第48讲 圆的方程与位置关系 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

这是一份第48讲 圆的方程与位置关系 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】，共21页。
三、典题精练 PAGEREF _Tc236771160 \h 4
考点一：圆的方程及其充要条件 PAGEREF _Tc236771161 \h 4
考点二：点与圆的位置关系 PAGEREF _Tc236771162 \h 5
考点三：直线与圆的位置关系判断 PAGEREF _Tc236771163 \h 6
考点四：圆的切线与切点弦问题 PAGEREF _Tc236771164 \h 6
考点五：直线与圆相交的弦长与面积问题 PAGEREF _Tc236771165 \h 7
考点六：圆与圆的位置关系及公切线、公共弦问题 PAGEREF _Tc236771166 \h 7
考点七：圆系方程与圆过定点问题 PAGEREF _Tc236771167 \h 8
考点八：与圆有关的轨迹问题 PAGEREF _Tc236771168 \h 9
考点九：与圆有关的对称问题 PAGEREF _Tc236771169 \h 9
考点十：数形结合与圆中的最值、范围问题 PAGEREF _Tc236771170 \h 10
四、高考真题 PAGEREF _Tc236771171 \h 11
一、考情分析
1. 考查频次与题型
近三年共考查2次，2025年以单选题形式直接考查（5分），2026年以多选题形式直接考查（6分），2024年未考查.
2. 命题角度与特色
（1） 重点考查直线与圆的位置关系，特别是直线与圆相交时的弦长计算.
（2） 常结合图形的几何性质（如圆心到直线的距离、垂径定理）进行综合考查，对数形结合能力要求较高.
3. 备考策略
（1） 熟练掌握圆的标准方程与一般方程，能够准确求出圆心坐标和半径.
（2） 深刻理解直线与圆的位置关系，熟练运用几何法（圆心到直线的距离与半径的关系）解决弦长、切线及最值问题.
二、知识清单
1. 圆的基本概念
（1） 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆.
（2） 阿波罗尼斯圆：在平面内，到两个定点 A,B 的距离之比等于常数 λ（λ>0 且 λ≠1）的动点 P 的轨迹是一个圆.
2. 圆的方程
（1） 圆的标准方程：(x−a)2+(y−b)2=r2，圆心坐标为 (a,b)，半径为 r(r>0).
（2） 圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2−4F>0)，圆心坐标为 (−D2,−E2)，半径 r=D2+E2−4F2.
（3） 圆的直径式方程：若 A(x1,y1),B(x2,y2)，则以线段 AB 为直径的圆的方程是 (x−x1)(x−x2)+(y−y1)(y−y2)=0.
（4） 圆的参数方程：
① x2+y2=r2(r>0) 的参数方程为 x=rcsθy=rsinθ（θ 为参数）.
② (x−a)2+(y−b)2=r2(r>0) 的参数方程为 x=a+rcsθy=b+rsinθ（θ 为参数）.
（5） 圆系方程：
① 过直线 Ax+By+C=0 与圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 交点的圆系方程为 x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0.
② 过两圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 与 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 交点的圆系方程为 x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0（其中 λ≠−1）.
3. 点与圆的位置关系判断
（1） 点 P(x0,y0) 与圆 (x−a)2+(y−b)2=r2 的位置关系：
① (x0−a)2+(y0−b)2>r2⇔ 点 P 在圆外.
② (x0−a)2+(y0−b)2=r2⇔ 点 P 在圆上.
③ (x0−a)2+(y0−b)20⇔ 点 P 在圆外.
② x02+y02+Dx0+Ey0+F=0⇔ 点 P 在圆上.
③ x02+y02+Dx0+Ey0+F0⇔ 直线与圆相交.
② Δ=0⇔ 直线与圆相切.
③ Δr），且两圆的圆心距为 d，则：
（1） d>R+r⇔ 两圆相离.
（2） d=R+r⇔ 两圆外切.
（3） R−r0) 相切，则圆 C 关于直线 l 对称的圆的方程为（ ）
A. (x+3)2+(y−4)2=16 B. (x+3)2+(y−4)2=25
C. (x+6)2+(y−8)2=16 D. (x+6)2+(y−8)2=25
【考点九 方法总结】
1. 圆的对称问题：圆关于直线对称，其半径保持不变，只需利用点关于直线对称的求法，求出原圆心关于对称轴的对称点作为新圆心，即可写出对称圆的方程.
考点十：数形结合与圆中的最值、范围问题
考法19：利用数形结合判断曲线交点个数
23.若直线 l:kx−y−2=0 与曲线 C:1−(y−1)2=x−1 有两个不同的交点，则实数 k 的取值范围是（ ）
A. [43,2] B. (43,4) C. [−2,−43)∪(43,2] D. (43,+∞)
考法20：圆上点到直线距离的定值点个数问题
24.（2026·河北NT名校·检测）若圆 x2+(y−1)2=r2(r>0) 上到直线 y=12x+2 的距离为 5 的点有且仅有 2 个，则半径 r 的取值范围是（ ）
A. (0,355) B. [355,5) C. (355,755) D. (5,+∞)
25.（2025·江西·联考）若圆 C:x2+y2+2x+m=0 上恰有三个不同的点到直线 l:x+3y+2=0 的距离为 1，则 m=＿＿＿＿＿＿.
考法21：与圆有关的距离最值问题
26.（2026·河北黄骅中学·一模）P 是圆 (x−a)2+(y−a2)2=1 上的动点，Q 是直线 y=x−2 上的动点，则 |PQ| 的最小值为（ ）
A. 2−1 B. 2 C. 728−1 D. 728
27.（2026·湖北云学联盟·模拟）（多选）已知圆 C:(x−2)2+(y−1)2=4，直线 l:mx−y+1−m=0(m∈R)，则（ ）
A. 直线 l 恒过定点 (1,1)
B. 当 m=0 时，直线 l 与圆 C 相切
C. 存在实数 m，使得直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点，且 |AB|=72
D. 若直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点，则 △ABC 面积的最大值为 3
【考点十 方法总结】
1. 数形结合判断交点个数：将代数方程转化为几何图形（如半圆、过定点的直线），在坐标系中画出图像，寻找直线过端点或与圆相切的临界状态.
2. 圆中的距离最值与范围问题：圆上动点到直线距离的最值公式为 |d±r|（d 为圆心到直线的距离）；求圆上到某直线距离为定值的点的个数时，可将定值与 |d−r| 及 d+r 进行比较.
四、高考真题
1.（2025·全国一卷·第7题）若圆 x2+(y+2)2=r2(r>0) 上到直线 y=3x+2 的距离为 1 的点有且仅有 2 个，则 r 的取值范围是（ ）
A. (0,1) B. (1,3) C. (3,+∞) D. (0,+∞)
2.（2026·全国一卷·第11题）（多选）已知圆 C1:(x+1)2+y2=1，圆 C2:(x−1)2+y2=1，圆 C3:x2+(y−3)2=1，直线 l:y=kx+b 与 C1,C2,C3 均有两个交点.记 l 被 C1,C2,C3 截得的弦长分别为 s1、s2、s3，则（ ）
A. k 可以取任意实数
B. 满足 s1=s2=s3 的直线 l 共有 3 条
C. 满足 s1+s2+s3=3 的直线 l 多于 3 条
D. 当 b=0 时，s1+s2+s3 的最大值为 2213年份
题号与题型
分值
考察类型
考察内容
2024
—
—
—
—
2025
第7题 单选题
5分
直接考察
圆与直线的位置关系
2026
第11题 多选题
6分
直接考察
直线与圆相交的弦长问题
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何特征
d>R+r
d=R+r
R−r