河南省信阳市罗山县2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题（解析版）

这是一份河南省信阳市罗山县2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题（解析版），共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 已知集合，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，，所以．
故选:B．
2. 设，则“”关于的方程“有实数根”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时， ，此时有实数根；
当有实数根时，，即.
故选:A.
3. 下列函数中，值域为的偶函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，因为的定义域为，所以此函数不是偶函数，故A错误；
对于B，因为，即的值域为，故B错误；
对于C，当时，，显然值域不为，故C错误；
对于D，因为的定义域为，且，
又，所以是值域为的偶函数，故D正确.
故选：D.
4. 在同一坐标系内，函数和的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对于A，由函数的图象可知，由的图象可知且，互相矛盾，故A错误；
对于B，由函数的图象可知，由的图象可知且，相符，故B正确；
对于C，由函数的图象可知，由的图象可知且，互相矛盾，故C错误；
对于D，由函数的图象可知，由的图象可知且，互相矛盾，故D错误.
故选：B.
5. 已知函数，则的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】令，可得.所以，
因此的解析式为.
故选：D.
6. 已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由是上的增函数，得，解得．所以实数的取值范围为．
故选：C
7. 设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由正实数，，满足，．
，当且仅当时取等号，此时．，当且仅当时取等号，
即的最大值是1．
故选：D
8. 已知函数，若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为不等式的解集为，所以的两实数根分别为和，所以解得所以．
令，解得或；令，解得．
由，可得或即或
则所求解集为．
故选:D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 设，则“”是“”的必要不充分条件
C. 命题“”的否定是“，”
D. “且”是“且”的充分不必要条件
【答案】BCD
【解析】对于A，命题“，”为全称量词命题，所以其否定是“，”，故A错误．
对于B，由为的真子集得为的真子集，则“”可以推导出“”，
但“”不能推导出“”，所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确．
对于C，“”的否定是“，”，故C正确．
对于D，由“且”可推导出“且”，而对于“且”，取，不满足“且”，所以“且”是“且”的充分不必要条件，故D正确．
故选:BCD．
10. 若，，且，下列结论中正确的有（ ）
A. 的最大值是B. 的最大值是
C. 的最小值是8D. 的最小值是
【答案】ABD
【解析】由题意，得，，且．
对于A，由，解得，当且仅当，时等号成立，则的最大值为，故A正确．
对于B，，当且仅当，时等号成立，所以的最大值为，故B正确．
对于，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是9，故C错误．
对于D，由，得，
当且仅当，时等号成立，则的最小值是，故D正确．
故选:ABD．
11. 设函数的定义域为，对于任意给定的正数，定义函数，则称为的“界函数”.若函数，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的值域为
C. 在上单调递减D. 函数为偶函数
【答案】BCD
【解析】根据题意，由，解得，
，所以，故A错误；
当时， 且在上单调递减，在上单调递增，，，所以，即的值域为，故B、C正确；
因为，则的图象如下所示：
由图可知的图象关于轴对称，所以函数为偶函数，故D正确；
故选：BCD
第II卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 为了提高同学们的学习兴趣，学校举办了数学、物理两科竞赛.高一年级(包括衔接班)共260名同学参加比赛，其中两科都取得优秀的有80人，数学取得优秀但物理未取得优秀的有40人，物理取得优秀而数学未取得优秀的有120人，则两科均未取得优秀的人数为_______.
【答案】20
【解析】如图所示
设两科均未取得优秀的人数为，则，
所以两科均未取得优秀的人数为20人
13. 已知幂函数的图象过点，若，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】由幂函数的图象过点，得，解得，
则，定义域为．
由可得为偶函数．
由幂函数的单调性可知，函数在上单调递减．
所以等价于，等价于，解得或．
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
14. 已知函数，存在直线与的图象有4个交点，则_____，若存在实数，满足 ，则的取值范围是_______．
【答案】 1；
【解析】当时，令，解得或；
令，解得；
故可作出的图象，如图：

由图可知，当时，，当时，，
所以若存在直线与的图象有4个交点时，如图：

当时，直线与的图象有4个交点；
若存在实数，满足，
如图：

可知当时，存在实数，满足，
令，解得，则可得；
因为关于对称，；同理关于对称，；所以，
又因为，所以，
所以的取值范围是.
故答案为：1；.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，．
（1）在①，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答．问题：当集合满足_________时，求实数的取值范围．
（2）若，求实数的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分．
解：（1）选择①，由可得，
当时，，解得
当时，，解得．
综上，实数的取值范围为．
选择②，由可得，
当时，，解得
当时，，解得．
综上，实数的取值范围为．
选择③，由可得．
当时，，解得；
当时，，解得，
综上，实数的取值范围为.
（2）当时，由，解得，符合题意
当时，或，解得；
综上，实数的取值范围为．
16. 已知命题“，方程有实根”是真命题.
（1）求实数的取值集合；
（2）关于的不等式组的解集为，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.
解：（1）因为命题“，方程有实根”是真命题，
所以方程有实根，则有，解得，
所以实数m的取值集合.
（2）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，
当即时，不等式组无解，所以，满足题意；
当即时，不等式组的解集为，
由题意是的真子集，所以，所以.
综上，满足题意的的取值范围是或.
17. 已知．
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数的奇偶性，并证明；
（3）若对任意的，都有，求实数的最小值．
解：（1）因为，①
所以，②
联立
①2-②得．
（2）函数是奇函数．
因为函数的定义域为，
且满足，
所以是奇函数.
（3）当时，，
当且仅当，即时取等号，所以．
易知当时，，且．
由（2）知，是奇函数，则是奇函数．
所以当时，,所以函数的值域为，
即，．
因为对任意的都有，
所以．
所以的最小值是．
18. 某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工品，已知该企业日加工处理量（吨）最少为70吨，最多为120吨，日加工处理总成本（元）与日加工处理量之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元.
（1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？（平均成本=）
（2）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式有两种方案
方案一：每日进行定额财政补贴，金额为2300元；
方案二：根据日加工处理量进行财政补贴，金额为元.
如果你是企业的决策者，为了获得每日最大利润，你会选择哪个方案进行补贴？为什么？.
解：（1）由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为
当且仅当，即时，
每吨厨余垃圾的平均加工成本最低，因为，
所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态.
（2）若该企业采用补贴方案一，设该企业每日获利为，
因为，
所以当吨时，企业获得最大利润，为850元.
若该企业采用补贴方案二，设该企业每日获利为，
因为，
所以当吨时，企业获得最大利润，为1800元.
结论：选择方案一，当日加工处理量为70吨时，可以获得最大利润850元；
选择方案二，当日加工处理量为100吨时，获得最大利润1800元；
所以选择方案二进行补贴.
19. 已知二次函数满足，且．
（1）求函数的解析式；
（2）若，当时，不等式有解，求实数的取值范围；
（3）当时，函数的图象恒在函数的图象下方，求实数的取值范围．
解：（1）由题可设．
由，得．
因为，
所以．所以．
（2）．
由，令，则，
所以可化为
．
因为，所以，当且仅当，即时，等号成立．
所以．因为不等式有解，所以．
所以实数的取值范围为．
（3）由题意，可得在上恒成立，
即在上恒成立．
令，设，，
则函数的图象开口向上，对称轴为．
所以当时，函数单调递减；当时，函数单调递增．
因为，
所以，即，的最大值为3，
即在上的最大值为3．所以．
所以实数的取值范围为．