北师大版（2024）七年级上册（2024）代数式优质导学案

这是一份北师大版（2024）七年级上册（2024）代数式优质导学案，共3页。学案主要包含了策略联想，问题理解，问题分析，问题解决，阅读材料，解决问题，拓展应用，规律方法等内容，欢迎下载使用。
内 容 导 航
考 点 演 练
题型1 代数式
【典例1】下列选项中，能用2a+6表示的是（ ）
A．整条线段的长度：B．整条线段的长度：
C．这个长方形的周长：D．这个图形的面积：
【答案】C
【解答】解：A、整条线段的长度为2+a+6＝a+8，故A不合题意；
B、整条线段的长度为a+3+3＝a+6，故B不合题意；
C、这个长方形的周长为2（a+3）＝2a+6，故C符合题意；
D、这个图形的面积为a×（2+6）＝8a，故D不合题意．
故选：C．
【变式1】代数式1a+b表示的意义是（ ）
A．a与b的和B．a与b的倒数和
C．a与b的倒数的和D．a与b的和的倒数
【答案】D
【解答】解：代数式1a+b表示的意义是a与b的和的倒数．
故选：D．
【变式2】代数式40﹣2x在数学中可以表示不同的图形或实际问题中的数量关系．下列情境中，能用该代数式表示的是（ ）
A．甲、乙两地相距40千米，某人从甲地以每小时x千米的速度匀速步行前往乙地，2小时后他距离甲地的路程
B．某商品成本为40元/件，售价为2x元/件，则销售一件商品的利润
C．一个长方形的周长为40厘米，若其长为x厘米，则其宽的长度
D．一项工程需要生产40个零件，每天生产x个零件，经过2天生产后，尚未完成的零件数量
【答案】D
【解答】解：A：由题意，2小时后距离甲地路程为2x千米，与代数式40﹣2x不匹配，不符合题意；
B：由题意，利润为 （2x﹣40）元，与代数式40﹣2x不匹配，不符合题意；
C：由题意，宽为 （20﹣x） 厘米，与代数式40﹣2x不匹配，不符合题意；
D：由题意，总零件数为40个，每天生产x个，则2天生产了2x个，从而得到未完成零件数为40﹣2x，与代数式 40﹣2x匹配，符合题意；
故选：D．
【变式3】下列各式中符合代数式书写要求的有（ ）
①167x2y；②4m×n；③mn；④a2−b25；⑤2×（a+b）；⑥ah•2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解答】解：167x2y应写成137x2y，
4m×n应写成4mn，
mn符合书写要求，
a2−b25符合书写要求，
2×（a+b）应写成2（a+b），
ah•2应写成2ah．
故选：B．
题型2 列代数式
【典例1】如图，阴影长方形的长边与Rt△ABC的直角边AC重合，已知∠ACB＝90°，BC＝6厘米，AB＝10厘米，阴影长方形的宽为3厘米，则阴影长方形的面积是（ ）
A．9厘米2B．24厘米2C．45厘米2D．51厘米2
【答案】B
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC=AB2−BC2=8厘米，
由题意可得：阴影长方形的面积是8×3＝24（厘米2）．
故选：B．
【变式1】某淘宝店为迎接今年“双十一”抢购活动，在甲批发市场以每件a元的价格进了40件童装，又在乙批发市场以每件b元（a＞b）的价格进了同样的60件童装．如果店家以a+b2的价格卖出这款童装，卖完后，那么这家店（ ）
A．盈利了B．亏损了
C．不盈不亏D．盈亏不能确定
【答案】A
【解答】解：根据题意列得：在甲批发市场童装的利润为40（a+b2−a）＝20（a+b）﹣40a＝20b﹣20a；
在乙批发市场童装的利润为60（a+b2−b）＝30（a+b）﹣60b＝30a﹣30b，
∴该商店的总利润为20b﹣20a+30a﹣30b＝10a﹣10b＝10（a﹣b），
∵a＞b，
∴a﹣b＞0，即10（a﹣b）＞0，
则这家商店盈利了．
故选：A．
【变式2】如图，阴影部分是正方形，图中最大的长方形的周长是（ ）
A．2a+bB．a+2bC．2a+2bD．无法确定
【答案】C
【解答】解：2（a+b）＝2a+2b，
故选：C．
【变式3】用代数式表示“a的2倍与3的和”，下列表示正确的是（ ）
A．2a﹣3B．2a+3C．2（a﹣3）D．2（a+3）
【答案】B
【解答】解：a的2倍就是：2a，
a的2倍与3的和就是：2a与3的和，可表示为：2a+3．
故选：B．
题型3 代数式求值
【典例1】已知四个不同的整数a、b、c、d满足等式（a﹣2015）（b﹣12）（c﹣24）（d﹣7）＝9，则a+b+c+d的值为（ ）
A．0B．2015C．2058D．2067
【答案】C
【解答】解：假定a﹣2015＜b﹣12＜c﹣24＜d﹣7，
∵（a﹣2015）（b﹣12）（c﹣24）（d﹣7）＝9＝（﹣1）×1×（﹣3）×3，
∴a﹣2015＝﹣3，b﹣12＝﹣1，c﹣24＝1，d﹣7＝3，
∴a＝2012，b＝11，c＝25，d＝10，
∴a+b+c+d＝2012+11+25+10＝2058．
故选：C．
【变式1】根据流程图中的程序，当输出数值y为3时，输入数值x为（ ）
A．﹣3B．4C．﹣3或4D．﹣4或4
【答案】C
【解答】解：①若x≥1，则|x|﹣1＝3．
x＝4或﹣4（不符题意舍去）．
②若x＜1，则x3+4＝3．
x＝﹣3．
故选C．
【变式2】当x＝﹣1时，代数式ax3+bx+1的值为﹣2023，则当x＝1时，代数式ax3+bx+1的值为（ ）
A．﹣2023B．2023C．2024D．2025
【答案】D．
【解答】解：当x＝﹣1时，ax3+bx+1＝﹣a﹣b+1＝﹣2023，
∴a+b＝2024，
∴当x＝1时，ax3+bx+1＝a+b+1＝2024+1＝2025．
故选：D．
【变式3】若|a﹣1|与|b+2|互为相反数，则ab的值为（ ）
A．﹣2B．−12C．12D．2
【答案】B．
【解答】解：∵|a﹣1|和|b+2|互为相反数，
∴|a﹣1|+|b+2|＝0，
∴a﹣1＝0，b+2＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，
∴ab=1−2=−12．
故选：B．
题型4 整式
【典例1】下列各式−12mn，8，1a，x2+2x+6，2x−y5，1π，﹣a中，整式有（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
【答案】B
【解答】解：式子−12mn，8，x2+2x+6，2x−y5，1π，﹣a，符合整式的定义，是整式；
式子1a分母中含有字母，不是整式．
故整式有6个．
故选：B．
【变式1】在代数式x2+5，﹣1，x2﹣3x+2，π，5x，x2+5x+1中，整式有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】B
【解答】解：整式有x2+5，﹣1，x2﹣3x+2，π，共4个．
故选：B．
题型5 单项式
【典例1】下列说法错误的是（ ）
A．单项式﹣2πxy2的系数是﹣2
B．单项式﹣22abc的次数是3
C．x−y2是整式
D．多项式6x3y﹣xy+9是四次三项式
【答案】A
【解答】解：A．∵单项式﹣2πxy2的系数是﹣2π，∴此选项的说法错误，故此选项符合题意；
B．∵﹣7abc的系数是﹣7，次数是3，∴此选项的说法正确，故此选项不符合题意；
C．∵x−y2多项式，也是整式，∴此选项的说法正确，故此选项不符合题意；
D．∵多项式6x3y﹣xy+9是四次三项式多项式，∴此选项的说法正确，故此选项不符合题意；
故选：A．
【变式1】下列关于单项式−5xy32的说法正确的是（ ）
A．系数是−52，次数是4B．系数是−52，次数是3
C．系数是﹣5，次数是4D．系数是﹣5，次数是3
【答案】A
【解答】解：单项式−5xy32的次数是4，系数是−52，
故选：A．
【变式2】若3axn﹣1y2+n是关于x，y的单项式，其中系数是﹣9，次数为5，下列正确的是（ ）
A．a＞nB．a+n＝﹣5C．|a|＜nD．an＝9
【答案】D
【解答】解：∵单项式3axn﹣1y2+n的系数是﹣9，次数为5，
∴3a＝﹣9，n﹣1+2+n＝5，
∴a＝﹣3，n＝2，
∴a＜n，a+n＝﹣1，|a|＞n，an＝（﹣3）2＝9．
故选：D．
【变式3】下列说法错误的是（ ）
A．0是单项式B．−23x2y的系数是−23
C．﹣x是一次单项式D．23xy的次数是1
【答案】D
【解答】解：根据单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数可得：
A、0是单项式，原选项说法正确，不符合题意；
B、−23x2y的系数是−23，原选项说法正确，不符合题意；
C、﹣x是一次单项式，原选项说法正确，不符合题意；
D、23xy的次数是1+1＝2，原选项说法错误，符合题意；
故选：D．
题型6 多项式
【典例1】对于多项式﹣2x3﹣3x2+x﹣7，下列说法正确的是（ ）
A．最高次项是2x3B．二次项系数是3
C．常数项是7D．是三次四项式
【答案】D
【解答】解：多项式﹣2x3﹣3x2+x﹣7最高次项是﹣2x3，所以是三次，
﹣3x2是二次项，系数是﹣3，常数项是﹣7，一共有4项，
多项式是三次四项式，故D选项正确．
故选：D．
【变式1】下列说法正确的是（ ）
A．2x2﹣3xy﹣1的常数项是1
B．3ab﹣2a+1是二次三项式
C．0不是单项式
D．−π2ab2的系数是−12
【答案】B
【解答】解：A、2x2﹣3xy﹣1的常数项是﹣1，故此选项不符合题意；
B、3ab﹣2a+1是二次三项式，故此选项符合题意；
C、0是单项式，故此选项不符合题意；
D、−π2ab2的系数是−π2，故此选项不符合题意；
故选：B．
【变式2】若关于x的多项式（a+2）x3﹣xb+x﹣ab为二次三项式，则当x＝﹣1时，这个二次三项式的值是（ ）
A．﹣6B．﹣4C．4D．2
【答案】D
【解答】解：∵多项式（a+2）x3﹣xb+x﹣ab为二次三项式，
∴三次项系数为零，即a+2＝0，
解得：a＝﹣2，
且最高次项为二次，
∴b＝2，
∴多项式为：（﹣2+2）x3﹣x2+x﹣（﹣2）×2＝﹣x2+x+4，
当x＝﹣1时，多项式的值为：
﹣（﹣1）2+（﹣1）+4＝﹣1﹣1+4＝2．
故选：D．
【变式3】多项式2+3x4﹣4x2y﹣x3y+6x的项数和次数之积为 20 ．
【答案】20．
【解答】解：多项式2+3x4﹣4x2y﹣x3y+6x是四次五项式，
∴项数和次数之积为5×4＝20，
故答案为：20．
过 关 验 收
1．在下列式子中，（1）3a，（2）4+8＝12，（3）2a﹣5b＞0，（4）0，（5）x+2y，（6）a2﹣b2，其中代数式的个数是（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】B．
【解答】解：式子3a，0，x+2y，a2﹣b2，符合代数式的定义，是代数式；
式子4+8＝12是等式，不是代数式；
式子2a﹣5b＞0是不等式，不是代数式．
故代数式有4个．
故选：B．
2．下列说法正确的个数有（ ）
①|a|一定是正数；②﹣a一定是负数；③﹣（﹣a）一定是正数；④a7一定是分数．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】A
【解答】解：①当a＝0时，|a|＝0，故①错误；
②当a＝0时，﹣a＝0，故②错误；
③当a＝0时，﹣（﹣a）＝0，故③错误；
④当a＝0时，a7是整数，故④错误；
故选：A．
3．中考新趋势是培养学生结合实际的开放性思维对代数式“3x”，我们可以这样来解释：某人以3米/秒的速度走了x秒，他一共走的路程是3x米．请你对“3x”再给出另一个实际生活方面的解释： 香蕉每千克3元，某人买了x千克，共付款3x元（答案不唯一）
【答案】香蕉每千克3元，某人买了x千克，共付款3x元（答案不唯一，合理即可）．
【解答】解：“3x”，是3与x的积，表示生活中的相乘计算，比如：香蕉每千克3元，某人买了x千克，共付款3x元．
故答案为：香蕉每千克3元，某人买了x千克，共付款3x元（答案不唯一）．
4．小明在超市买回若干个相同的纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起．如图①，3个纸杯的高度为11cm；如图②，5个纸杯的高度为13cm．若把n个这样的纸杯叠放在一起，则高度为（ ）
A．（n+10）cmB．（n+8）cmC．（2n+5）cmD．（2n+3）cm
【答案】B
【解答】解：由题意可得，
每增加一个水杯，增加的高度是（13﹣11）÷（5﹣3）＝2÷2＝1cm，
∴把n个这样的杯子叠放在一起，高度为：11+（n﹣3）×1＝11+n﹣3＝（n+8）cm，
故选：B．
5．近几年智能手机已成为人们生活中不可缺少的一部分，智能手机价格也不断地降低．某品牌智能手机原售价为m元，现打九折，再让利n元，那么该手机现在的售价为（ ）
A．(109m−n)元B．(910m−n)元
C．（9m﹣n）元D．（9n﹣m）元
【答案】B
【解答】解：让利后手机的售价为：(910m−n)元．
故选：B．
6．已知某个体户去年盈利a万元，今年比去年增长了15%，若明年仍按这个速度增加，预测明年该个体户盈利（ ）万元．
A．（1+15%）aB．a+（1+15%）a
C．a+（15%）2aD．（1+15%）2a
【答案】D
【解答】解：去年盈利a万元，今年比去年增长了15%，若明年仍按这个速度增加，则：
今年盈利为：（1+15%）a，
则明年盈利为：a（1+15%）（1+15%）＝（1+15%）2a．
故选：D．
7．一块等腰直角三角尺的形状和尺寸如图所示，直角边的边长为a，圆孔的半径为r．阴影部分的面积是（ ）
A．12a2−πr2B．12a2−2πr2
C．a2﹣πr2D．a2﹣2πr2
【答案】A
【解答】解：由图可得，
阴影部分的面积为：a⋅a2−πr2=12a2−πr2．
故选：A．
8．已知x是一个两位数，y也是一个三位数，将x放在y的左边构成一个新的五位数，则这个五位数可以表示为（ ）
A．xyB．x+100yC．100x+yD．1000x+y
【答案】D
【解答】解：由题意可得：x需左移三位，即乘以1000；
∴新五位数为1000x+y，
故选：D．
9．某市出租车的收费标准为：起步价6元（3千米以内及3千米），超过3千米后每千米1.2元，则某人乘坐出租车行驶了x（x＞3）千米应付车费 （1.2x+2.4） 元．
【答案】（1.2x+2.4）．
【解答】解：乘坐出租车x（x＞3）千米应付费是：6+1.2（x﹣3）＝1.2x+2.4，
故答案为：（1.2x+2.4）．
10．泉水是济南文化的特色名片，“游泉打卡”活动将泉水文化与趣味游泉相结合．为方便游客“游泉”，志愿者在位于环形公路上的A，B，C，D四个景点处放置了若干张游泉图鉴，目前A，B，C，D四个景点分别有170，120，80，230张图鉴．现在，从每个景点向相邻的两个景点移动图鉴，使得四个景点的图鉴存量相等，怎样做能让移动的图鉴数量总和最小？
【策略联想】
借助示意图可以直观分析问题，使问题中的数量关系更清晰．因此，小红将以上问题中的信息用如图示意图进行表示：将四个景点A，B，C，D标注在环形图上，图中的箭头表示了图鉴移动的方向．例如，“x4＝50”代表了从景点D向景点A送去50张图鉴，“x3＝﹣30”代表了从景点D向景点C送去30张图鉴．
【问题理解】
（1）如图所示，四个景点之间移动的图鉴数量总和W＝|x1|+|x2|+|x3|+|x4|，当x1＝70，x2＝40，x3＝﹣30，x4＝50时，W＝ 190 张；
【问题分析】
当四个景点的图鉴数量相等时，每个景点最终应留存170+120+80+2304=150张图鉴．如果按照（1）中的方式移动，四个景点之间移动的图鉴数量总和W并不是最少的，那么最小值是多少呢？
为了计算四个景点之间移动的图鉴数量总和W的最小值，小红在计算A景点的图鉴数时得到关于x1，x4的等式：170﹣x1+x4＝150，运用“移项”的方法，用只含有x1的代数式表示x4，得到x4＝x1﹣20．
（2）根据以上的方式，用只含x1的代数式分别表示x2和x3，可得x2＝ x1﹣30 ，x3＝ x1﹣100 ；
【问题解决】
（3）因此，四个景点之间移动的图鉴数量总和W＝|x1|+|x2|+|x3|+|x4|也可用只含x1的代数式进行表示，通过求这个代数式的最小值，可得出移动的图鉴数量总和W的最小值＝ 110 张．
【答案】（1）190；
（2）x1﹣30；x1﹣100；
（3）110；
【解答】（1）W＝|x1|+|x2|+|x3|+|x4|＝|70|+|40|+|﹣30|+|50|＝190（张），
故答案为：190；
（2）根据题意得，B景点的图鉴数：120﹣x2+x1＝150，C景点的图鉴数：80﹣x3+x2＝150，
∴x2＝x1﹣30，x3＝x2﹣70，
∴x3＝x1﹣100，
故答案为：x1﹣30；x1﹣100；
（3）∵W＝|x1|+|x2|+|x3|+|x4|＝|x1|+|x1﹣30|+|x1﹣100|+|x1﹣20|，
∴W可以看作是x对应的点到0、20、30和100的距离和，
∴当20≤x≤30时，距离之和最小为100+10＝110，
∴W最小值＝110，
故答案为：110．
11．项目式学习：设计运动场
【答案】（1）（2a+6r）米；（2）7.5米；（3）3.5×105元．
【解答】解：（1）由题意，第1跑道的长度为2a+2πr＝（2a+6r）米；
故答案为：（2a+6r）米；
（2）由题意，第2跑道的长度为[2a+2π（r+1.25）]米，
[2a+2π（r+1.25）]﹣（2a+2πr）＝2.5π＝2.5×3＝7.5（米）；
故第2跑道比第1跑道长7.5米；
（3）由题知，
需要铺设塑胶部分的面积为：
55×4×1.25×2+π×（15+4×1.25）2＝550+1200＝1750（m2），
所以1750×200＝350000＝3.5×105（元），
故这个运动场需要塑胶的总造价是3.5×105元．
12．在“生命，幸“盔”有你”为主题的交通安全宣传教育下，人们骑乘电动自行车佩戴头盔的安全意识不断提高．某电动自行车店计划分别购进30个安全头盔和若干副电动自行车手套．于是店经理联系了批发商，他们之间的对话如下：
（1）电动自行车店计划购买30个安全头盔和100副手套，若选择方案一共需要花费 5400 元．
（2）电动自行车店计划购买30个安全头盔和a副手套（a＞15），
①若选择方案一购买，需要花费 （2700+27a） 元（用含a的代数式表示）；
若选择方案二购买，需要花费 （2550+30a） 元（用含a的代数式表示）；
②假如你是店经理，如何选择购买方案能更省钱？
【答案】（1）5400．
（2）①（2700+27a），（2550+30a）．
②15＜a＜50，选择方案二购买更省钱．a＝50，两种方案购买价格一样．a＞50，选择方案一购买更省钱．见解答过程．
【解答】解：（1）购买30个安全头盔需100×30＝3000（元），
100副手套需30×100＝3000（元），
若选择方案一共需要花费（3000+3000）×90%＝5400（元），
故答案为：5400元．
（2）①购买30个安全头盔需3000元，
a副手套需30a元，
若选择方案一购买需90%（3000+30a）＝（2700+27a）元．
若选择方案二购买需3000+30（a−302）＝（2550+30a）元．
故答案为：（2700+27a）元，（2550+30a）元．
②当2700+27a＞2550+30a时，
即a＜50，
∴15＜a＜50，
此时选择方案二购买更省钱．
当2700+27a＝2550+30a时，
即a＝50，
此时两种方案购买价格一样．
当2700+27a＜2550+30a时，
即a＞50，
此时选择方案一购买更省钱．
答：a＜50，选择方案二购买更省钱．a＝50，两种方案购买价格一样．a＞50，选择方案一购买更省钱．
13．如图所示是一个长方形．
（1）根据图中尺寸大小，用含x的代数式表示阴影部分的面积；
（2）若阴影部分的面积为30，求x的值．
【答案】（1）18+3x；
（2）x＝4．
【解答】解：（1）由题意得，阴影部分的面积为：
S＝12×6×12−12（6﹣x）（12﹣6）
＝36﹣18+3x
＝3x+18；
（2）把S＝30，代入S＝3x+18，
解得x＝4．
14．【阅读材料】
数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系．两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示．如图，在数轴上有理数a对应的点为A，有理数b对应的点为B，则A，B两点之间的距离可表示为|a﹣b或|b﹣a|，记为|AB|＝|a﹣b|＝|b﹣a|．
【解决问题】
（1）数轴上有理数﹣7与1对应的两点之间的距离是 8 ；
（2）数轴上有理数m与﹣3对应的两点之间的距离是 |m+3| （用含m的式子表示）；
（3）若数轴上有理数n与﹣1对应的两点之间的距离是6，则n＝ 5或﹣7； ．
【拓展应用】
点M，N，P是数轴上的三个点，其中，点M表示的数为﹣4，点N表示的数为5，点P表示的数为x．若点P在点M，N之间，则|x﹣5|+|x+4|＝ 9 ；若|x﹣5|+|x+4|＝13，则x＝ 7或﹣6 ．
【答案】（1）8；
（2）|m+3|；
（3）5或﹣7；
【拓展应用】
7或﹣6．
【解答】解：（1）由题意可得﹣7与1对应的两点之间的距离是1﹣（﹣7）＝8，
故答案为：8；
（2）数轴上有理数m与﹣4对应的两点之间的距离是|m﹣（﹣3）|＝|m+3|，
故答案为：|m+3|；
（3）由题可知|n+1|＝6，
∴n+1＝6或﹣6，
∴n＝5或﹣7；
故答案为：5或﹣7；
【拓展应用】∵M表示的数为﹣4，点N表示的数为5，
∴点P在点M，N之间时，则﹣4≤x≤5，
∴|x+4|+|x﹣5|＝x+4+5﹣x＝9，
故答案为：9；
若|x﹣5|+|x+4|＝13，
∴P不在点M，N之间，
分两种情况：当P在M左侧，即x＜﹣4时，
则﹣x﹣4+5﹣x＝13，
解得：x＝﹣6，
当P在N右侧，即x＞5时，
则x+4+x﹣5＝13，
解得：x＝7，
故答案为：7或﹣6．
15．（1）数轴上表示2和4的两点之间的距离是 2 ；数轴上P，Q两点的距离为3，点P表示的数是4，则点Q表示的数是 1或7 ；
（2）点A，B，C在数轴上分别表示数x，﹣1，2，那么点A到点B、C的距离之和表示为 |x+1|+|x﹣2| （用含绝对值的式子表示）；若点A到点B，点C的距离之和有最小值，则x的取值范围是 ﹣1≤x≤2 ；
（3）求当x取何值时，|x|+|x+1|+|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值，最小值为多少？
【答案】（1）2；1或7；
（2）|x+1|+|x﹣2|；﹣1≤x≤2；
（3）当x＝0时，最小值为10．
【解答】解：（1）∵4﹣2＝2，
∴数轴上表示2和4的两点之间的距离是2；
∵数轴上P、Q两点的距离为3，点P表示的数是4，
∴点Q表示的数为：4﹣3＝1或4+3＝7；
故答案为：2，1或7；
（2）A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+1|+|x﹣2|；
当x＜﹣1时，|x+1|+|x﹣2|＝﹣x﹣1+2﹣x＝1﹣2x，
∵x＜﹣1，
∴1﹣2x＞3；
当﹣1≤x≤2时，|x+1|+|x﹣2|＝x+1+2﹣x＝3；
当x＞2时，|x+1|+|x﹣2|＝x+1+x﹣2＝2x﹣1，
∵x＞2，
∴2x﹣1＞3；
∴当﹣1≤x≤2时，点A到点B，点C的距离之和有最小值；
∴若点A到点B，点C的距离之和有最小值，则x的取值范围是﹣1≤x≤2，
故答案为：|x+1|+|x﹣2|；﹣1≤x≤2；
（3）|x|+|x+1|+|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|变形为|x﹣0|+|x+1|+|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|，
∴|x|+|x+1|+|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|表示数轴上数x的对应点到表示0，﹣1、﹣2、3、4五个点的距离之和，
∴当x＝0时，|x|+|x+1|+|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|最小，最小值为：|0|+|0+1|+|0+2|+|0﹣3|+|0﹣4|＝10．
16．已知有理数x、y、z两两不等，则x−yy−z，y−zz−x，z−xx−y中负数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．0个或2个
【答案】B
【解答】解：∵x−yy−z•y−zz−x•z−xx−y=1＞0，
∴x−yy−z，y−zz−x，z−xx−y三数中，0个负数或两个负数，
若三个数都是正数，则x﹣y、y﹣z、z﹣x同号，
同正号时，有x＞y，y＞z，z＞x，矛盾，
同负号时，有x＜y，y＜z，z＜x，矛盾，
所以，三数中，只能有两个负数．
故选：B．
17．若a﹣5b＝3，则17﹣3a+15b＝ 8 ．
【答案】8
【解答】解：∵a﹣5b＝3，
∴17﹣3a+15b＝17﹣3（a﹣5b），
＝17﹣3×3，
＝17﹣9，
＝8．
故答案为：8．
18．若m2﹣2m＝1，则代数式2m2﹣4m+3的值为 5 ．
【答案】5
【解答】解：∵m2﹣2m＝1，
∴2m2﹣4m+3
＝2（m2﹣2m）+3
＝2×1+3
＝5．
故答案为：5．
19．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m绝对值为2，求2a+2b3−5cd+8m的值为 11或﹣21 ．
【答案】11或﹣21．
【解答】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m绝对值为2，
∴a+b＝0，cd＝1，m＝±2，
当m＝2时，2a+2b3−5cd+8m=0−5+16=11；
当m＝﹣2时，2a+2b3−5cd+8m=0−5−16=−21．
故2a+2b3−5cd+8m的值为11或﹣21．
故答案为：11或﹣21．
20．对于任意有理数x，规定：当x≥0时，f（x）＝x+3；当x＜0时，f（x）＝|x+2|．
（1）填空：f（1）＝ 4 ；f（﹣1）＝ 1 ；f（a2）＝a2+3 ；
（2）若f（2m﹣4）＝6，求m的值；
（3）若两个有理数a≠0，b≠0，且a，b异号，满足|f（a）﹣f（b）|＝6，请直接写出a，b之间可能存在的数量关系：a﹣b＝5或a﹣b＝﹣5或a+b＝1或a+b＝﹣11 ．
【答案】（1）4，1，a2+3；
（2）3.5或﹣2；
（3）a﹣b＝5或a﹣b＝﹣5或a+b＝1或a+b＝﹣11；
【解答】解：（1）f（1）＝1+3＝4，f（﹣1）＝|﹣1+2|＝1，f（a2）＝a2+3．
故答案为：4，1，a2+3；
（2）当2m﹣4≥0时，2m﹣4+3＝6，解得m＝3.5
当2m﹣4＜0时，|2m﹣4+2|＝6，解得m＝﹣2，
综上所述，m＝3.5或﹣2．
（3）当a＞0，b＜0时，|a+3﹣|b+2||＝6，
∴a+3﹣|b+2|＝6或a+3﹣|b+2|＝﹣6，
∴|b+2|＝a﹣3或|b+2|＝a+9，
∴b+2＝a﹣3或b+2＝3﹣a或b+2＝﹣a﹣9，
∴a﹣b＝5∴或a+b＝1或a+b＝﹣11；
当a＜0，b＞0时，同法可得b﹣a＝5或a+b＝1或a+b＝﹣11；
a，b之间可能存在的数量关系：a﹣b＝5或a﹣b＝﹣5或a+b＝1或a+b＝﹣11；
故答案为：a﹣b＝5或a﹣b＝﹣5或a+b＝1或a+b＝﹣11；
21．如图，正方形ABCD的边长为a．
（1）根据图中数据，用含a，b的代数式表示阴影部分的面积S；
（2）当a＝6，b＝2时，求阴影部分的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）S阴影＝S正方形﹣S△ABC﹣S△DEF
＝a2−12a2−12×4b
=12a2−2b；
（2）当a＝6，b＝2时，
S阴影=12×62−2×2
＝14．
22．关于单项式23ab5的系数和次数，下列表述正确的是（ ）
A．系数是2，次数是9B．系数是8，次数是6
C．系数是2，次数是4D．系数是8，次数是9
【答案】B
【解答】解：根据题意可知，单项式23ab5的系数是8，次数为1+5＝6．
故选：B．
23．式子a+2，−2b5，2x，−2x+y9，−8m中，单项式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解答】解：（1）a+2是字母与数字的和，故不是单项式．
（2）−2b5是−25与b的积，故是单项式．
（3）2x是数字与字母的积，故是单项式．
（4）−2x+y9是−2x9与y9的和，故不是单项式．
（5）−8m是﹣8与m的商，不是积，故不是单项式．
故答案为：B．
24．下列说法中正确的是（ ）
①8πxy2的次数为5：②相反数等于本身的数只有0；③非负整数指正整数和0；④﹣a是一个负数．
A．①②B．②③C．③④D．①②④
【答案】B
【解答】解：在下列选项中：①8πxy2的次数为5：②相反数等于本身的数只有0；③非负整数指正整数和0；④﹣a是一个负数．
单项式8πxy2的次数是3，
故①错误；
相反数等于本身的数只有0，
故②正确；
非负整数包括正整数和0，
故③正确；
当a＝0时，﹣a＝0不是负数，
故④错误，
∴正确的说法是②和③，
故选：B．
25．请你写出一个含有字母a、b且系数为﹣1，次数为3的单项式 ﹣a2b（答案不唯一） ．
【答案】﹣a2b（答案不唯一）
【解答】解：根据单项式系数和次数的定义，一个含有字母a、b且系数为﹣1，次数为3的单项式可以写为﹣a2b．
26．观察下列关于x的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6…，按照上述规律，第n（n为正整数）个单项式是 （2n﹣1）xn ．
【答案】（2n﹣1）xn．
【解答】解：∵关于x的单项式为：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…，
∴第n个单项式为（2n﹣1）xn．
故答案为：（2n﹣1）xn．
27．若多项式x2﹣2kxy+y2+6xy﹣6不含xy的项，则k＝ 3 ．
【答案】3
【解答】解：x2+（6﹣2k）xy+y2﹣6
令6﹣2k＝0，
k＝3
故答案为：3
28．2x3+x2y2﹣3xy+x﹣1的最高次项是 x2y2 ．
【答案】x2y2．
【解答】解：2x3+x2y2﹣3xy+x﹣1中最高次项是x2y2，
故答案为：x2y2．题型1 代数式
题型2 列代数式
题型3 代数式求值
题型4 整式
题型5 单项式
题型6 多项式
解｜题｜知｜识
代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．例如：ax+2b，﹣13，2b3，a+2等．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式．
注意：①不包括等于号（＝）、不等号（≠、≤、≥、＜、＞、≮、≯）、约等号≈．
②可以有绝对值．例如：|x|，|﹣2.25|等．
解｜题｜知｜识
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
解｜题｜知｜识
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
解｜题｜知｜识
（1）概念：单项式和多项式统称为整式．
他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数．
（2）规律方法总结：
①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“﹣”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字．
②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论．
解｜题｜知｜识
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．
（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
解｜题｜知｜识
（1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
（2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．
课题
设计运动场
背景
如图是某校田径运动场的平面图，最中间是长方形，长为a米．两端为两个半圆，半径为r米，每条跑道的宽为1.25米，共4个跑道．每个跑道按内侧边线的总长度计算路程．（π取3）
参与人
七（A）班第1学习小组
工具
记录本，水笔，卷尺等
任务
（1）用含a、r的代数式表示直接写出第1跑道的长度 （2a+6r）米 ；
（2）求第2跑道比第1跑道长多少米？
（3）已知a＝55，r＝15．如果运动场内除最中间长方形以外的部分都要铺设塑胶，塑胶造价为200元/m2，则这个运动场需要塑胶的总造价是多少？（结果用科学记数法表示）