山东省青岛第十七中学2025−2026学年高二下学期期末测试数学试题（含答案）

这是一份山东省青岛第十七中学2025−2026学年高二下学期期末测试数学试题（含答案），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．复数，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．已知向量 ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，则（ ）
A．B．C．D．2
5．设是定义在上的奇函数，，，则（ ）
A．B．0C．1D．2
6．Margalef丰富度指数是用于衡量群落中生物种类丰富程度的一个指标，其中S和N分别表示群落中的生物种数和生物个体总数．如果某生物群落一年后的生物种类数S没有改变，生物个体总数由变为，Margalef丰富度指数由1.8提高到4.5，则（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，，为中点，点在上，，，，则（ ）

A．B．C．D．
8．设函数（其中，均大于0），若，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
二、多选题
9．设是平面内相交的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，且它们的夹角为.若向量，则把有序实数对叫做在坐标系中的坐标，即.设，则（ ）
A．
B．
C．在上的投影向量的坐标为
D．
10．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期是B．的图象关于点中心对称
C．D．在区间上单调递减
11．函数，的定义域为，为偶函数且恒大于0，，，，，则（ ）
A．
B．
C．
D．对于任意，点到直线与的距离之积为
三、填空题
12．已知等差数列的前项和为，且，，则______.
13．已知函数，若，则实数_________．
14．已知实数，，…，，满足，且（，3，4，…，10），则当时，的最大值为__________．
15．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，，分别为圆锥的母线，，，则三棱锥体积的最大值为________．
四、解答题
16．在中，内角的对边分别为．已知．
（1）求的值；
（2）证明：．
17．已知函数.
（1）当，求的单调性；
（2）若曲线经过点，且在处的切线为.证明：除切点外，曲线在直线的下方.
18．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
（1）求函数的解析式；
（2）将图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，且其图象关于轴对称，求在上的解集．
19．如图，在四棱锥中，底面，交于，，，，，为中点．
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
20．已知向量，，函数，的所有大于0的零点构成递增数列．
（1）写出的前6项；
（2）记的所有偶数项构成数列，设，求数列的前n项和．
21．已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合．
（1）若，判断是否是中的元素，请说明理由；
（2）若，求a的取值范围；
（3）若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点．
参考答案
1．【答案】A
【详解】依题意，.
2．【答案】A
【详解】 平面向量 a=(x1,y1)， b=(x2,y2)， a∥b等价于 x1y2−x2y1=0.
由 a=(m,1)， b=(4,m)，得 m⋅m−4⋅1=0，即 m2=4，解得 m=2或 m=−2.
充分性：若 m=2，则 a∥b成立；
必要性：若 a∥b， m可取 −2，不能推出 m=2.
故“ m=2”是“ a∥b”的充分不必要条件.
3．【答案】C
【详解】解不等式 1x