山西晋中市介休市第一中学校2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题（含答案）

这是一份山西晋中市介休市第一中学校2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题（含答案），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 试题满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，则满足的集合的个数是（ ）
A. 1B. 3C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件可得，列举出集合即可确定选项.
【详解】由题意得，.
由得，，
∴，，或，共4个.
故选：C.
2. 下列函数中，是偶函数且在区间上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义和判定方法，结合初等函数的单调性，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由指数函数的性质，可得函数为非奇非偶函数，所以A不符合题意；
对于B中，函数的定义域为关于原点对称，
且，所以为奇函数，所以B不符合题意；
对于C中，函数的定义域为关于原点对称，且满足，所以为偶函数，
当时，，在区间上单调递增，所以C符合题意；
对于D中，函数在期间上不是单调递增函数，所以D不符合题意.
故选：C.
3. 已知幂函数的图象不过原点，且关于轴对称，则（ ）
A. 或B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由函数是幂函数，再验证即可.
【详解】解：因为函数是幂函数，
所以，即，
解得或，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
故选：D
4. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用对数换底公式以及运算性质，利用作商法结合对数函数的单调性比较大小即可.
【详解】由题意可知，.
则，所以.
则，所以.
所以.
故选：D.
5. 设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.
【详解】由题意可得：，
而，
故.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.
6. 已知定义在上的函数在单调递增，且是偶函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由可得函数关于对称，在上单调递减，进而可得，即得.
【详解】∵为偶函数，
∴，即函数关于对称，
又函数在上单调递增，
∴函数在上单调递减，
由，可得，
整理得，解得或，
即不等式的解集为.
故选：B.
7. 将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A. 0.3B. 0.5C. 0.6D. 0.8
【答案】C
【解析】
【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.
【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：
，
共10种排法，
其中2个0不相邻的排列方法为：
，
共6种方法，
故2个0不相邻的概率为，
故选：C.
8. 已知是定义在上的奇函数，，对，且有，则关于x的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设出函数，根据题意得出函数的性质，从而解决问题.
【详解】解：因为是定义在上的奇函数，
所以
所以函数是定义在上的偶函数，
因为对，且有，
所以在上单调递增，
所以，
当时，则有，
所以，即，
所以在上单调递增，
因为是定义在上的偶函数，
所以在上单调递减，
因为，
所以即为，
所以，解得.
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 若，则下列各式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由给定条件结合各选项构造函数，借助函数的单调性或值域即可作答.
【详解】对于A，函数在上单调递增，因，则，即，A正确；
对于B，函数在上单调递减，因，则，即，B不正确；
对于C，函数在上单调递增，因，则，即，于是得，C正确；
对于D，函数F(x)=lgx(x>0)的值是R，因，则，可取任意实数，D不正确.
故选：AC
10. 下列命题中正确的是（ ）
A. 的最小值为2
B. 函数的值域为
C. 已知为定义在R上的奇函数，且当时，，则时，
D. 若幂函数在上是增函数，则
【答案】CD
【解析】
【分析】根据基本不等式即可判断A，根据指数复合型函数的单调性即可求解B，根据函数的奇偶性即可求解C，根据幂函数的性质即可求解D.
【详解】对于A，由于，所以，当且仅当，即时等号成立，但无实根，故等号取不到，故A错误，
对于B,由于，所以，又，
故函数的值域为，B错误，
对于C，当时，则，，由于，故时，，C正确，
对于D，幂函数在上是增函数，则，解得，故D正确，
故选：CD
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 为奇函数
B. 在上单调递增
C. 关于的方程有2个解
D. 若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的范围是
【答案】AC
【解析】
【分析】对 A，求出函数定义域，验证定义域关于原点对称，再判断与关系，依据定义判断函数奇偶性；对 B，在区间用作差法比较的大小得到该区间单调性，再依据奇函数性质判断区间单调性；对C，将分区间去绝对值求解，利用是偶函数的对称性判断方程解的情况；对 D，把原函数写成分段形式，转化不等式，结合整数解仅有 1 个的条件，结合图象求解参数范围.
【详解】对于A：函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，所以为奇函数，A正确；
对于B：任取，，
，，，所以，，
即函数在单调递减，
又因为函数为奇函数，所以在上单调递减，B错误；
对于C：时，，
当时，，令，解得，
当时，，令，无解；
令，则，所以函数为偶函数，
由对称性可知在上方程有解，C正确；
对于D：，
关于的不等式可得，
结合图象可知，当时，不等式有无数个整数解；
当时，在区间内无整数解，
因此只需在内包含一个即可.
因为，
因此若不等式恰好有1个整数解，只需，
解得，D错误．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数，若实数，满足，则等于______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数奇偶性的定义，求得函数为定义域上的奇函数，结合，得到，即可求解.
【详解】由题意，函数的定义域为关于原点对称，
又由
，
即，所以函数为定义域上的奇函数，
因为，所以，即.
故答案为：.
13. 计算的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用指数幂的运算性质、对数恒等式以及对数换底公式计算可得结果.
【详解】原式.
故答案为：.
14. 设函数若不等式对恒成立，则实数的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】先把恒成立问题转化为最值问题，结合，，得出，再结合二次函数值域列式计算即可.
【详解】当，，所以，
若不等式，恒成立，则，所以，
当，，对称轴为，
当时，单调递减，单调递增，
所以，
则，所以，所以.
故答案为：.
四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知指数函数在其定义域内单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，当时．求函数的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数函数定义和单调性可解；
（2）令，利用二次函数的单调性求解可得.
【小问1详解】
是指数函数，
，
解得或，
又因为在其定义域内单调递增，所以，
；
【小问2详解】
，
，令，
，
，
，
的值域为．
16. 已知函数
（1）证明：当时，至少有一个零点．
（2）当时，关于x的方程在上没有实数解，求m的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】(1)根据零点存在性定理可得；（2）判断单调性求值域，最后求解.
【小问1详解】
当时，
因为，
根据零点存在性定理，可知在上至少一个零点.
【小问2详解】
当时，于x的方程变为：
又因为函数上单调递减，所以的值域为
方程在上没有实数解，则
17. 甲、乙两个不透明的箱子中各装有9个大小和质地完全相同的球．其中甲箱中有4个白球，5个黑球乙箱中有7个白球，2个黑球．
（1）若采用不放回抽取的方式，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从甲箱中任取2个球．设取出的2个球的得分的和为．求随机变量的分布列；
（2）现从甲箱中任取2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个球，求从乙箱中取出的这个球是黑球的概率．
【答案】（1）
的分布列为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到随机变量的可能取值为，利用超几何分布的概率计算公式，求得相应的概率，列出分布列；
（2）设事件为“从乙箱中取出的这个球是黑球”，事件为“从甲箱中取出的2个球都是白球”，事件为“从甲箱中取出1个白球1个黑球”，事件为“从甲箱中取出2个球都是黑球”，结合全概率公式，即可求解.
【小问1详解】
解：由题意，随机变量的可能取值为，
可得，
所以的分布列为
【小问2详解】
解：设事件为“从乙箱中取出的这个球是黑球”，
事件为“从甲箱中取出的2个球都是白球”，事件为“从甲箱中取出1个白球1个黑球”，事件为“从甲箱中取出2个球都是黑球”，
则，，彼此互斥，且，
可得，
且，
所以
18. 如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）如图所示，连结，
等边中，，则，
平面平面，且平面平面，
由面面垂直的性质定理可得：平面，故，
由三棱柱的性质可知，而，故，且，
由线面垂直的判定定理可得：平面，
结合平面，故.
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直
（2）建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
在底面内作，以点为坐标原点，方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系.
设，则，,，
据此可得：，
由可得点的坐标为，
利用中点坐标公式可得：，由于，
故直线EF的方向向量为：.
设平面的法向量为，则：
，
据此可得平面的一个法向量为，.
此时，
设直线与平面所成角为，则.，利用向量的夹角公式求解.
19. 已知函数.
（1）若在上单调递增，求的取值范围；
（2）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次函数以及对数复合函数的单调性即可求解，
（2）利用二次函数的性质求解的最值，即可根据对任意的恒成立，分离参数，利用基本不等式即可求解.
【小问1详解】
若在上单调递增，则需满足，解得
【小问2详解】
，
由于，，故，
由于对于任意，存在，使得不等式成立，故，因此对任意的恒成立，
因此对任意的恒成立，
故对任意的恒成立，
由于，当且仅当时取到等号，
故2
3
4
2
3
4