2025--2026学年河南省信阳市罗山县高级中学高二下学期6月阶段检测数学试题-含解析

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1．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知从点发出的光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．在三棱柱中，设，，，，分别为，的中点，则（ ）
A．B．C．D．
4．城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到，两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排3位老师，其中中学至少需要安排1位数学老师，那么有（ ）种不同的安排方式
A．9B．12C．14D．16
5．已知数列an满足．若，则（ ）
A．B．C．D．45
6．已知定义在上的函数满足，则必有（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，圆锥PO的底面圆周上有三点，为底面圆O的直径，点是底面直径所对弧的中点，点D是母线PA的中点，若，则直线CD和平面所成角的正弦值为（ ）

A．B．C．D．
8．已知函数在上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．随机变量X 服从二项分布，Y = 2X +1 ，则D(Y) = 3
B．相关系数 r 的值越小，两个变量之间的线性相关性越弱
C．在线性回归分析中，若 值越小则模型的拟合效果越好
D．随机变量X 服从正态分布 ，且P(2 < X < 5 ) = a ，则
10．已知数列，，，数列满足若在数列中去掉的项，余下的项组成数列，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．当时，在处的切线方程为
B．当时，恒成立
C．若恰有一个零点，则
D．若恰有两个零点，则
三、填空题
12．二项式的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的系数为______________.
13．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则______．

14．若直线为曲线的一条切线，则的最大值为__________.
四、解答题
15．已知数列an为等差数列，且满足.
(1)若，求an的前项和；
(2)若数列满足，且数列的前项和，求数列的通项公式.
16．某校举办定点投篮挑战赛，规则如下：每位参赛同学可在，两点进行投篮，共投两次．第一次投篮点可在，两点处随机选择一处，若投中，则第二次投篮点不变；若未投中，则第二次切换投篮点．在点投中得2分，在点投中得3分，未投中均得0分，各次投中与否相互独立．
(1)在参赛的同学中，随机抽查50名的得分情况，得到如下列联表
依据小概率值的独立性检验，判断投篮得分与第一次投篮点的选择是否有关？
(2)小明在点投中的概率为0.7，在点投中的概率为0.3．
（ⅰ）求小明第一次投中的概率；
（ⅱ）记小明投篮总得分为，求的分布列及数学期望．
参考公式：．
17．如图，在四棱锥中，平面平面，底面为正方形，且为线段的中点，F为线段BC上的动点，.
(1)证明：；
(2)求实数的值，使得平面与平面所成锐二面角的平面角的正弦值最小.
18．已知函数，.
(1)求的极值；
(2)若对于恒成立，求实数的取值范围；
(3)若关于的方程有两个不等实根，求实数的取值范围.
19．已知椭圆的离心率为左、右焦点分别是过的直线与C交于M，N两点的周长为
(1)求C的标准方程；
(2)若记线段MN的中点为
（ⅰ）求R的坐标；
（ⅱ）过R的动直线l与C交于P，Q两点，PQ，PN的中点分别是S和T，求面积的最大值.
得分分
得分分
合计
先在点投篮
20
5
25
先在点投篮
10
15
25
合计
30
20
50
0.1
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
1．B
【详解】图①，数据点呈正线性相关，且相关性很强，所以接近1；
图②，数据点呈负线性相关，且相关性很强，所以接近；
图③，数据点呈正线性相关，且相关性比图①弱，所以；
图④，数据点呈负线性相关，且相关性比图②弱，所以；
所以.
2．A
由圆的方程可得圆心坐标，根据反射光线经过圆心和关于轴对称的点，可利用两点式整理得到所求直线方程.
【详解】由圆的方程得：圆心为，
反射光线恰好平分圆的圆周，∴反射光线经过点；
关于轴对称的点为，∴反射光线所在直线经过点，
∴反射光线所在直线方程为，即.
故选：A.
3．B
结合几何图形，利用给定的基底表示向量.
【详解】在三棱柱中，.
故选：B
4．D
【详解】情况1：中学安排1位数学老师，2位英语老师的方式：，
情况2：中学安排2位数学老师，1位英语老师的方式：，
所以中学至少需要安排1位数学老师的方式为：（种）.
5．B
逐项计算找到数列的周期即可.
【详解】由题意，，，，，…
故数列an周期为4，则.
故选：B
6．B
【详解】设，则，所以在上单调递增，则，即，所以.
7．B
建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角.
【详解】点是底面直径所对弧的中点，所以，建立空间直角坐标系如图所示:

则，，A0,−1,0，，，，
可得，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
设直线CD和平面所成角为，
可得.
8．B
【解析】转化条件得当时，在上有解，令，求导得到函数的单调性后，画出草图即可得解.
【详解】，在上不单调，
∴在上有解，即在上有解，
当时，；当时，在上有解.
令，则，
∴函数在，上单调递增，
又 ，，可画出函数图象的草图：
由图象可知要使在上有解，则.
故选：B.
9．AD
【详解】对于A，，A正确；
对于B，相关系数 的值越小，两个变量之间的线性相关性越弱，B错误；
对于C，在线性回归分析中，若 值越大则模型的拟合效果越好，C错误；
对于D，正态曲线关于直线对称，所以，
又，所以，D正确.
10．ACD
【详解】对于A，因为，即，
所以，
故数列为等比数列，又，所以，
则，故A正确；
对于B，，则，故B错误；
对于C，因为，所以，故C正确；
对于D，因为，，
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
，，，，
又，，，
因为，
为正奇数组成，an的项也是奇数，
由上面推理可得，…是由的前14项去掉an的前4项余下的项组成，
所以
故D正确.
故选：ACD.
11．ABD
求导，根据点斜式即可求切线方程判断A，根据导数判断函数的单调性，即可求解B，构造函数，由导数求解单调性，即可得直线与的交点个数，进而判断CD.
【详解】对于A，当时，，，则，,
故切线方程是，即，故A正确；
对于B，当时，，，
当单调递增，当单调递减，
故，故B正确，
对于CD，令，则，记，则，
当单调递增，当单调递减，
故，又，而，
故当时，此时直线与有两个不相等的交点，
当或时，直线与有1个交点，故C错误，D正确，
故选：ABD.
12．
依题意可得，即可求出，再由展开式的通项计算可得.
【详解】二项式展开式的通项为（且），
依题意，所以，
所以二项式展开式的通项为（且），
令，解得，所以，
所以展开式中的系数为为.
故答案为：
13．
首先设该质点向右移动的次数为，则，然后根据已知找到满足条件的的取值，进而根据二项分布求解概率即可.
【详解】设该质点向右移动的次数为，则，，
若，则满足条件的的值为，对应的取值分别为.
所以
.
故答案为：.
14．/
设，切点为，再根据导数的几何意义求出切线方程，再结合题意求出的关系，再构造新的函数，利用导数求出最大值即可.
【详解】设，则，
设切点为，则，
则切线方程为，整理可得，
所以，解得，
所以，所以，
设，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以当时，取得最大值，
所以的最大值为.
故答案为：
15．(1)
(2)
【详解】（1）当时，由，则，由，则，
所以等差数列的公差为，
即通项公式，
所以前项和.
（2）当时，，可得，
当时，
，
将代入上式，则，
综上所述，，.
，可得，
由（1）可知，则，
由方程，可得，解得，
由，则等差数列的公差为，所以，
由，，则.
16．(1)有关
(2)（ⅰ）0.5；
（ⅱ）
．
（1）由题设及独立性检验知识可完成判断；
（2）（i）设第一次选择在点投篮记为事件A，在点投篮记为事件B，投中记为事件E，然后由全概率公式可得答案；
（ii）由题可得可取0，2，3，4，6，据此可得分布列及期望.
【详解】（1）零假设：投篮得分与第一次投篮点的选择无关，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
因此认为投篮得分与第一次投篮点的选择有关，此推断犯错误的概率不超过0.01．
（2）设第一次选择在点投篮记为事件A，在点投篮记为事件B，投中记为事件E，
则，，，．
（ⅰ），
所以小明第一次投中的概率为0.5．
（ⅱ）小明投篮总得分可取0，2，3，4，6，
则，
，
，
，，
所以的分布列为
所以．
17．(1)证明见解析
(2)
（1）依题意可得，由面面垂直得到平面，即可得证；
（2）首先证明平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）因为且为线段的中点，
所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以；
（2）因为平面，平面，则，
又，，面，所以平面，
因为平面，则平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
如图分别以所在的直线为轴，
不妨设，则，，，，，
，设，，，
则，解得，
设平面的法向量为，，
则，
所以，取，则，即，
设平面的法向量为，，，
则，取，
设平面与平面所成锐二面角的平面角为，
则，
所以，
令，则，
所以
，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以当时，即时，，则.
18．(1)极大值为，无极小值；
(2)
(3)．
（1）求定义域，求导，得到函数单调性，进而求出极值情况；
（2）求导，得到的单调性和最小值，得到，求出；
（3）同构得到，设函数，则上式为，由单调性得到，令，，由（1）知函数的单调性和极值情况，从而得到，求出答案.
【详解】（1），，则，
当时，；当时，；
故在上递增，在上递减，
所以的极大值为，无极小值；
（2）由有意义可得，
因为，令得，令得，
故在递减，在上递增，
故对于恒成立，
则；
（3）由关于的方程有两个实根，得有两个不等实根，
整理得，则，
即，
设函数，则上式为，
因为在上单调递增，所以，即，
令，，
由（1）可知在上递增，在上递减，
的最大值为，
又因为，，，，
所以要想有两个根，只需要，
解得，所以的取值范围为．
19．(1)
(2)（ⅰ）或；（ⅱ）
（1）由椭圆的定义可得的周长为4a，求出离心率解得利用求出b，可得椭圆的方程；
（2）（ⅰ）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合数量积为0，求出直线的斜率，进而求R的坐标；（ⅱ）不妨设点R的坐标是此时直线MN的方程可化为设点S到直线MN的距离为d，求出三角形的面积，分类讨论，求出d的最大值，即可得出结论.
【详解】（1）由椭圆的定义可得的周长为4a，所以所以
离心率解得所以
所以椭圆C的标准方程为
（2）（ⅰ）由（1）可得点坐标易得过点的所有直线与椭圆一定有两个不同的交点，
由可得
①直线MN斜率不存在时，在椭圆方程中令得
不妨设所以所以不成立；
②直线MN斜率存在时，设直线MN的斜率为k，则其方程为
设
由方程组消去y，得
则有
所以有
所以
当时
所以点R的坐标是
同理当时，点R的坐标是
综上所述，点R的坐标是或
（ⅱ）根据对称性面积最大值与点R所在象限无关，
不妨设点R的坐标是，此时直线MN的方程可化为
设点S到直线MN的距离为d，
因为T为PN的中点，R为MN的中点，所以可得
①直线l斜率不存在时，点S坐标为，此时点S到直线的距离
②直线l斜率存在时，设直线l方程为，
由方程组消去y，得
则有
所以点S坐标为
所以可得
令令
当时，即此时直线PQ与MN重合面积为
当即时，则有
从而当即时取得最大值
此时所以所以面积最大值为
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
B
D
B
B
B
B
AD
ACD
题号
11









答案
ABD









0
2
3
4
6
0
2
3
4
6