山西大同市实验中学2025−2026学年高二第二学期期末学情检测数学试题（含答案）

这是一份山西大同市实验中学2025−2026学年高二第二学期期末学情检测数学试题（含答案），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则的值为（ ）
A．15B．C．D．
4．曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．“”是“在上恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知定义在上的函数满足：，，且在内单调递增，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．如图是函数的导函数的图象，则（ ）
A．在时，函数取得极值
B．在时，函数取得极值
C．函数在区间上单调递增
D．的图象在处切线的斜率小于零
10．下列结论正确的是（ ）.
A．当时，
B．当时，的最大值是
C．当时，的最小值是
D．当时，的最大值是
11．已知函数满足，，则（ ）
A．B．C．为偶函数D．
三、填空题
12．函数的零点个数为___________.
13．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为___________．
14．已知曲线和有两条公切线，其中一条为直线，则另外一条公切线的方程为________．
四、解答题
15．求抽象函数的定义域.
（1）已知函数，求函数的定义域；
（2）已知函数的定义域为，求的定义域.
16．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求的值；
（2）若，求函数的值域.
17．（1）已知函数．求的极值；
（2）已知函数在上是严格减函数，则实数的取值范围．
18．已知函数.
（1）若实数，满足，求关于的不等式的解集；
（2）若，求函数在上的最小值的解析式；
（3）若，对恒成立，求实数的取值范围.
19．设函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为M={x∣2x−1>3}={x∣x>2}，
N={1,2,3}，所以M∩N={3}.
2．【答案】C
【详解】由题意得，解得且，
故定义域为
3．【答案】C
【详解】因为，所以，
又，所以.
故选C.
4．【答案】D
【详解】因为，则，当时，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
5．【答案】A
【详解】因为函数在上是增函数，
所以，，解得，所以实数的取值范围是．
故选A.
6．【答案】B
【详解】在上恒成立，
即在上恒成立，
故
“”是“”的必要不充分条件
故选B
7．【答案】D
【详解】解：由题意知，函数的定义域为，
因为，
所以为奇函数，排除A；
，排除B；，排除C.
故选D.
8．【答案】A
【详解】由题意，，则，
又，所以，变形可得，
用替换其中的，可得，所以，
所以函数的周期为，
所以，，
，又，所以，
又函数在内单调递增，所以，
即.
故选A
9．【答案】AC
【详解】对于A，根据图象可知，当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，.
所以在时，函数取得极小值，所以A正确；
对于B，根据图象可知，当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递增，.
所以在时，函数没有极值，所以B错误；
对于C，根据图象可知，在上大于等于0，所以函数在区间上单调递增，所以C正确；
对于D，因为，所以它的图象在处切线的斜率大于零，D错误.
10．【答案】ABD
【详解】当时，，当且仅当时取到等号，由于,故等号取不到，所以故 A正确；
当时，，当，即时，等号成立，故B正确；
当时，，
当，即时，等号成立，故C错误；
当时，，
当，即时，等号成立，故D正确.
11．【答案】ACD
【详解】对于A：令，则，
又，所以，故A正确；
对于B：令，则，
即，所以，故B错误；
对于C：令，则，
令，则，
所以，则为偶函数，C正确；
对于D：令，则，
即，
将上式中的替换为，得，
上述两式消去，得，
即，D正确.
故选ACD
12．【答案】2
【详解】当时，令，解得，，此时有1个零点；当时， ，显然单调递增，
又，由零点存在定理知此时有1个零点；综上共有2个零点.
13．【答案】
【详解】函数在上单调递增，由函数在上单调递增，
得函数在上单调递增，且，恒成立，
因此，解得，所以实数的取值范围为.
14．【答案】
【详解】对，求导得，
设切点为，切线斜率，解得，则切点为，切线方程为，满足条件.
对，求导得.
设切点为，则切线斜率为，所以，故切点坐标为，
代入切线中得，，则.
设另一条公切线与相切于，则切线方程为，
即.
设该公切线与相切于，则切线方程为，
即.
所以，解得或.
当时，对应切线方程为，即已知切线方程；
当时，对应切线方程为.
故另外一条公切线的方程为.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）解：由，
得，解得：，
∴函数的定义域为；
（2）解：∵函数的定义域为，
∴，则，
即函数的定义域为，
由，得，
∴的定义域为．
16．【答案】（1）；
（2）.
【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，
，
当时，，，
；
（2）当时，，，
，
令， ，，
，
函数图象开口向上，对称轴为，
，
函数的值域为.
17．【答案】（1）极大值，极小值；（2）
【详解】（1）由函数，可得其定义域为，且，令，即，解得或．
当时，，单调递增：
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以当时，取得极大值，极大值为；
当时，取得极小值，极小值为．
（2）由函数，可得其定义域为，且，
因为在上是严格减函数，所以在上恒成立，且不恒为0，
即在上恒成立，即在上恒成立，
又因为在上为单调递减函数，
所以，可得，解得，经验证：时，仅在时取等号，符合题意，
所以实数的取值范围是．
18．【答案】（1）见详解；
（2）；
（3）
【详解】（1）由得，
若，则；
若，则不等式解集为；
若，则不等式解集为；
若，则不等式解集为或；
综上所述：时，不等式解集为，时，不等式解集为，
时，不等式解集为，时，不等式解集为或；
（2）若，即，
易知在上单调递增，在上单调递减，
若，即时，则，
若，即时，则，
若，即时，则，
综上；
（3）若，即，
所以，
令，易知时，，设，
由对勾函数的性质知在上单调递增，所以，
故对恒成立等价于
对恒成立，
由二次函数的性质可知，所以,
即
19．【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增；
（2）证明：由（1）知，当时，在处取得最小值，
因此，对任意，有.
只需证明 ，即
令，.
求导得，
，故在上单调递增.
由知，当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增.
所以在处取得最小值.
因此，即成立，等号当且时取得.
【详解】（1）函数的导数为，
当时，恒成立，故，所以在上单调递增；
当时，令 ，得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增.
（2）略