山西大同市北京师范大学大同附属中学校2025−2026学年高二第二学期期末考试数学试题（含答案）

这是一份山西大同市北京师范大学大同附属中学校2025−2026学年高二第二学期期末考试数学试题（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
3．不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知函数，则（ ）
A．8B．C．D．
5．某中学从名男生和名女生中推荐人参加社会公益活动，若选出的人中既有男生又有女生，则不同的选法共有
A．种B．种C．种D．种
6．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
7．若是奇函数，则的值域为（ ）
A．B．
C．D．
8．“函数在区间上单调递增”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
二、多选题
9．下列说法中正确为（ ）
A．已知函数，若，有成立，则实数a的值为4
B．若关于x的不等式恒成立，则k的取值范围为
C．设集合，则“”是“”的充分不必要条件
D．函数与函数是同一个函数
10．将3颗骰子各掷一次，记事件A为“三个点数都不相同”，事件B为“至少出现一个1点”，则下列说法中正确的是（ ）
A．“至少出现一个1点”所包含的样本点数为
B．“三个点数都不相同”所包含的样本点数为
C．
D．
11．若为函数的导函数，对任意的，恒有，且，则（ ）
A．B．
C．为奇函数D．若，则
三、填空题
12．二项式的展开式中的常数项为________．
13．一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，记下颜色后放回，一共拿4次，设拿出黄球的次数为，则 .
14．已知函数，若方程有三个根，则 的取值范围是_______.
四、解答题
15．已知椭圆，点在椭圆上，且点到两焦点和的距离之和为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点的坐标为，过点的直线与椭圆交于（异于点）两点，且直线的斜率为，求的面积．
16．已知等差数列的前n项和为，且.
（1）求；
（2）求数列的前n项和.
17．如图，在四棱锥中，平面，，，，直线与平面所成角为，为线段的中点.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
18．甲、乙两选手进行乒乓球比赛，采用5局3胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立.
（1）求赛完4局且乙获胜的概率；
（2）若规定每局获胜者得2分，负者得分，记比赛结束时甲最终得分为，求的分布列和数学期望.
19．已知函数.
（1）当时，求的单调区间
（2）讨论的单调性；
（3）当时，证明.
参考答案
1．【答案】A
【详解】由，所以集合；
因为函数的定义域为，所以.
所以.
故选A
2．【答案】A
【详解】因为带量词的命题的否定只需改变量词，否定结论，
所以命题“”的否定是“”.
3．【答案】C
【详解】，可得，
即为，且，可得
故选C
4．【答案】B
【详解】因为，所以.
故选B.
5．【答案】B
【详解】分析：根据题意，选用排除法，分3步，①计算从6人中，任取3人参加社会公益活动选法，②计算选出的全部为男生或女生的情况数目，③由事件间的关系，计算可得答案．
详解：分3步来计算，
①从6人中，任取3人参加社会公益活动，分析可得，这是组合问题，共种情况；
②选出的3人都为男生时，有 种情况，
③根据排除法，可得符合题意的选法共种；
故选B．
点睛：本题考查计数原理的运用，注意对于本类题型，可以使用排除法，即当从正面来解所包含的情况比较多时，则采取从反面来解，用所有的结果减去不合题意的结果
6．【答案】A
【详解】因为，所以
又，即；
因为，
所以，即，
综上，，即.
7．【答案】B
【详解】函数的定义域为，
由是奇函数即，
所以，解得，
则，
因为且，所以，，则，
即，可得，
所以函数的值域为．
8．【答案】B
【详解】二次函数的对称轴为，
函数在区间上单调递增，则，解得，
由可得，但是由得不到，
所以函数在区间上单调递增是的必要不充分条件.
9．【答案】AC
【详解】对于A：由成立，可得函数的对称轴为，
又二次函数的对称轴为，
所以，解得，故A正确；
对于B：当时，可得成立，满足题意，
当时，可得，解得，
综上k的取值范围为，故B错误；
对于C：当时，，所以，充分性成立，
若，则或，解得或，必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确；
对于D：函数定义域为R，函数的定义域为，
定义域不同，故不是同一函数，故D错误，
故选AC
10．【答案】ABC
【详解】将3枚骰子各掷一次，三个点数都不同的事件含有的基本事件数为，B正确；
至少出现一个1点的事件含有的基本事件数为，A正确；
事件含有的基本事件数为，于是，，C正确，D错误.
故选ABC
11．【答案】ACD
【详解】原式移项得，即fx+y+fx−y=2fxfy，
对于A，令，则由fx+y+fx−y=2fxfy可得，
故（舍去）或，故A正确；
对于B，由，故B错误；
对于C，令，则，即，
因为，所以，所以为偶函数，
对两边同时求导得，，所以为奇函数，故C正确；
对于D，由A选项，若，
令，则，即，∴f2=−12，
令，，则，即，，
令，，则f4+f2=2f3⋅f1，即，∴f4=−12，
令，，则，即，∴f5=12，
令，，则，即，∴f6=1，
令，，则，即，∴f7=12，
令，，则f8+f6=2f7⋅f1，即，∴f8=−12，
由此可得fn,n∈N∗的值有周期性，且周期为6，
且，
故n=12025fn=337×f1+f2+f3+f4+f5+f6+f1+f2+f3=−1，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】60
【详解】展开式的通项为．
令，得，则的常数项为．
13．【答案】2
【详解】每一次拿球拿到黄球的概率是，则，
所以.
14．【答案】
【详解】函数的图象如图所示：

若方程 有三个根，
则与的图象有3个交点，
由图象可得，解得.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由已知可得，化简可得，
，
则椭圆方程为；
（2）设，，
由已知可得直线，即，
联立直线与椭圆，消去可得，
则，，
则，
又点到直线的距离，
所以；
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由①
所以当时，②
①②得：，整理得：，
所以.
（2）由（1）知，
所以，
所以.
17．【答案】（1）证明：取中点,连接,
则,,
又因为,,
所以,,
所以四边形是平行四边形，
所以,
又因为平面,平面,
所以平面；
（2）.
【详解】（1）略；
（2）因为平面，，
所以以为坐标原点，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系：
又直线与平面所成角为，
即,
又因为，
所以，，
所以，
易知平面的法向量为，
因为,
设平面的法向量为，
则，
则有，
取，
设平面与平面的夹角为，
所以.
18．【答案】（1）；
（2）分布列见解析，.
【详解】（1）设“赛完4局且乙获胜”为事件，即乙前3局中获胜2局输1局，且第4局获胜.
（2）的可能取值为，，1，4，5，6，
则，，，
，，，
的分布列如表所示
所以.
19．【答案】（1）在单调递增，在单调递减
（2）见详解
（3）见详解
【详解】（1）当时，，的定义域为，
则，
故当时，；当时，.
故在单调递增，在单调递减；
（2）的定义域为，．
若，则当时，，故在单调递增，
若，则当时，；当时，.
故在单调递增，在单调递减；
（3）由（1）知，当时，在取得最大值，最大值为，
所以等价于，即，
设，则，当时，，当时，
所以在单调递增，在单调递减，
故当时，取得最大值，最大值为，所以当时，，
从而当时，，即.
1
4
5
6