第60讲 计数原理、排列组合与二项式定理 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

这是一份第60讲 计数原理、排列组合与二项式定理 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】
三、典题精练 PAGEREF _Tc237116470 \h 5
考点一：两个基本计数原理 PAGEREF _Tc237116471 \h 5
考点二：排列数与组合数公式及计算 PAGEREF _Tc237116472 \h 6
考点三：排列组合的经典方法与模型 PAGEREF _Tc237116473 \h 7
考点四：排列组合的综合应用与拓展 PAGEREF _Tc237116474 \h 9
考点五：二项式定理展开式的基本计算 PAGEREF _Tc237116475 \h 10
考点六：二项式系数和与各项系数和 PAGEREF _Tc237116476 \h 10
考点七：二项式定理的拓展应用 PAGEREF _Tc237116477 \h 11
一、考情分析
近三年高考全国一卷未直接或间接涉及本讲核心知识.本讲中的计数原理与排列组合是求解古典概型及超几何分布等概率问题的基本计算工具，二项式定理的展开式及系数性质与二项分布的概率计算具有直接的理论联系.掌握本讲内容，可为后续概率与统计模块的解答提供必要的运算基础.
二、知识清单
1. 两个基本计数原理
（1） 分类加法计数原理
完成一件事，有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m1 种不同的办法，在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法，⋯，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m1+m2+⋯+mn 种不同的方法.
（2） 分步乘法计数原理
完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第 2 步有 m2 种不同的方法，⋯，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m1⋅m2⋅⋯⋅mn 种不同的方法.
（3） 两个原理及其区别
① 分类加法计数原理和“分类”有关，如果完成某件事情有 n 类办法，这 n 类办法之间是互斥的，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分类加法计数原理.
② 分步乘法计数原理和“分步”有关，是针对“分步完成”的问题.如果完成某件事情有 n 个步骤，而且这几个步骤缺一不可，且互不影响 (独立)，当且仅当依次完成这 n 个步骤后，这件事情才算完成，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分步乘法计数原理.
③ 在解决实际问题时，并不一定是单一应用分类计数原理或分步计数原理，有时可能同时用到两个计数原理.即分类时，每类的方法可能运用分步完成；而分步后，每步的方法数可能会采取分类的思想求方法数.对于同一问题，我们可以从不同的角度去处理，从而得到不同的解法.
（4） 两个计数原理的综合应用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理.如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理.
2. 排列与排列数
（1） 定义：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.从 n 个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 Anm 表示.
（2） 排列数的公式：Anm=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)=n!(n−m)!.
特例：当 m=n 时，称为全排列，Ann=n!=n(n−1)(n−2)⋯3⋅2⋅1；规定：0!=1.
（3） 排列数的性质：
① Anm=nAn−1m−1.
② Anm=1n−mAnm+1=nn−mAn−1m.
③ Anm=mAn−1m−1+An−1m.
3. 组合与组合数
（1） 定义：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.从 n 个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 Cnm 表示.
（2） 组合数公式及其推导
求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 Anm，可以按以下两步来考虑：
第一步，先求出从这 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 Cnm.
第二步，求每一个组合中 m 个元素的全排列数 Amm.
根据分步计数原理，得到 Anm=Cnm⋅Amm.
因此 Cnm=AnmAmm=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!.
这里 n,m∈N∗，且 m≤n，这个公式叫做组合数公式.因为 Anm=n!(n−m)!，所以组合数公式还可表示为：Cnm=n!m!(n−m)!.特例：Cn0=Cnn=1.
（3） 组合数的主要性质：
① 对称性：Cnm=Cnn−m.
② 递推公式：Cnm+Cnm−1=Cn+1m.
（4） 组合模型：隔板法
将 n 个相同元素分给 m 个不同的对象：
① 若要求每个对象至少分得 1 个（即求方程 x1+x2+⋯+xm=n 的正整数解个数，其中 n≥m），相当于在 n 个元素形成的 n−1 个空隙中插入 m−1 个隔板，共有 Cn−1m−1 种分法.
② 若允许有的对象分不到元素（即求方程 x1+x2+⋯+xm=n 的非负整数解个数），可通过“借元素”转化为上述问题，共有 Cn+m−1m−1 种分法.
4. 排列和组合的区别
（1） 组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工.
（2） 排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同.
（3） 排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题.排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”.
5. 二项式定理
（1） 二项式定理
一般地，对于任意正整数 n，都有：(a+b)n=Cn0an+Cn1an−1b+⋯+Cnran−rbr+⋯+Cnnbn(n∈N∗.
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做 (a+b)n 的二项展开式.
式中的 Cnran−rbr 做二项展开式的通项，用 Tr+1 表示，即通项为展开式的第 r+1 项：Tr+1=Cnran−rbr.
其中的系数 Cnr(r=0,1,2,⋯,n) 叫做二项式系数.
（2） 二项式 (a+b)n 的展开式的特点：
① 项数：共有 n+1 项，比二项式的次数大 1.
② 二项式系数：第 r+1 项的二项式系数为 Cnr，最大二项式系数项居中.
③ 次数：各项的次数都等于二项式的幂指数 n.字母 a 降幂排列，次数由 n 到 0；字母 b 升幂排列，次数从 0 到 n，每一项中，a,b 次数和均为 n.
④ 项的系数：二项式系数依次是 Cn0,Cn1,Cn2,⋯,Cnr,⋯,Cnn，项的系数是 a 与 b 的系数 (包括二项式系数).
（3） 两个常用的二项展开式：
① (a−b)n=Cn0an−Cn1an−1b+⋯+(−1)r⋅Cnran−rbr+⋯+(−1)n⋅Cnnbn(n∈N∗).
② (1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+⋯+Cnrxr+⋯+xn.
（4） 二项展开式的通项公式
二项展开式的通项：Tr+1=Cnran−rbr(r=0,1,2,3,⋯,n).
公式特点：
① 它表示二项展开式的第 r+1 项，该项的二项式系数是 Cnr.
② 字母 b 的次数和组合数的上标相同.
③ a 与 b 的次数之和为 n.
6. 二项式系数的性质与杨辉三角
（1） 杨辉三角
在二项式定理中，当 n 分别取 1，2，3，⋯ 时，其二项式系数可以排成一个由自然数构成的三角形数表，称为“杨辉三角”.杨辉三角的第 n 行对应 (a+b)n 展开式的二项式系数.
（2） 二项式系数的性质
① 每一行两端都是 1，即 Cn0=Cnn=1；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即 Cn+1m=Cnm−1+Cnm.
② 对称性：每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 Cnm=Cnn−m.
③ 二项式系数和：令 a=b=1，则二项式系数的和为 Cn0+Cn1+Cn2+⋯+Cnr+⋯+Cnn=2n，变形式 Cn1+Cn2+⋯+Cnr+⋯+Cnn=2n−1.
④ 奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令 a=1,b=−1，则 Cn0−Cn1+Cn2−Cn3+⋯+(−1)nCnn=(1−1)n=0，从而得到：Cn0+Cn2+Cn4+⋯=Cn1+Cn3+⋯=12⋅2n=2n−1.
⑤ 最大值：
如果二项式的幂指数 n 是偶数，则中间一项 Tn2+1 的二项式系数 Cnn2 最大.
如果二项式的幂指数 n 是奇数，则中间两项 Tn+12,Tn+12+1 的二项式系数 Cnn−12,Cnn+12 相等且最大.
（3） 展开式各项系数和（赋值法）
对于二项展开式 f(x)=(ax+b)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn：
① 令 x=1，可得展开式各项系数之和为 f（1）=a0+a1+a2+⋯+an.
② 令 x=−1，可得交错系数之和为 f(−1)=a0−a1+a2−⋯+(−1)nan.
③ 常数项为令 x=0 时的值，即 a0=f（0）.
三、典题精练
考点一：两个基本计数原理
考法1：分类加法计数原理的应用
1.如图，小黑圆表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连.连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，单位时间内传递的最大信息量为（ ）
A. 26 B. 24 C. 20 D. 19
考法2：分步乘法计数原理的应用
2.（2026·湖北随州·一模）为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的 2 种主食、3 种素菜、2 种大荤、4 种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（ ）
A. 48 种 B. 36 种 C. 24 种 D. 12 种
考法3：两个计数原理的综合应用
3.（2026·湖南天壹名校·模拟）现用 Pythn 生成随机秘钥，该秘钥共三位，前两位要求从 1，2，3，6，7，8 中进行选择 (可以重复)，第三位要求从 A，C，D，F 中进行选择，则可生成的秘钥数量为（ ）
A. 36 B. 72 C. 108 D. 144
【考点一 方法总结】
1. 准确区分分类加法与分步乘法：完成一件事，若各类办法互斥且每类均可独立完成，则用加法原理；若需分几个步骤，缺一不可且依次进行，则用乘法原理.
2. 综合应用策略：对于复杂计数问题，通常需要“先分类，再分步”或“先分步，再分类”，确保不重不漏.
考点二：排列数与组合数公式及计算
考法4：排列数与组合数方程的求解
4.（2026·湖北襄阳四中·检测）（多选）下列说法正确的是（ ）
A. 若 C103x−2=C10x+4，则 x 的值为 3 或 2
B. 从 6 名男生和 2 名女生中选出 3 名，其中至少有 1 名女生的选法共有 42 种
C. (2−x)(1−x)4 的展开式中 x3 的系数为 −14
D. 从 5 本不同的书中选出 3 本分配给 3 位同学，每人一本，则分配方案总数为 60
考法5：排列数与组合数的化简与计算
5.A52−A101A33+A11= ＿＿＿＿＿＿
【考点二 方法总结】
1. 排列数与组合数方程的求解：熟练运用组合数性质 Cnm=Cnn−m 及 Cnm+Cnm−1=Cn+1m，注意上标与下标的取值范围限制（0≤m≤n 且 m,n∈N）.
2. 间接法计算：当正面情况较多或较繁琐时，可采用“总数 - 对立情况数”的间接法进行计算.
考点三：排列组合的经典方法与模型
考法6：直接法求解排列组合问题
6.甲、乙、丙等六人相约到电影院观看电影《封神榜》，恰好买到了六张连号的电影票.若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（ ）
A. 360 B. 480 C. 600 D. 720
考法7：间接法与正难则反策略的应用
7.（2026·山东淄博·一模）有 5 名同学 A，B，C，D，E 参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若 A 和 B 都不是第 1 个出场，且 C 不是最后一个出场，则这 5 人不同的出场顺序种数为（ ）
A. 42 B. 50 C. 54 D. 60
考法8：捆绑法处理相邻问题
8.（2026·江西萍乡·二模）某同学需将 a,b,c,d,e 这 5 个字母排成一排，若 a 与 b 必须相邻，则不同的排法种数为（ ）
A. 24 B. 48 C. 96 D. 120
考法9：插空法处理不相邻问题
9.（2025·河南驻马店·检测）有 5 辆车停放 6 个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有（ ）种停放方法.
A. 72 B. 144 C. 108 D. 96
考法10：列举法与错位排列模型的应用
10.（2026·河北衡水名校·调研）将标有 1，2，3，4，5 的五张数字牌摆放成一排，则前三张牌上的数字按顺序构成等差数列的排法总数为（ ）
A. 7 B. 10 C. 13 D. 16
考法11：多面手与涂色问题的分类讨论
11.（2025·河南H20联盟·联考）为拓展学生数学视野，鼓励学生多读数学书，学校举办了“数学图书在哪”的抽奖活动.如图，在一个 5×5 的方格表中，按如下规则放置了一些图书，小方格中的数字表示与其有公共顶点的小方格的图书的总本数，且有数字的小方格上没有图书，其余方格内无限制，且每一个方格只能放 1 本图书.则所有可能的图书排列方式总数为（ ）
A. 160 B. 192 C. 224 D. 256
考法12：分组与分配问题的综合求解
12.（2026·湖南天壹名校·检测）某大学有 A,B,C,D 四个社团在招生，5 名学生去报名，每个社团至少有 1 名学生，则不同的报名方式共有（ ）
A. 144 种 B. 240 种 C. 256 种 D. 288 种
考法13：隔板法处理相同元素分配问题
13.（2026·河南华大新高考·联考）某中学要在五一假期期间组织学生参加爱国主义教育活动，需要挑选 10 名志愿者. 10 个志愿者名额要分给该校高一年级的八个班，每个班至少一个名额，则名额分配方法有（ ）
A. 45 种 B. 36 种 C. 28 种 D. 8 种
【考点三 方法总结】
1. 解决排列组合综合问题的一般过程：认真审题，确定要做什么事；确定采取分步还是分类；确定每一步或每一类是排列问题还是组合问题.
2. 捆绑法处理相邻问题：将要求相邻的元素“捆绑”在一起看作一个整体进行排列，再对“捆绑”内部的元素进行全排列.
3. 插空法处理不相邻问题：先将没有限制条件的元素排好，再将要求不相邻的元素插入到排好的元素之间及两端的空隙中.
4. 分组与分配问题：先将元素按要求分组（注意平均分组时需除以组数的阶乘以消除重复），再将分好的组分配给不同的对象.
5. 隔板法处理相同元素分配问题：将 n 个相同元素分给 m 个不同的对象，若要求每个对象至少分得 1 个，相当于在 n 个元素形成的 n−1 个空隙中插入 m−1 个隔板，共有 Cn−1m−1 种分法.
6. 错位排列与列举法：对于元素较少或条件特殊的排列问题，可直接采用列举法；标准的错位排列可利用公式 Dn=n!i=0n(−1)ii!（即 D1=0,D2=1,D3=2,D4=9,D5=44）.
考点四：排列组合的综合应用与拓展
考法14：限制条件下的数字排列问题
14.（2026·浙江精诚联盟·二模）从数字 0，1，2，3，4 中任取 3 个构成的无重复数字的 3 位数，其中能被 3 整除的偶数共有（ ）
A. 13 个 B. 15 个 C. 16 个 D. 18 个
考法15：排队与环排问题的综合分析
15.（2026·河北八省八校·联考）男生 1，2，3 号和女生 1，2，3 号排成一列，男生从前往后号数变小、女生互不相邻的排法种数为（ ）
A. 4 B. 16 C. 24 D. 36
考法16：构造法模型与递推模型的应用
16.九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具. 它用九个圆环相连成串，以解开为胜. 它在中国有近两千年的历史，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载. 周邦彦也留下关于九连环的名句“纵妙手、能解连环.”九连环有多种玩法，在某种玩法中: 已知解下 1 个圆环最少需要移动圆环 1 次，解下 2 个圆环最少需要移动圆环 2 次，记 an(3≤n≤9,n∈N∗) 为解下 n 个圆环需要移动圆环的最少次数，且 an=an−2+2n−1，则解下 8 个圆环所需要移动圆环的最少次数为（ ）
A. 30 B. 90 C. 170 D. 341
考法17：集合子集选取问题的组合计数
17.（2026·江西萍乡·二模）已知集合 A={a1,a2,a3,a4}，定义 |A| 表示 A 的元素个数， Ai,Aj,Ak 为 A 的三个互不相同的子集. 若集合 B={Ai,Aj,Ak}，且 |(Ai∪Aj∪Ak)∪(Ai∩Aj∩Ak)|=4，则不同的 B 的个数为＿＿＿＿＿＿.
【考点四 方法总结】
1. 限制条件下的数字排列问题：按“优先”原则，优先排特殊元素或优先满足特殊位置（如首位不能为0，末位决定奇偶性等），若互相影响则需分类讨论.
2. 排队与环排问题：排队问题中若某几个元素顺序一定，可先让其他元素排好，再将这几个元素插入，或全排列后除以这几个元素的排列数；环排问题需注意旋转对称性，n 个不同元素的环排数为 (n−1)!.
3. 构造法与递推模型：对于复杂或规律性强的计数问题，可尝试寻找前后项之间的递推关系，或构造相应的几何、代数模型进行求解.
考点五：二项式定理展开式的基本计算
考法18：二项展开式特定项系数的求解
18.（2026·山东菏泽·一模）在 (x−2)5 的展开式中， x2 的系数为（ ）
A. −80 B. 80 C. −40 D. 40
考法19：二项展开式常数项与有理项的求解
19.（2026·江苏南京·二模）(x−1x)6 的展开式中，常数项为（ ）
A. −20 B. −15 C. 15 D. 20
考法20：多项式乘积与三项展开式的特定项求解
20.（2026·山东名校联盟·检测）(1+x)(1−2x)10 展开式中含 x2 项的系数为（ ）
A. 150 B. 160 C. 170 D. 180
考法21：二项展开式参数的逆向求解
21.（2026·湖南常德·一模）已知 (2x+ay)5 的展开式中 x4y 的项的系数是 80，则实数 a 的值为＿＿＿＿＿＿.
【考点五 方法总结】
1. 求二项展开式中的特定项或系数：利用通项公式 Tr+1=Cnran−rbr，令字母的指数满足题意（如求常数项令指数为0，求有理项令指数为整数），求出 r 的值，再代回通项求系数.
2. 形如 (axm+bxn)N 展开式求 xt 的系数：关键是利用通项求 r，则 r=Nm−tm−n.
3. 多项式乘积的展开式：利用分配律将其转化为几个基本二项展开式特定项的求和问题.
4. 三项式展开：可将其中两项结合看作一项，转化为二项式定理处理；或利用三项式展开通项公式 n!p!q!r!apbqcr（其中 p+q+r=n）.
考点六：二项式系数和与各项系数和
考法22：赋值法求各项系数和及特定系数和
22.（2026·福建龙岩·检测）设 (x+1)5=a0+a1x+⋯+a5x5，则 a1+a2+a3+a4+a5= （ ）
A. 1 B. 2 C. 31 D. 32
考法23：二项式系数最值与项的系数最值的求解
23.（2026·广东江门·二模）已知 (1−1x)n 的展开式中二项式系数之和为 128，则其展开式中系数最小项的系数为＿＿＿＿＿＿.
【考点六 方法总结】
1. 赋值法求各项系数和：对于恒等式 f(x)=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn，令 x=1 可得展开式各项系数之和；令 x=−1 可得交错系数之和；令 x=0 可得常数项.
2. 二项式系数最值：若 n 为偶数，中间一项二项式系数最大；若 n 为奇数，中间两项二项式系数相等且最大.
3. 项的系数最大值求法：设第 r+1 项的系数绝对值最大，则转化为解不等式组 |Tr+1|≥|Tr| 且 |Tr+1|≥|Tr+2|，求出 r 的值.
考点七：二项式定理的拓展应用
考法24：二项式定理处理整数整除与余数问题
24.（2024·江西上饶六校·模拟）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究. 设 a,b,m(m>0) 为整数，若 a 和 b 同时除以 m 所得的余数相同，则称 a 和 b 对模 m 同余，记为 a≡b( md m). 若 a=C301+C302+⋯+C3030,a≡b( md 10)，则 b 的值可以是（ ）
A. 2 021 B. 2 022 C. 2 023 D. 2 024
考法25：利用二项式定理进行近似计算
25.（2026·安徽滁州·二模）试估计 1.0110≈ （ ）（精确到 0.0001）
A. 1.1462 B. 1.1463 C. 1.1045 D. 1.1046
考法26：构造法与比较系数法证明组合恒等式
26.证明： k=0n(Cnk)2=C2nn.
考法27：二项式定理与数列求和的综合
27.已知 (1+x)2021=a0+a1x+a2x2+⋯+a2021x2021，则 a2020+2a2019+3a2018+4a2017+⋯+2020a1+2021a0= （ ）
A. 2021×22021 B. 2021×22020
C. 2020×22021 D. 2020×22020
考法28：杨辉三角性质的综合判断
28.（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲发现早 500 年左右. 如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是 1 外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第 4 行的 6 为第 3 行中两个 3 的和. 则下列命题中正确的是 （ ）
A. 在“杨辉三角”第 6 行中，从左到右第 6 个数是 15
B. 由“第 n 行所有数之和为 2n”猜想： Cn0+Cn1+Cn2+⋯+Cnn=2n
C. C32+C42+C52+⋅⋅⋅+C102=164
D. 存在 k∈N∗，使得 Cn+1k−Cnk 为等差数列
【考点七 方法总结】
1. 处理整数整除与余数问题：将底数拆分为除数的倍数与余数之和（或差），利用二项式定理展开，除最后一项（或两项）外均能被整除，从而转化为考查尾项.
2. 近似计算：将底数化为 1±x（x 较小）的形式，利用二项式定理展开，根据精度要求截取前几项进行计算.
3. 证明组合恒等式：常利用构造函数法（如构造 f(x)=(1+x)n），通过求导、积分或多项式乘法比较系数来证明；也可利用杨辉三角的递推性质进行代数变形.