次与直线 l2 以及双曲线 C1，C2 交于点 L，M，N，求 MNNL 的值；
（2） 如图，P 为双曲线 C2 上任意一点，过点 P 分别作 l1，l2 的平行线交 C1 于 A，B 两点，证明：△PAB 的面积为定值，并求出该定值.
19.如图，已知椭圆 C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的左右焦点分别为 F1，F2，点 A 为 C1 上的一个动点 (非左右顶点)，连接 AF1 并延长交 C1 于点 B，且 △ABF2 的周长为 8，△AF1F2 面积的最大值为 2．
（1） 求椭圆 C1 的标准方程；
（2） 若椭圆 C2 的长轴端点为 F1,F2，且 C2 与 C1 的离心率相等，P 为 AB 与 C2 异于 F1 的交点，直线 PF2 交 C1 于 M,N 两点，证明：|AB|+|MN| 为定值．
20.已知抛物线 C1:y2=px(p>0) 的焦点为 F1，抛物线 C2:y2=2px 的焦点为 F2，且 |F1F2|=12．
（1） 求 p 的值；
（2） 若直线 l 与 C1 交于 M，N 两点，与 C2 交于 P，Q 两点，M，P 在第一象限，N，Q 在第四象限，且 |MP|=2|NQ|，证明：|MN||PQ| 为定值．
【考点二 方法总结】
1. 斜率与角度定值问题：设出直线方程并与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理表示出两直线的斜率之和或斜率之积，化简证明其为常数，从而推导出角度的定值关系.
2. 向量数量积定值问题：将向量的坐标用交点的坐标表示，利用数量积坐标公式展开，结合韦达定理将参数消去，最终得到与参数无关的常数.
3. 线段长度与面积定值问题：利用弦长公式或点到直线的距离公式表示出线段长度或三角形面积，将其转化为关于某个参数的函数，通过代数变形证明该函数值为常数.
考点三：圆锥曲线中的存在性问题
考法7：转化斜率与向量关系探究角度存在性问题
21.已知椭圆 C1:x2a2+y2=1(a>1) 的左右焦点分别为 F1、F2，A,B 分别为椭圆 C1 的上，下顶点，F2 到直线 AF1 的距离为 3．
（1） 求椭圆 C1 的方程；
（2） 直线 x=x0 与椭圆 C1 交于不同的两点 C,D，直线 AC,AD 分别交 x 轴于 P,Q 两点．问：y 轴上是否存在点 R，使得 ∠ORP+∠ORQ=π2？若存在，求出点 R 的坐标；若不存在，请说明理由．
22.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 经过点 A(−2,0) 且两个焦点及短轴两顶点围成四边形的面积为 4.
（1） 求椭圆 C 的方程和离心率；
（2） 设 P，Q 为椭圆 C 上不同的两个点，直线 AP 与 y 轴交于点 E，直线 AQ 与 y 轴交于点 F，且 P、O、Q 三点共线. 其中 O 为坐标原点. 问：x 轴上是否存在点 M，使得 ∠AME=∠EFM？若存在，求点 M 的坐标，若不存在，说明理由.
23.已知点 A 是圆 C:(x−1)2+y2=16 上的任意一点，点 F(−1,0)，线段 AF 的垂直平分线交 AC 于点 P．
（1） 求动点 P 的轨迹 E 的方程；
（2） 若过点 G(3,0) 且斜率不为 0 的直线 l 交 （1） 中轨迹 E 于 M、N 两点，O 为坐标原点，点 B(2,0)．问：x 轴上是否存在定点 T，使得 ∠MTO=∠NTB 恒成立．若存在，请求出点 T 的坐标，若不存在，请说明理由．
24.已知椭圆 C:x2a2+y23=1(a>0) 经过点 −1,32，过点 T(3,0) 的直线交该椭圆于 P，Q 两点.
（1） 求 △OPQ 面积的最大值，并求此时直线 PQ 的方程；
（2） 若直线 PQ 与 x 轴不垂直，在 x 轴上是否存在点 S(s,0) 使得 ∠PST=∠QST 恒成立？若存在，求出 s 的值；若不存在，说明理由.
25.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 过点 1,22，且上顶点与右顶点的距离为 3．
（1） 求椭圆 C 的方程；
（2） 若过点 P(3,0) 的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点，x 轴上是否存在点 Q 使得 ∠PQA+∠PQB=π，若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
考法8：构建坐标方程探究数量积与线段存在性问题
26.已知椭圆 E 的中心在原点，焦点在 x 轴上，椭圆的左顶点坐标为 (−2,0)，离心率为 e=22．
（1） 求椭圆 E 的方程；
（2） 过点 (1,0) 作直线 l 交 E 于 P、Q 两点，试问：在 x 轴上是否存在一个定点 M，使 MP⋅MQ 为定值？若存在，求出这个定点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
27.已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的一个焦点与抛物线 y2=43x 的焦点 F 重合，且椭圆短轴的两个端点与 F 构成正三角形.
（1） 求椭圆的方程；
（2） 若过点 (1,0) 的直线 l 与椭圆交于不同两点 P、Q，试问在 x 轴上是否存在定点 E(m,0)，使 PE⋅QE 恒为定值？若存在，求出 E 的坐标及定值；若不存在，请说明理由.
28.已知 F1、F2 为双曲线 E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 的左、右焦点，E 的离心率为 5，M 为 E 上一点，且 |MF2|−|MF1|=2.
（1） 求 E 的方程；
（2） 设点 M 在坐标轴上，直线 l 与 E 交于异于 M 的 A、B 两点，且点 M 在以线段 AB 为直径的圆上，过 M 作 MC⟂AB，垂足为 C，是否存在点 D，使得 |CD| 为定值？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由.
29.已知为 O 坐标原点，A(2,0)，B(0,1)，C(0,−1)，D(2,1)，OE=λOA，DF=λDA，0