第49讲 圆中的范围、最值与隐圆问题 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

这是一份第49讲 圆中的范围、最值与隐圆问题 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】，共12页。
三、典题精讲 PAGEREF _Tc236824573 \h 2
考点一：圆中的斜率与截距最值 PAGEREF _Tc236824574 \h 2
考点二：圆中的距离与长度最值 PAGEREF _Tc236824575 \h 5
考点三：圆中的面积与周长最值 PAGEREF _Tc236824576 \h 8
考点四：圆中的向量数量积与角度最值 PAGEREF _Tc236824577 \h 11
考点五：圆的方程与参数范围 PAGEREF _Tc236824578 \h 14
考点六：隐圆的几何定义与应用 PAGEREF _Tc236824579 \h 16
考点七：隐圆的拓展定义与应用 PAGEREF _Tc236824580 \h 20
四、高考真题 PAGEREF _Tc236824581 \h 23
一、考情分析
1. 考查频次与题型
近三年共考查2次，2025年以单选题形式出现（5分），2026年以多选题形式出现（6分），2024年未考查.
2. 命题角度与特色
（1） 结合直线与圆的位置关系，考查圆上动点到定直线距离的极值与范围.
（2） 结合弦长公式，考查多条弦长之和的最值问题，对代数变形和函数求最值能力要求较高.
3. 备考策略
（1） 熟练掌握圆上动点到直线、定点距离的最值求法，善于利用数形结合思想.
（2） 强化代数运算能力，掌握将几何最值问题转化为函数最值问题（如换元法、导数法）的求解技巧.
二、知识清单
1. 涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解.一般地：
（1） 形如μ=y−bx−a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.
（2） 形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.
（3） 形如m=(x−a)2+(y−b)2的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a,b)的距离平方的最值问题.
2. 解决圆中的范围与最值问题常用的策略：
（1） 数形结合.
（2） 多与圆心联系.
（3） 参数方程.
（4） 代数角度转化成函数值域问题.
3. 隐圆的常见定义与几何模型：
（1） 隐圆的第一定义（定点定长模型）：平面内到定点的距离等于定长的动点轨迹是圆.常见向量表达形式为|PA|=r（r>0）或PA2=r2.
（2） 隐圆的第二定义（阿波罗尼斯圆模型）：平面内到两个定点A，B的距离之比为常数λ（λ>0且λ≠1）的动点P的轨迹是圆.常见向量表达形式为|PA|=λ|PB|.
（3） 隐圆的第三定义（定弦直角模型）：平面内对两定点A，B张角为直角的动点P的轨迹是以线段AB为直径的圆（除去A，B两点）.常见向量表达形式为PA⋅PB=0.
（4） 隐圆的第四定义（距离平方和为定值模型）：平面内到两定点A，B距离的平方和为定值m（m>12|AB|2）的动点P的轨迹是圆.常见向量表达形式为|PA|2+|PB|2=m.利用极化恒等式或中线定理，可转化为动点到线段AB中点的距离为定长.
（5） 隐圆的第五定义（四点共圆模型）：若平面四边形的一对对角互补，或平面内两个动点对同一定线段张角相等且在同侧，则相关点共圆.
三、典题精讲
考点一：圆中的斜率与截距最值
考法1：动直线斜率的最值问题
1.（2026·福建厦门·检测）已知实数x,y满足方程1−(y−1)2=x−1，则y+2x的取值范围是（ ）
A. [43,4] B. [43,2] C. [43,+∞) D. [2,4]
【答案】A
【思路】将方程转化为圆的方程，明确其表示半圆.将目标代数式转化为半圆上的点与定点连线的斜率，利用数形结合求出斜率的取值范围.
【解析】由1−(y−1)2=x−1，得(x−1)2+(y−1)2=1(x≥1)，
表示以(1,1)为圆心，1为半径的右半圆，
y+2x表示半圆上的点(x,y)与定点(0,−2)连线的斜率k，
作图可知，当直线与半圆相切时，斜率最小，
由|k−1−2|k2+1=1，解得k=43或k=0（舍去，因为此时切点不在右半圆），
当直线过点(1,2)时，斜率最大，此时k=2−(−2)1−0=4，
所以y+2x的取值范围是[43,4]，
故选：A.
2.已知点P(x,y)在圆(x−1)2+(y−1)2=3上运动，则4−yx−3的最大值为（ ）
A. −6−30 B. 6+30 C. −6+30 D. 6−30
【答案】C
【思路】将目标代数式转化为圆上动点与定点连线斜率的相反数，利用直线与圆相切时斜率取最值，结合点到直线的距离公式求解.
【解析】4−yx−3看作圆上的点P(x,y)到点A(3,4)的直线的斜率的相反数.
当经过点A(3,4)的直线与上半圆相切时，切线斜率最小，
设切线方程为y=k(x−3)+4，所以圆心到切线的距离等于半径，故|−2k+3|1+k2=3，解得k=6±30，故当k=6−30时，切线斜率最小，此时4−yx−3最大，最大值为−6+30，
故选：C.
3.已知M(x,y)为圆C:x2+y2−4x−14y+45=0上任意一点，且点Q(−2,3).
（1） 求|MQ|的最大值和最小值.
（2） 求y−3x+2的最大值和最小值.
（3） 求y−x的最大值和最小值.
【答案】（1） 最大值为62，最小值为22
（2） 最大值为2+3，最小值为2−3
（3） 最大值为9，最小值为1
【思路】将圆的方程化为标准方程，找出圆心和半径.第一问利用圆心到定点的距离加减半径求最值；第二问转化为动点与定点连线的斜率，利用相切求最值；第三问转化为直线在y轴上的截距，同样利用相切求最值.
【解析】（1） 圆C:x2+y2−4x−14y+45=0⇒(x−2)2+(y−7)2=8，如图所示，连接QC交圆C于AB两点，当M与A重合时|MQ|取得最小值，
即|QC|−r=(2+2)2+(7−3)2−22=22，
与B重合时|MQ|取得最大值即|QC|+r=62，故最大值为62，最小值为22；
（2） 易知y−3x+2=kMQ，由图形知当MQ与圆C相切时取得最值，如图所示.
可设lMQ:y=k(x+2)+3，则C到其距离为|4k−4|k2+1=r=22，解得k=2±3，
故最大值为2+3，最小值为2−3
（3） 设y−x=z，如图所示，z即过点M的直线y−x=z的截距，如图所示，当该直线与圆相切时截距取得最值.圆心C到该直线的距离为|5−z|2=r=22，所以z=1或9，故最大值为9，最小值为1.
考法2：动直线截距的最值问题
4.已知点P(x,y)是圆C:(x−a)2+y2=3(a>0)上的一动点，若圆C经过点A(1,2)，则y−x的最大值与最小值之和为（ ）
A. 4 B. 26 C. −4 D. −26
【答案】C
【思路】先将已知点坐标代入圆的方程求出参数，确定圆的标准方程.再将目标代数式转化为直线在y轴上的截距，利用直线与圆相切时截距取最值，结合点到直线的距离公式求解.
【解析】因为圆C:(x−a)2+y2=3(a>0)经过点A(1,2)，
(1−a)2+2=3.又a>0，所以a=2，
y−x可看成是直线y=x+b在y轴上的截距.如图所示，
当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2−0+b|2=3，解得b=−2±6，
所以y−x的最大值为−2+6，最小值为−2−6，故y−x的最大值与最小值之和为−4.
故选：C.
5.点P(x,y)是圆x2+y2=12上的动点，则x+y的最大值是＿＿＿＿＿＿.
【答案】26
【思路】已知动点在圆上，求坐标和的最大值，可利用柯西不等式或基本不等式，也可设参数方程或利用直线与圆相切的几何意义求解.
【解析】由(x+y)2≤2(x2+y2)=24，则−26≤x+y≤26，当且仅当x=y=±6时等号成立，
∴ x+y的最大值是26.
故答案为：26.
【考点一 方法总结】
1. 动直线斜率最值问题：形如y−bx−a的代数式，可转化为圆上动点(x,y)与定点(a,b)连线的斜率.当动直线与圆相切时，斜率往往取得最值，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解.
2. 动直线截距最值问题：形如y−kx的代数式，可转化为动直线y=kx+b在y轴上的截距b.当动直线与圆相切时，截距取得最值，同样利用圆心到直线的距离等于半径求解.
3. 坐标和的最值问题：形如x+y的最值，可利用直线与圆相切的几何意义，或利用基本不等式、柯西不等式求解.
考点二：圆中的距离与长度最值
考法3：距离及距离平方和的最值问题
6.已知平面向量a，b，c，满足∀x∈R,|a−xb|≥|a−14b|，|a|=2,a⋅b=4，(a−c)⋅(b−2c)=6，则|a−c|的最小值为（ ）
A. 1 B. 2+63 C. 3 D. 6−22
【答案】A
【思路】先利用二次函数的恒成立条件求出向量b的模长，再通过建系设坐标，将已知条件转化为动点坐标满足的方程，从而确定动点轨迹为圆，最后转化为圆外一点到圆上动点的距离求最小值.
【解析】因为∀x∈R,|a−xb|≥|a−14b|，|a|=2,a⋅b=4，
所以4+x2b2−8x≥4+116b2−2,b≠0，∴ (x2−116)b2−8x+2≥0，
所以b2x2−8x+2−116b2≥0对任意x都恒成立，
所以Δ=64+14|b|4−8|b|2≤0，∴ (12|b|2−8)2≤0，∴ 12|b|2=8，∴ |b|=4.
不妨设a=(2,0)，b=(m,n)，∴ 2m=4，∴ m=2，又|b|=4，∴ 4+n2=16，∴ n=±23.
当b=(2,23)，设c=(x,y)，
所以(a−c)=(2−x,−y),(b−2c)=(2−2x,23−2y)，
所以(2−x)(2−2x)+(−y)(23−2y)=6，
所以(x−32)2+(y−32)2=4，
所以c对应的点的轨迹是以(32,32)为圆心，以2为半径的圆，
所以|a−c|=(x−2)2+(y−0)2可以看成是(x,y)到(2,0)的距离，
所以|a−c|的最小值为2−(32−2)2+(32−0)2=2−1=1.
当b=(2,−23)时，同理可得|a−c|的最小值为1.
故选：A.
7.（2026·河南·二模）已知点A，B分别是直线3x+4y+5=0和圆x2+y2=1上的动点，P(2,2)，则|PA+PB|的最小值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】285
【思路】利用平行四边形法则将两个向量的和转化为中点向量的2倍，结合中点的轨迹是两条平行线所夹的区域，将问题转化为求定点到平行线区域的最小距离.
【解析】设AB中点为M，则PA+PB=2PM，所以|PA+PB|=2|PM|.
得M的轨迹是3x+4y+5=0和3x+4y=0两条平行线所夹的区域，点P(2,2)到该区域的最小距离为点P(2,2)到直线3x+4y=0的距离，
因为点B在圆x2+y2=1上，圆心O(0,0)，半径r=1，
设点P到直线3x+4y+5=0的距离为d，
则：d=|3×2+4×2+5|32+42=|6+8+5|9+16=195，
所以|PM|min=d−r=195−1=145.
又因为|PA+PB|=2|PM|，所以|PA+PB|min=2×145=285.
综上，|PA+PB|的最小值为285.
8.（2026·浙江金华·二模）已知实数a，b满足csa=sinb，若对任意实数c，d，记(a−c)2+(b−d)2的最小值为M，则M的最大值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】π22
【思路】利用诱导公式将三角等式转化为角之间的线性关系，从而确定点(a,b)的轨迹为一组平行直线.目标代数式表示点(c,d)到点(a,b)距离的平方，其最小值即为点(c,d)到直线的距离平方，最大值则在两平行线正中间取得.
【解析】解：csa=sinb=cs(π2−b)，
∴ a=π2−b+2kπ,k∈Z或a=−π2+b+2kπ,k∈Z，
即b=−a+π2+2kπ,k∈Z或b=a−π2+2kπ,k∈Z，
故点(a,b)在如图直线族中，

(a−c)2+(b−d)2表示点(c,d)与点(a,b)距离的平方，
又相邻两直线的距离d=2π2=2π，
所以(a−c)2+(b−d)2的最小值M≤(d2)2=π22，
故M的最大值为π22.
考法4：动点到两定点距离和差的最值问题
9.已知圆C是以点M(2,23)和点N(6,−23)为直径的圆，点P为圆C上的动点，若点A(2,0)，点B(1,1)，则2|PA|−|PB|的最大值为（ ）
A. 26 B. 4+2 C. 8+52 D. 2
【答案】A
【思路】先求出圆的标准方程，结合已知点坐标，利用相似三角形的性质将目标式中的线段比例进行转化，将问题转化为求动点到两定点距离之差，利用三角形三边关系求最大值.
【解析】由题设，知：C(4,0)且|MN|=(−23−23)2+(6−2)2=8，即圆C的半径为4，
∴ 圆C:(x−4)2+y2=16，
如上图，坐标系中D(−4,0)则OD=2AC=CP=OC=4，
∴ ACCP=PCDC=12，即△APC∼△PCD，故PAPD=12，
∴ 2|PA|−|PB|=|PD|−|PB|，在△PBD中|PD|−|PB|1，
点P到直线AB的距离最大值为d+r=45+55，距离最小值为d−r=45−55，
所以△PAB面积的最大值12×5×45+55=4+52；
△PAB面积的最小值12×5×45−55=4−52.
故答案为：4+52；4−52.
【考点三 方法总结】
1. 三角形面积最值问题：当三角形底边固定时，面积的最值取决于第三个顶点（圆上动点）到定直线距离的最值.利用圆心到直线的距离加减半径即可求出高的最大值与最小值.
2. 弦长与面积综合问题：结合圆的弦长公式与点到直线的距离公式，确定动点轨迹，进而求出面积的最值.
考点四：圆中的向量数量积与角度最值
考法6：向量数量积的最值问题
14.（2026·山东泰安·二模）已知M,N为圆C:x2+y2−2x−4y=0上的两个动点，且|MN|=4，点P为直线l:x+y+1=0上的动点，则PM⋅PN的最小值为（ ）
A. 22−5 B. 22+5 C. 5−42 D. 5+42
【答案】C
【思路】引入弦的中点，利用向量的加减法将数量积转化为动点到中点距离平方与半弦长平方的差.结合圆的性质和点到直线的距离公式，求出距离的最小值.
【解析】圆C:x2+y2−2x−4y=0可化为(x−1)2+(y−2)2=5，圆心C(1,2)，半径R=5.
设线段MN的中点为Q，则CQ⟂MN，|CQ|=R2−(|MN|2)2=5−4=1.
PM⋅PN=(PQ+QM)⋅(PQ+QN)，因为QM=−QN，
所以PM⋅PN=|PQ|2−|QM|2=|PQ|2−4.
在△PCQ中，|PQ|≥||PC|−|CQ||=|PC|−1.
点P在直线x+y+1=0上，圆心C(1,2)到直线的距离d=|1+2+1|2=22，
所以|PC|≥22，从而|PQ|≥22−1.
所以|PQ|2≥(22−1)2=9−42，
所以PM⋅PN≥9−42−4=5−42.
故选：C.
15.（2026·福建龙岩·二模）已知线段AB是圆O:x2+y2=5的一条动弦，且|AB|=2.若点P为直线3x+y+10=0上的任意一点，则|PA+PB|的最小值为（ ）
A. 6 B. 8 C. 14 D. 35
【答案】A
【思路】利用向量的中点公式将两向量之和转化为中点向量的2倍.根据圆的弦长公式求出弦心距，确定中点的轨迹为同心圆.最后利用圆心到直线的距离减去半径求得最小值.
【解析】设弦AB中点为M，根据圆的性质，OM⟂AB，
OM=OA2−(AB2)2=5−1=2，
所以点M的轨迹是以O(0,0)为圆心，2为半径的圆，
其方程为x2+y2=4.
因为PA+PB=2PM，
所以|PA+PB|=2|PM|，
|PM|的最小值为圆心O到直线3x+y+10=0的距离d减去圆x2+y2=4的半径2.
d=|10|(3)2+12=5，
|PA+PB|min=2|PM|min=2(5−2)=6.
故选：A.
16.已知点A(−1,0),B(1,0)，点P为圆C:x2+y2−6x−8y+17=0上的动点，则AB⋅AP的最大值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】8+42
【思路】利用向量数量积的几何意义，将其转化为一个向量在另一个向量方向上的投影与该向量模长的乘积.结合圆的几何性质，当动点运动到特定位置时投影取得最大值.
【解析】圆的标准方程为：(x−3)2+(y−4)2=8，圆心为(3,4)，半径为R=22，
∵ AB⋅AP=|AB|⋅|AP|⋅cs∠PAB，
当点P动到S点时，|AP|⋅cs∠PAB取得最大值，即为AS在AB上的投影，
又AB⋅AP=|AB|⋅|AP|⋅cs∠PAB=|AB|⋅|AT|=2×(1+3+22)=8+42.
故答案为：8+42.
考法7：动点连线夹角的最值问题
17.（2024·江西上饶·模拟）已知点M是圆x2+y2=1上一点，点N是圆C:(x−3)2+y2=3上一点，则∠CMN的最大值为（ ）
A. π2 B. π3 C. π4 D. π6
【答案】B
【思路】当动点在第一个圆上固定时，动点与第二个圆的连线相切时夹角最大.利用直角三角形中的正弦值，结合两圆心之间距离的范围，求出正弦值的最大值，进而确定角度的最大值.
【解析】当点M固定时，MN与圆C相切时，∠CMN最大，此时sin∠CMN=CNCM=3CM，因为CM≥2，所以sin∠CMN≤32，因为∠CMN为锐角，所以∠CMN的最大值为π3.故选B.
18.已知点P在圆M:(x−4)2+(y−2)2=4上，点A(2,0)，B(0,2)，则∠PBA最小和最大时分别为（ ）
A. 0∘和60∘ B. 15∘和75∘ C. 30∘和90∘ D. 45∘和135∘
【答案】B
【思路】当动点与定点连线与圆相切时，对应的夹角取得极值.通过解直角三角形求出切线与圆心连线的夹角，再结合定点坐标确定的初始角度，利用角的和差关系求出最值.
【解析】如图所示，当PB与圆相切时对应∠PBA的最大和最小，设最小时切于P1，最大时切于P2，
由MP1=2,BM=4,MP1⟂BP1，可得sin∠MBP1=12，所以∠MBP1=30∘，同理得∠MBP2=30∘
由点A(2,0)，B(0,2)，可知∠ABO=45∘，
所以∠ABP1=90∘−45∘−30∘=15∘，
∠ABP2=15∘+30∘+30∘=75∘.
故选：B.
19.已知圆C:(x−1)2+y2=1，点P(x0,y0)在直线x−y+1=0上运动.若C上存在点Q，使∠CPQ=30∘，则x0的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】[−1,1]
【思路】考虑极端情况，当动点与圆上点的连线与圆相切时夹角达到最大.利用直角三角形求出此时动点到圆心的距离，从而确定动点所在的圆，将其与已知直线联立求出交点，进而确定横坐标的范围.
【解析】如图圆C(1,0)，P在直线x−y+1=0上，
若圆存在点Q，使得∠CPQ=30∘，
当P在直线x−y+1=0上运动，极端情况，PQ与圆C相切，∠CPQ=30∘.
在RT△CPQ中，|CQ|=1，所以|CP|=2.
所以以(1,0)为圆心，2为半径的圆与直线交于P,P1两点.
符合条件的点在线段PP1之间.
所以x−y+1=0(x−1)2+y2=4⇒x=1y=2或x=−1y=0.
故x0的取值范围为[−1,1].
故答案为：[−1,1].
【考点四 方法总结】
1. 向量数量积最值问题：常利用向量的加减法（引入中点）将数量积转化为距离平方差；或利用数量积的几何意义，转化为一个向量在另一个向量方向上的投影与该向量模长的乘积，结合圆的几何性质求最值.
2. 角度最值问题：当动点与定点连线与圆相切时，夹角往往取得极值.通过解直角三角形求出切线与圆心连线的夹角，结合定点坐标确定的初始角度求出最值.
考点五：圆的方程与参数范围
考法8：方程中的参数范围问题
20.（2026·湖北·联考）已知实数x,y满足(x−2)2+(y−2)2=45，则ω=xy2x2+y2的最小值为（ ）
A. 13 B. 24 C. 29 D. 29
【答案】D
【思路】将目标代数式的分子分母同除以xy，转化为关于y/x的函数.设y/x=k，将其转化为直线与圆有交点的问题，利用圆心到直线的距离小于等于半径求出k的范围，再利用函数的单调性求最值.
【解析】显然xy≠0，所以ω=12⋅xy+yx，令y=kx，则ω=1k+2k.
考虑圆C上的点P(x,y)满足y=kx，则直线y=kx与圆C有公共点.
所以|2k−2|1+k2≤25，解得12≤k≤2.
记u(k)=k+2k，则u(k)在[12,2]单调递减，在[2,2]单调递增.
所以u(k)max=u(12)=92，从而ω=1k+2k的最小值为29.所以选D.
21.如图，在直角梯形ABCD中，A=B=90∘,AD=4,AB=BC=2，点M在以CD为直径的半圆上，且满足AM=mAB+nAD，则m+n的最大值为（ ）
A. 2 B. 3 C. −52 D. 10+54
【答案】D
【思路】建立平面直角坐标系，求出各点坐标及圆的方程.引入参数角表示圆上动点的坐标，利用向量相等的坐标表示求出m和n关于参数角的表达式，最后利用辅助角公式求出最大值.
【解析】如图，以A为原点建立直角坐标系，设CD中点为E，易得A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,4)，
则CD中点E(1,3)，CD=22，
故以CD为直径的圆的方程为(x−1)2+(y−3)2=2，过E作x轴平行线交y轴于Q，交半圆于P，则∠DEQ=∠PEC=45∘，设∠PEM=θ，
则M(1+2csθ,3+2sinθ)(−45∘20−m2|m−2|