山西大同市铁路第一中学校2025−2026学年第二学期期末考试高二数学试卷（含答案）

这是一份山西大同市铁路第一中学校2025−2026学年第二学期期末考试高二数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知命题，则为（ ）
A．B．
C．D．
3．王老师为了了解全班50位同学某次考试的成绩状况，随机抽查了10位同学该次考试的数学与物理成绩，列表如下：
若这10位同学的成绩能反映全班的成绩状况，且全班成绩服从正态分布，用实线表示全班数学成绩的正态曲线，虚线表示全班物理成绩的正态曲线，则随机变量与的正态曲线可能是（ ）
A．B．
C．D．
4．函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，则函数（ ）
A．是奇函数，且在上单增B．是奇函数，且在上单减
C．是偶函数，且在上单增 D．是偶函数，且在上单减
6．如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆3个，另一堆也是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（ ）

A．B．C．D．
7．已知且，函数.若对任意的，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数定义域为，为其导函数，若恒成立，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知随机变量，，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知正实数满足，则（ ）
A．的最大值为4B．的最大值为8
C．的最小值为D．的最小值为8
三、填空题
12．已知函数，若，则______.
13．的展开式的常数项是________（用数字作答）
14．已知函数恰有三个零点，则实数a的取值范围为______．
四、解答题
15．已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
16．某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下列联表：
注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”.
（1）请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系；（计算结果精确到小数点后三位）
（2）将频率视为概率，从学校不经常锻炼的学生中抽取4人，设抽取的4人中男生人数为，求的分布列和数学期望.
附：，
17．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表：
（1）求收益关于售出水量的回归直线，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？
附：
（2）期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级前201~500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生不获得奖学金.学生甲获一等奖学金的概率为，获二等奖学金的概率为，不获得奖学金的概率为.求在学生甲获得奖学金的条件下，求他获得一等奖学金的概率.
18．已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求实数的值；
（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
19．已知函数.
（1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值；
（2）若函数有两个极值点，，且.
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）证明：.
参考答案
1．【答案】C
【详解】解不等式得：，
故选C
2．【答案】D
【详解】根据题意可知，命题的否定为.
故选D
3．【答案】A
【详解】因为，所以随机变量的正态曲线的对称轴在随机变量的正态曲线的对称轴的左边，排除B，C；
因为，所以随机变量的总体分布更离散，正态曲线比随机变量的正态曲线“矮胖”，排除D，
故选A.
4．【答案】C
【详解】令，即，因为恒成立，所以，
解得或，数图象与轴有两个交点和。
观察选项：A选项：当时图象一直在轴下方，不符合时，故排除A；
B选项：当时图象有部分在轴下方，而当时，，，所以，故排除B；
D选项： 由导数可知，当时，函数单调递增，D
选项在时单调递减，故排除D；
C选项：图象过原点，在时函数值为正且先增后减（存在极大值），在后先减后增（存在极小值），符合函数性质.
5．【答案】A
【详解】根据函数的奇偶性的定义，得到函数为奇函数，再结合指数函数的图象与性质，得到函数是增函数，即可求解.
【详解】由题意，函数的定义域为，关于原点对称，
因为，所以函数为奇函数，
又由，
根据指数函数的图象与性质，可得函数和都是增函数，
所以函数是增函数.
故选A
6．【答案】C
【详解】如下图所示，对集装箱进行编号，
则可知1号箱子一定在2号箱子前被取走，2号箱子一定在3号箱子前被取走，
4号箱子一定在5号箱子前被取走，5号箱子一定在6号箱子前被取走，
根据定序问题用除法得到不同取法的种数为，
故选C.

7．【答案】B
【详解】因为函数对任意的，都有，所以函数在定义域内单调递减，
则一定有，解不等式组得.
故选B.
8．【答案】B
【详解】令，则，
因为在上，恒成立，可知在上单调递增，
因为，所以，
当时，即，可得，
因为在上单调递增，所以.
故选B.
9．【答案】BC
【详解】因为随机变量，，
所以，故A错误，BC正确；
因为，所以，故D错误.
故选BC
10．【答案】ABD
【详解】在中，令，得，故A正确；
在中，令，得，
在中，令，得，
所以，故B正确；
在中，令，得，
又，所以，故C不正确；
在中，两边对求导，
得，
令，得，故D正确.
故选ABD.
11．【答案】ACD
【详解】对于A，，得，当且仅当，时取等号，故A正确；
对于，当且仅当时取等号，故B错误；
对于C，，
当且仅当，时取等号，故C正确；
对于D，，当且仅当，时取等号，故D正确．
故选ACD．
12．【答案】
【详解】由得，因为，所以.
13．【答案】240
【详解】因为的展开式的通项公式为，
令，解得．
所以的展开式的常数项是．
14．【答案】
【详解】函数恰有三个零点，即方程有三个解，
设，则，
令，即，因为，所以解得，
令，即，解得，
所以函数与变化关系如下表：
由可知，
当时，，，所以且，
可得函数大致图形如下：
所以要满足题意，需.
15．【答案】（1）减区间，增区间
（2）最大值为，最小值为.
【详解】（1），若，则，若，则，
所以的减区间为，增区间为.
（2）由（1）可得，当时，单调递减，当，单调递增，
因为，，，
故当时，最大值为，最小值为.
16．【答案】（1）列联表：
可以认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系
（2）分布列：
【详解】（1）根据统计表格数据可得列联表如下：
零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；
根据列联表的数据计算可得
，
根据小概率值的独立性检验，有充分的理由推断不成立，
即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1.
（2）依列联表，从不经常锻炼的学生中任取一人，是男生的概率为，
所以，，，，，，
.
17．【答案】（1），186元.
（2）
【详解】（1）依题意可得，
，
，
当时，（元），
即每天售出8箱水的预计收益是186元.
（2）设事件为“学生甲获得奖学金”，事件为“学生甲获得一等奖学金”，
则，，所以，
即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为.
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为函数是上的奇函数，所以，即，解得；
此时，，所以是上的奇函数，符合题意；
因此.
（2）由（1）知， 是上的奇函数，，所以；
又，所以，所以在上单调递减，
所以，即对任意的恒成立；
当时，，当且仅当，即，即时取等号，所以；
所以，即实数的取值范围是.
19．【答案】（1）；
（2）（ⅰ）；（ⅱ）见详解.
【详解】（1）由题，
因为曲线在点处的切线垂直于直线，
所以.
（2）（ⅰ）因为，
因为函数有两个极值点、，所以在上有两个不同的根，
所以函数与的图象在上有两个不同的交点，
设直线与曲线相切于点，，
则切线斜率为，所以，
所以函数与的图象在上有两个不同的交点，
则，
所以a的取值范围为；
（ⅱ）证明：由题可得、是的两根，且.
所以，
，
令，则，
所以要证明即证，即证，
即证，
因为，所以，
所以函数即在上单调递减，所以，
所以函数在上单调递增，
所以，即，
所以.学生
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸
平均值
标准差
数学成绩X/分
88
62
物理成绩Y/分
75
63
性别
不经常锻炼
经常锻炼
合计
男生
7
女生
16
30
合计
21
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
售出水量（单位：箱）
7
6
6
5
6
收益（单位：元）
165
142
148
125
150
正
0
负
0
正
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
性别
不经常锻炼
经常锻炼
合计
男生
7
23
30
女生
14
16
30
合计
21
39
60
0
1
2
3
4
性别
不经常锻炼
经常锻炼
合计
男生
7
23
30
女生
14
16
30
合计
21
39
60
0
1
2
3
4