广东揭阳市2025−2026学年高二下学期7月期末教学质量测试数学试题（含答案）

这是一份广东揭阳市2025−2026学年高二下学期7月期末教学质量测试数学试题（含答案），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设，复数为实数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知全集，且，则集合（ ）
A．B．
C．D．
3．为了得到函数的图象，只需将函数的图象上的每个点（ ）
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度
D．向右平行移动个单位长度
4．的展开式中，的系数为10，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
5．已知一组数据如下：20，8，30，15，27，12，24，18，则这组数据的第40百分位数为（ ）
A．15B．18C．20D．15.6
6．在中，，，.若于，则（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知中，，的面积为，为中点，则点的轨迹为（ ）的一部分.
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
二、多选题
9．已知圆：，直线：.若圆与直线有公共点，则的值可能为（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，，母线长为4，点为的中点，则（ ）

A．圆台的体积为
B．圆台的侧面积为
C．存在互相垂直的母线
D．在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长为
11．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”从上向下数，第一层有1个球，第二层比第一层多2个球，第三层比第二层多3个球，第四层比第三层多4个球，以此类推，设各层球数为，则下列说法正确的是（ ）
A．若该“三角垛”共5层，则小球总数为35个
B．
C．设，则的前项之和为
D．若该“三角垛”的每个小球半径都为，则当层数为层时，该“三角垛”的高度为
三、填空题
12．函数的图象在点处的切线的方程为________．
13．潮汕电影《给阿嬷的情书》在全国热映，吸引许多游客到电影取景地“打卡”.小明同学发现，电影在揭阳的三个主要取景地——揭西县棉湖镇（点A）、榕城区登岗镇（点B）、揭阳古城（点C）构成三角形区域，他借助地图测得，，，则约为________.（结果保留整数，参考数据：）
14．如图，若干个底和高都一样长的等腰三角形，将它们的底边按从小到大的顺序依次排列在轴上.若这些等腰三角形的底边长构成公差为1的等差数列，且顶点恰好在抛物线上，则________.
四、解答题
15．已知数列前n项和为，且，
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
16．已知函数，.
（1）若，求的单调性；
（2）若存在两个极值点，求实数的范围.
17．如图，在三棱锥中，，底面，平面平面.

（1）求证：平面；
（2）点是的中点，求直线与平面所成角的正切值.
18．某仓库中同一型号的智能巡检机器人由甲、乙两厂供货.已知甲厂产品的次品率为，乙厂产品的次品率为.从仓库中随机抽取一台，发现其为次品的概率为.
（1）设甲厂在仓库中的供货占比为，求的值；
（2）若已知抽到的产品是次品，求它产自甲厂的概率；
（3）基于上述供货占比，质检员对这批机器人进行有放回的随机抽检，每次记录其生产厂.一旦累计抽到台甲厂产品，或抽取次数达到次，立即停止，记停止时已抽取的总次数为，求的分布列.
19．已知椭圆过点，右焦点为，且轴.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线过点且与椭圆交于、两点.
（i）证明为定值，并求出此定值；
（ii）对，直线的倾斜角为，记，数列满足，求数列的通项公式.
参考答案
1．【答案】A
【详解】展开复数：2+i2+mi=4+2mi+2i+mi2=4−m+2m+2i，
因为该复数为实数，所以虚部为 0：2m+2=0 ⇒ m=−1.
2．【答案】C
【详解】全集 U={0,1,2,…,10}.因为 U=A∪B，所以 ∁UB⊆A.
因此 ∁UB=A∩(∁UB)={1,3,5,7,9}.
所以集合 B 为 U 中除去 ∁UB 的元素：B={0,2,4,6,8,10}.
3．【答案】C
【详解】将目标函数变形为：y=sin14x+π3=sin14x+4π3，
根据“左加右减”原则，需将函数 y=sin14x 图像上的每个点向左平行移动 4π3 个单位长度.
4．【答案】B
【详解】二项式 (1+x)n 的通项为 Tk+1=Cnkxk.
令 k=3，则 x3 的系数为 Cn3=10.即 n(n−1)(n−2)3×2×1=10 ⇒ n(n−1)(n−2)=60.
因为 n 为正整数且 n≥3，验证可知 5×4×3=60，故 n=5.
5．【答案】B
【详解】将数据由小到大排列：8,12,15,18,20,24,27,30（共 8 个）.计算位置指标：8×40%=3.2.因为结果不是整数，向上取整为第 4 项.故第 40 百分位数为 18.
6．【答案】C
【详解】在 △ABC 中，由余弦定理 BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcs60∘，
代入得 3=1+AC2−AC，解得 AC=2（舍负）.
此时 AB2+BC2=1+3=4=AC2，故 ∠ABC=90∘，即 BA→⋅BC→=0.
设 BD→=λBA→+μBC→，因 D 在 AC 上，则 λ+μ=1 ①.
又 BD⊥AC，即 BD→⋅(BC→−BA→)=0，
展开得：(λBA→+μBC→)⋅(BC→−BA→)=−λ∣BA→∣2+μ∣BC→∣2=−λ+3μ=0
即 λ=3μ ②.联立①②解得 λ=34,μ=14.
故 BD→=34BA→+14BC→.
7．【答案】D
【详解】由，因此是R上的奇函数，
其中，仅在处导数为0，因此是R上的单调递增函数，
原不等式，则，得，即恒成立，
令，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
因此的最大值为
所以，只需，即的取值范围是.
8．【答案】C
【详解】如图，以为坐标原点，角的平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
记，由题知，得到，
不妨设在第一象限，因为，则，
设，则，得到，，
所以，整理得到，
所以点的轨迹为双曲线的一部分

9．【答案】AB
【详解】圆的圆心，半径为，直线，若圆与直线有交点，
则圆心到直线的距离，解得，故选A、B.
10．【答案】ABD
【详解】轴截面梯形上底为2，下底为6，延长与相交与,根据相似三角形定理得,所以，解得,故,所以圆心角,则侧面展开图是半圆环（如图），

上底半径，下底半径,母线，所以高.
圆台的体积，故A正确.
圆台侧面积，故B正确.
母线夹角最大出现在同一轴截面两侧，夹角为，，最大夹角为，故C错误.
在圆台侧面上从到的最短路径，由点为的中点，所以，在展开图中是线段，故D正确.
11．【答案】ABD
【详解】A：由题意，各层球数为，，，，，
若共5层，小球总数个，正确，
B：由题意，第层的球数为前个正整数的和，即，正确，
C：由，则，，，，，
相邻两项之和，，
则
，显然与不相等，错误，
D：每增加一层，上层的一个球恰好落在下层三个相邻球构成的凹槽中，四个球的球心构成一个棱长为的正四面体，
正四面体的高为，
则第一层球的球心到第层球心间的距离为，
故该“三角垛”的总高度为，正确.
12．【答案】
【详解】由，得，所以切线的斜率为，
所以切线方程为，即，
13．【答案】
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【详解】在中，根据余弦定理：，
代入已知条件，，，且，
所以
因此，结合参考数据，
得：.
14．【答案】
【详解】设第个等腰三角形的底边长为，高为，则，
由题意“底边长构成公差为1的等差数列”，则，
因为三角形都是等腰三角形，且底边都在轴上，其顶点位于底边的中垂线上，
设第个等腰三角形的底边的中点横坐标为，则纵坐标为，
即第个等腰三角形的顶点坐标为，
由题意知，，
所以，
所以
，
因为顶点在抛物线上，所以，
即，
整理得：，
因为对任意上式恒成立，则同次数项系数相等，
则由项系数相等，得.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，所以当时，，
两式作差得，
又符合上式，故的通项公式为.
（2）由（1）知，，
则.
16．【答案】（1）
在上单调递增；
（2）
【详解】（1）若，则函数，定义域为.
恒成立，
所以在上单调递增.
（2）函数的定义域为.
.
若存在两个极值点，有两个变号零点，
因为，所以方程有两个不等的正实数根，记为.
所以，解得.
故实数的范围是.
17．【答案】（1）过作于，因为平面平面，平面平面，
又平面，所以平面，又平面，所以，
因为底面，又平面，所以，
又平面，所以平面.
（2）
【详解】（1）略
（2）由（1）知平面，所以为直线与平面所成的角，
设，因为，则为的中点，又是的中点，
所以，又易知，
在中，.
18．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）设甲厂在仓库中的供货占比为，则乙厂在仓库中的供货占比为.
设从仓库中随机抽取一台，该产品是甲厂产品为事件；该产品是乙厂产品为事件；该产品是次品为事件.
则，所以.
（2）由题意得.
所以若已知抽到的产品是次品，则它产自甲厂的概率为.
（3）由题意知的可能取值是.
则；
；
；
.
故的分布列为
19．【答案】（1）；
（2）（i）证明：设直线的方程为．
联立，消去，得
由根与系数的关系得.
由椭圆的第二定义，椭圆的右准线为，离心率为．
所以.
所以.
故为定值，定值为．
（ii）.
【详解】（1）设椭圆的标准方程为.
由题意得，即，将点代入椭圆方程得：，
解得，.
所以椭圆方程为.
（2）（i）略；
（ii）当直线的倾斜角为时，由焦半径公式，(后续证明).
结合（i）得，
则，从而，
所以，
因为，且，
所以，
由配对求和可得，
因此.

补充说明焦半径公式：
设，在中，，
等式两边平方可得：
，
结合化简可得．
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