2026年高考数学一轮复习第七章立体几何与空间向量第04讲直线、平面垂直的判定与性质(复习讲义)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习第七章立体几何与空间向量第04讲直线、平面垂直的判定与性质(复习讲义)(学生版+解析)，共18页。学案主要包含了方法技巧，变式1-1，变式1-2，变式2-1，变式2-2，变式2-3，变式2-4，变式3-1·变题型等内容，欢迎下载使用。

01 TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc203519574" \l "_Tc203519575" 考情解码·命题预警 PAGEREF _Tc203519575 \h 2
\l "_Tc203519576" 02 体系构建·思维可视 PAGEREF _Tc203519576 \h 3
\l "_Tc203519577" 03 核心突破·靶向攻坚 PAGEREF _Tc203519577 \h 3
\l "_Tc203519578" 知能解码 PAGEREF _Tc203519578 \h 3
\l "_Tc203519579" 知识点1 直线与平面垂直 PAGEREF _Tc203519579 \h 3
\l "_Tc203519580" 知识点2 平面与平面垂直 PAGEREF _Tc203519580 \h 4
\l "_Tc203519581" 知识点3 线面角和二面角 PAGEREF _Tc203519581 \h 5
\l "_Tc203519582" 题型破译 PAGEREF _Tc203519582 \h 6
\l "_Tc203519583" 题型1 有关垂直命题的判断 PAGEREF _Tc203519583 \h 6
\l "_Tc203519584" 题型2 线面垂直的判定与性质 PAGEREF _Tc203519584 \h 7
\l "_Tc203519585" 题型3 面面垂直的判定 PAGEREF _Tc203519585 \h 10
【方法技巧】面面垂直推线面垂直的思路
\l "_Tc203519586" 题型4 面面垂直的性质 PAGEREF _Tc203519586 \h 12
\l "_Tc203519587" 题型5 几何法求线面角 PAGEREF _Tc203519587 \h 14
【方法技巧】几何法求线面角的求解步骤
\l "_Tc203519588" 题型6 几何法求面面角 PAGEREF _Tc203519588 \h 16
【方法技巧】几何法求面面角的常见方法
\l "_Tc203519589" 题型7 线面垂直的探索性问题 PAGEREF _Tc203519589 \h 18
\l "_Tc203519590" 题型8 面面垂直的探索性问题 PAGEREF _Tc203519590 \h 20
\l "_Tc203519591" 04 真题溯源·考向感知 PAGEREF _Tc203519591 \h 23
\l "_Tc203519592" 05 课本典例·高考素材 PAGEREF _Tc203519592 \h 26
知识点1 直线与平面垂直
1.判定定理
2.性质定理
推论：
①若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面.
②若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面
③垂直于同一条直线的两个平面_______.
自主检测如图，四棱锥中，面是正方形，.
(1)若平面，求证：平面；
(2)若点为的中点，求证：.
知识点2 平面与平面垂直
1.判定定理
2.性质定理
自主检测如图，在三棱锥中，平面平面，和均为等腰直角三角形，且，.证明：平面平面
知识点3 线面角和二面角
1.直线和平面所成的角
2.二面角的概念
自主检测1．如图，正方体中，点为中点，则直线与平面所成角的余弦值为 .
2．如图，已知三棱锥的各棱长均为2，则平面和平面所成角的余弦值为： ．
题型1 有关垂直命题的判断
例1-1已知两个平面相互垂直，下列命题
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线
②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面
其中不正确命题的个数（ ）
A．1B．2C．3D．4
例1-2已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列表述正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【变式1-1】（多选）已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【变式1-2】（多选）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则B．若，，，共面，则
C．若不垂直于，且，则必不垂直于D．若且，则
题型2 线面垂直的判定与性质
例2-1（多选）已知下面给出的四个图都是正方体，A，B为顶点，E，F分别是所在棱的中点，则满足直线的图形有（ ）
A．B．
C．D．
例2-2如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，.
(1)证明：.
(2)证明：平面.
(3)证明：⊥平面CDE.
【变式2-1】如图，在正四棱柱中，是的中点，且.

(1)证明：平面.
(2)证明：平面.
【变式2-2】如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，，．
(1)证明：．
(2)证明：平面．
【变式2-3】如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点.
(1)求证：平面；
(2)求证：.
【变式2-4】如图，在三棱台中，，∠BAC=60°，，，三棱台的体积为．
(1)证明：平面；
题型3 面面垂直的判定
例3-1如图，在长方形ABCD中，，，M是边CD的中点，将沿直线翻折至，使得，连接，得到四棱锥．
(1)求证：平面平面；
例3-2如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，，点E在棱上．

(1)求证：平面平面；
【变式3-1·变题型】如图，在正方形中，E，F分别为边的中点，将，，分别沿折起；使三点重合于点G，则在四面体中，与平面垂直的一个平面为 .
【变式3-2】如图，在正四棱柱中，，垂足为E．
(1)求证：平面平面；
(2)求证：平面平面．
【变式3-3】如图，正方形所在的平面与直角梯形所在的平面互相垂直，已知，，点在线段上.

(1)求证：平面平面；
题型4 面面垂直的性质
例4-1如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，分别为侧棱的中点，且.
(1)求证：平面；
(2)求四棱锥的体积.
例4-2如图，菱形所在的平面与矩形所在的平面相互垂直.
(1)证明：直线平面；
(2)若平面平面，求的值；
方法技巧 面面垂直推线面垂直的思路
先找条件中有没有在一个平面内与交线垂直的直线,若有，则该垂直另一个平面；若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题.
【变式4-1】已知菱形的边长为2，．将菱形沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．1D．
【变式4-2】如图，等腰直角三角形所在平面与半圆弧所在平面垂直，为的中点，且， 是上异于、的点，是的中点.
(1)证明：平面
【变式4-3】如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面底面ABCD，且，若E、F分别为PC、BD的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面．
【变式4-4】如图，三棱柱中，，点在底面上的射影在上．

(1)求证：；
题型5 几何法求线面角
例5-1如图，已知正四棱锥的高为4，棱AB的长为2，点H为侧棱PC上一动点，则当面积的最小值时，OH与平面ABCD所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
例5-2如图，在四棱锥中，平面，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面的夹角.
方法技巧 几何法求线面角的求解步骤
①作：在斜线上选取恰当的点向平而引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键；
②证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义；
③算：一般借助三角形的相关知识计算.
【变式5-1】在正三棱台中，，分别为棱，的中点，，，则直线与平面所成角的余弦值为 .
【变式5-2】如图，已知是圆柱下底面圆的直径，点C是下底面圆周上异于A，B的动点，，是圆柱的两条母线.
(1)证明：平面；
(2)若该圆柱的侧面积等于两底面面积的和，当C为弧的中点时，求直线与平面所成角的正切值.
【变式5-3】如图，四棱锥中，平面，，，E为的中点，点F在棱上，直线和直线相交.
(1)求证：；
(2)若，，.
（i）证明：平面；
（ii）求直线与平面所成的角.
题型6 几何法求面面角
例6-1已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，体积为，则此四棱台的侧面与下底面所成二面角的正弦值为 .
例6-2如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点.
(1)证明：平面PAC；
(2)若，求二面角的平面角的正弦值.
方法技巧 几何法求面面角的常见方法
（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角；
（2）三垂线定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
【变式6-1】如图，已知圆锥的顶点为P，O为底面圆心，母线互相垂直，且，直线与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为 ．
【变式6-2】如图，在空间四边形中，是正三角形，是等腰直角三角形，且，又二面角为直二面角，则二面角的正切值为 .
【变式6-3】在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，.
(1)若点是线段上任意一点，且平面交棱于点，求证：；
(2)①证明：；
②设侧面为等边三角形，求二面角的余弦值.
题型7 线面垂直的探索性问题
例7-1如图，长方体中，，，点P为的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值；
(3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由.
例7-2如图，在正三棱柱中，，点M为的中点.
(1)求点A到平面的距离；
(2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【变式7-1】如图，直三棱柱，，分别是，的中点，
(1)求证：平面；
(2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由.
【变式7-2】如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，，，点M为AC的中点．
(1)求证：平面平面PAB；
(2)线段PC上是否存在点N，使得平面BMN?若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【变式7-3】若图，三棱柱的侧面是平行四边形，，，且、分别是、的中点.
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
题型8 面面垂直的探索性问题
例8-1如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点．

(1)求证：平面；
(2)在棱上是否存在点N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由．
例8-2如图，在正三棱柱中，为的中点.
(1)证明：平面.
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
(3)在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【变式8-1】如图，在四棱锥，底面正方形，为侧棱的中点，.
(1)求四棱锥体积；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由.
【变式8-2】（ 2023·江西赣州·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点.

(1)证明：平面；
(2)在棱上是否存在一点，使平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
【变式8-3】如图，在三棱台中，，∠BAC=60°，，，三棱台的体积为．
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值．
【变式8-3】如图，在三棱台中，，∠BAC=60°，，，三棱台的体积为．
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值．
1．（2023·北京·高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（ ）

A．B．
C．D．
2．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（ ）.
A．1B．2C．D．
3．（2025·全国一卷·高考真题）（多选）在正三棱柱中，D为BC中点，则（ ）
A．B．平面
C．D．平面
4．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．

(1)求证：平面PAB；
(2)求二面角的大小．
5．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱中，平面．

(1)证明：平面平面；
(2)设，求四棱锥的高．
6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．
(1)证明：；
7．（2025·全国一卷·高考真题）如图所示的四棱锥中，平面，．
(1)证明：平面平面；
8．（2025·天津·高考真题）正方体的棱长为4，分别为中点，．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求三棱锥的体积．
1．如图，在正三棱柱中，E为棱的中点，.求证：.
2．如图，四棱锥的底面是正方形，平面，求证：平面.
3．如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足什么条件时，？

4．如图，在正三棱柱中，D为棱的中点，求证：平面平面.
5．如图，在三V-ABC中，，作出二面角V-AB-C的平面角，并求出它的余弦值.
6．如图，AB是的直径，点C是上的动点，过动点C的直线VC垂直于所在平面，D，E分别是VA，VC的中点，判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由.
考点要求
考察形式
2025年
2024年
2023年
（1）直线与平面垂直的判定与性质
（2）平面与平面垂直的判定与性质
（3）直线与平面的夹角和二面角
单选题
多选题
填空题
解答题
全国一卷T9(6分)、T17（15分）
北京卷T14（5分）
天津卷T17（15分）
全国 I卷T17（15分）
全国II卷 T7（5分）、T17（15分）
全国甲卷（文）T18（12分）
全国甲卷（理）T18（12分）
全国乙卷（文）T19（12分）
全国乙卷（理）T9（5分）、T19（12分）
全国 II卷T20（12分）
考情分析：
该内容是新高考卷的重点考查内容，题型涵盖选择、填空及解答题，分值约5-10分。解答题中常作为第一问考查线面或面面垂直的证明，需紧扣判定定理，通过线线垂直推导线面垂直，或由线面垂直推证面面垂直，难度中等。选择题则侧重垂直关系的判定，需注意定理中 “相交直线” 等关键条件。
近年命题更注重逻辑推理与空间结构的结合，动态问题（如翻折、动点）增多，需灵活运用性质转化条件。例如，利用面面垂直性质定理转化出线面垂直关系。备考时要强化定理条件的严谨性，熟练通过几何构造（如找垂线、证线线垂直）完成推理，避免忽略定理核心条件导致失误。
复习目标：
1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.
2.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单的应用.
文字语言
图形语言
符号语言
线线垂直线面垂直
如果一条直线与一个平面内的两条_______直线垂直，那么该直线与此平面垂直
文字语言
图形语言
符号语言
线面垂直线线垂直
一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的_______一条直线垂直
线面垂直线线平行
垂直于同一个平面的两条直线_______.
文字语言
图形语言
符号语言
线面垂直面面垂直
如果一个平面过另一个平面的_______，那么这两个平面垂直
文字语言
图形语言
符号语言
面面垂直线面垂直
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的_______，那么这条直线与另一个平面垂直
定义
一条直线和一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引_______，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
画法
取值范围
规定
一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；
一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角
定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形
二面角的平面角
①；②；③，
则二面角的平面角是．
取值范围
_______