人教版（2024）五年级上册（2024）*数学广角：植树问题教学设计

这是一份人教版（2024）五年级上册（2024）*数学广角：植树问题教学设计教案主要包含了激趣导入，自主探究，拓展延伸，总结提升，板书设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。
植树问题是指沿着一定的路线植树，这条路线的总长度被树平均分成若干段（间隔），由于路线的不同、植树要求的不同，路线被分成的段数（间隔数）和植树的棵数之间的关系也就不同。
生活中“一定的路线”可以是笔直平整的道路、可以是弯弯曲曲的小路、也可以是崎岖不平的山路，当然也包括从起点出发后能走回到起点的路等等，不管什么样的路都能抽象成的数学概念就是“线”的概念；而“树”是要种在路上的某一处，抽象出了“点”的概念；两棵树之间的间隙或者说是距离，就是“一段”。所以“植树问题”其实就是一条线被一些点平均分割成若干段的一件事情，在这样一件事情中，我们要搞清楚“段与点”数量之间的关系，即“间隔数与树棵数”之间的关系。
关于植树问题的情形，课本主要呈现了以下三种情况：
例1：在一条线段上植树（两端都栽）；例2：在一条线段上植树（两端都不栽）；例3：在一条首尾相接的封闭曲线上植树，而例3的情况通过“化曲为直”可以转化为在一条线段上植树的“只栽一端”的情况，所以最终植树问题归结为在一条线段上植树“两端都栽”“两端都不栽”“只栽一端”的三种不同情况。
“植树问题”最基本的要素——“间隔数（段数）”，实质是除法中包含除意义的一种现实情况，属于“一个数里面有几个几”的问题。“一个数”就是指路的总长，“几个几”中的单位就是一段的长，也就是两棵树之间的距离，而所含单位的数量就是我们提到的“段数”。这部分内容是孩子们已经掌握了的有关除法意义的内容。而我们要解决的问题是由于植树要求的不同，“树的棵数”也就是“点的数量”会不同。那么“点数”和“段数”之间是否有联系？有什么样的联系呢？这是我们学习植树问题的根本所在。这样的话，解决“植树问题”的基础和关键就是与除法的意义建立关联，而不是去记忆“棵数和间隔数”的各种数量关系。
这部分内容从现实生活中人人都熟悉的除法问题入手，引导学生在分析、思考解决问题的过程中，借助线段图等手段让学生从中发现隐含于不同情形中的规律，经历抽取数学模型的过程，让学生体验知识的形成过程，渗透给学生解决此类问题的思想方法，建构其中的数学模型，进而感受数学思想方法在解决生活实际问题中的应用。
学情分析：
五年级的学生已经掌握了“平均分”的概念，能够熟练地用包含除的知识解决问题，已经建立了“总长÷每段的长度=段数”的数学模型，具备了借助画图解决简单数学问题的能力。学生对于生活中真正的植树问题很容易解决，却不能很好地把生活中的植树现象“去情境化”，学生的学习困难是正确识别具体情境中“路”在哪里，什么相当于“树”，正确识别植树问题的类型。
五年级的学生已经具备了一定的抽象思维能力，但仍然以形象思维为主，所以本单元的内容仍然借助形象明了的植树示意图帮助学生分析问题，进一步抽象出线段图，为学生呈现了从具体到抽象，从特殊到一般的分析、思考、解决问题的全过程，渗透数形结合的数学思想和方法。
教学目标：
1.理解植树问题是用除法解决问题的一种特殊情况，逐步构建“商+1、商、商-1”的植树问题模型；
2.运用数形结合的方法理解并判断具体情境的问题模型，能够结合实际情况对商进行灵活处理，进而解决问题；
3.感受数学在日常生活中的广泛应用，掌握具体问题具体分析的方法，提高数学思想方法的应用意识和解决问题的能力。
教学重点：
运用“几何直观”“一一对应”的思想思考发现和理解植树问题中不同情况植树时“棵数”和“间隔数”之间不同关系的数学模型。
教学难点：
生活中植树现象的去情景化，能够识别植树问题的不同类型。
教学过程：
一、激趣导入
师：精彩的阅兵式中隐藏着许多数学知识，看标兵来了，请问每相邻两个标兵之间的距离叫什么？
生：间隔。
师：知识面真是丰富，没错，在这里我们就把每相邻两个标兵之间的距离叫间隔，数一数，从左边第一名到第五名标兵之间一共有几个间隔？一起说。
生：4个间隔的数量。
师：4个我们把它叫做间隔数，整齐的队伍中有间隔，在这排灯笼中间隔在哪里？
生：灯笼之间的间隔是在两个灯笼之间。
师：准确的说应该是每相邻两个灯笼之间。数一数第一个灯笼到最后一个灯笼之间几个间隔？
生：一共有三个间隔。
师：也就是间隔数等于3，请坐。同学们真能举一反三，能在阅兵中找到间隔，如果我把灯笼缩小成点放在线段图上，你还能找到间隔吗？在哪里？
生：在两个相邻的点之间，那条线就是它们的间隔。
师：也就是说这里的间隔数是？
生：3.
师：很好。人与人之间，灯笼与灯笼之间，点与点之间都有间隔，看来我们的间隔无处不在。我们就一起来研究和间隔有关的问题：植树问题（板书课题）
二、自主探究
师：这句话（同学们在全长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵。）中，你还能找到间隔吗？
生：每隔就是间隔5米，5米是间隔的长度。
师：说得很好，理解能力很不错，请坐。来，我们用双手来感受一下每隔5米，第一棵栽了过后隔5米栽一个，再隔5米，再隔5米。根据已知信息，谁来提个数学问题？
生：我们知道每隔5米栽一棵，请问一共可以隔间隔数是多少？
师：还有其他问题吗？
生：一共在20米的小路上可以栽多少棵树？
师：请坐。一共要栽多少棵树？大家猜想一下。
生：我觉得应该可以栽4棵树。
师：我把你的猜想记下来，请坐。有不一样的吗？
生：我的话应该是20÷5=4，再加上一棵也就是5棵。
师：我也把你的猜想记下来，还有不一样的吗？现在我们有了两个猜想，既然有不同的猜想，是不是说明我们就有不同的猜法？大家独立思考一下，从同学们自信的眼神中，老师断定大家一定有了很多的想法，接下来我们小组合作。谁来朗读合作要求？
【小组合作：
说：把自己的想法在小组内说一说。
画：把不同的栽法在图上画一画。
议：几种栽法有什么不同？】
师：读得很流利，请坐。我们用记号笔把不同的栽法在题单上用简笔画的形式画出来，开始。
展示交流
师：请你用老师的小树苗把你的栽法边摆边栽跟其他同学说一说。
生1：我栽的是4棵树，因为20÷5=4，所以说我们可以在头的头这里栽一棵，这里这个红点也可以栽一棵，第三个也栽一棵，第四个也栽一棵，因为20÷5，我们得出来的是4，我们不一定要在尾这里加1棵树，所以我觉得应该是栽4棵。
师：大家同意吗？可以这样栽吗？但是刚才他在描述的时候有一个小问题，20÷5读作20除以5，把掌声送给勇敢的小女孩。
生2：我是觉得头和尾都要栽，先栽一棵之后中间就是可以20÷5=4，之后隔5米，隔5米之后我们栽一棵，相当于20÷5+1。
师:可以这样栽吗？请回座位。
生3：我的栽法是栽三棵树，因为20÷5-1就等于三棵，其实头和尾并不一定要栽，是这样栽的。
师：大家同不同意？来掌声送回座位。我们来看第一种摘法，这端栽了这端不栽，我们给它起个名字叫只栽一端，第二种呢？
这种两端都栽。
师：很好与只栽一端形成了对比。最后一种叫？
生：两端都不栽。
师：都是爱动脑筋的孩子。这三种栽法就是我们今天要学习的
生：植树问题。
师：刚才我们通过画一画，可以看出植树问题三种栽法每一种栽法需要的棵数，每一种栽法需要的棵数用算式该怎么表示？快速的在练习本上写一写，开始。
生：第一种算式我觉得是20÷5=4棵
生2：第二种是20÷5+1.
师：最后一种栽法要不一起说。
生：20➗5-1
师：同学们真能干，不光能画，还会列式计算。三种摘法不同，列式也不同，但三个不同的算式当中都有一个相同的算式，请问20÷5究竟求的是什么？
生：20÷5是求得它们的间隔数。
师：同不同意？20÷5明明求的是4个间隔，怎么等于4棵树了？看来这个问题有一定的难度，大家都很疑惑，没关系，请看大屏幕。为了便于研究，老师把三种栽法用线段图表示出来，我们看只栽一端，大家看第一棵树的后面紧跟着一个间隔，第二棵树后面又紧跟着一个间隔，现在我们把每棵树与每棵树后面的间隔合起来看，请举起你的右手，我们一起来数一数，这样老师开头，预备起，树、间隔、树、则树间隔。像这样一棵树对应一个间隔，我们把它叫做一一对应，通过一一对应，我们就将4个间隔转化成了4棵树，解决了只在一端，两端都栽和两端不栽，你还能用树间隔一一对应的方法来解释，为什么这儿要加1，这儿要减1吗？反应真快。来，那位男同学。
生：第二种两端都栽，根据刚才所说的方法，树、间隔、树、间隔、树、间隔、树、间隔、树，所以我们要加1。
师：请坐，回答得很好，这里为什么要减1？谁来？男生。很积极的，不错。
生：因为它两端不栽，我们就可以它变成间隔数、树、间隔数、树、间隔数、树。最后多了一个间隔，所以说我们要减去多了一个间隔，或者说少了一棵树。所以最后要减1。
师：非常棒。同学们，我们回头来看，刚才我们用一一对应的方法研究了算式背后的道理，同样是4个间隔，但栽法不同，有的棵数等于间隔数，有的棵数比间隔数多1，有的棵数又比间隔数少1，20米时这样，其他米数时棵数与间隔数还有这样的规律吗？有同学很积极，看来有的同学不敢确定，我们这样数学要靠数据说话，我们下面进行再一次的研究。请看。自主探索，谁来朗读要求？
自主探索:
画:将不同米数的三种栽法画一画.
算:列式计算出间隔数与棵数.
想:棵数与间隔数有什么关系？】
师：普通话很好。老师为每位同学准备了一张2号题单，现在快速的从抽屉里拿出来，老师为每个同学准备了不同的总长与间隔长，请根据自己1号题单上的总长与间隔长完成后面的题目开始。
师：有请第一位同学研究12米的。
生：这里我们的总长度为12米，间隔长是4米，只栽一端，我们只栽一端，有一棵、两棵、三棵，一共有三个，列为12÷4=3棵，间隔数是一、二、三、三个，棵数也是一、二、三、三棵。第二个是两端都栽。算式为12÷4+1=4棵。间隔数为3个，棵数为4棵1。第三种是两端不栽，我们也就是12÷3-1=2棵，间隔数是3，棵数是2棵。我的汇报完毕，谢谢大家。
师：说得非常流利，但是老师有个小小的建议，如果更简洁一点，将会更完美。
师:来，第二位女生。
生：首先我们来看第一种只栽一端它有多少棵树？首先我们先用算式，15÷3=5棵，5个间隔，棵数5棵。第二种两端都栽，算式应该是15÷3+1=6棵，间隔数应该是5，棵数就是6棵。第三种方法两端都不栽，15÷3-1=4棵，间隔数也是5个，棵数是4棵，我的汇报完毕，谢谢大家。
师：拿着你的成果回座位，又是一个会研究的小女孩，来，我们有请第三位同学。
生：根据表中的信息，我们知道总长度是18米，间隔是6米，有三种栽法，第一种栽法是只栽一端，算式就是18÷6=3棵，间隔数就是3，棵数是123是三棵。第二种方法，两端都栽，也就是18÷6+1=4棵间隔数还是3，棵树是4棵，第三种栽法两端不栽，用18÷6-1=2棵，间隔数是3，棵树是2棵，你们同意吗？
生:同意。
师：他的研究成果也得到了同学们的认可，来，你也可以高兴的回座位了。同学们来请看大屏幕。这是刚才我们大家一起研究的成数据比较多，我们来分类整理一下，我们把不同米数相同栽法的整理在一起，请看。
师：请仔细观察相同栽法时棵数与间隔数有怎样的关系？我想请一个没回答过问题的那位男生。
生：我发现只栽一端的情况棵树等于间隔数，两端都栽的棵树比间隔数大1，两端都不栽的棵树都比间隔数小1。
师：把掌声送给他，他很会观察，也很会归纳。我们一起再来看，第一种，只栽一端，棵数和间隔数相等。第二种两端都栽他刚才说的棵数比间隔数多1，也就是棵数等于间隔数相加1，最后一种，两端不栽棵数应该等于间隔数减1，现在我们的数据继续在变化，总长变为50，间隔长变为10，请问间隔数等于多少？男生。
生：间隔数等于50÷10等于5。
师：棵数分别等于？男生。
生：5、6、4.
师：同不同意？
生：同意。
师：漂亮，来。我们的数据变为总长1000间隔长100间隔数？一起告诉老师。
生：10
师：棵树分别是？男同学请你来说。
生:分别是10、11跟9.
师：非常好，请坐。现在我们的总长变为1万，间隔长变为100，请问间隔数是？
生：100，那棵数分别是？
生：100、101、99。
师：现在数据继续发生着变化，我不知道总长，也不知道间隔长，我只知道间隔数等于a请问棵数分别是多少？男孩？
生：棵数等于第一个间隔是A棵树就等于a，两端都栽a加1，两端不栽是a减1。
师：你们同意吗？掌声鼓励。看来不管总长是多少，也不管间隔长是多少，棵数与间隔数都存在着这样的关系，来最洪亮的声音把我们自己的研究成果朗读一遍：
只栽一端棵数等于间隔数，两端都栽棵数等于间隔数加1，两端都不栽棵数等于间隔数减1。
师：好，课上到这里，老师不得不感谢最初为我们提出猜想的两位同学，他们在哪里？请起立好吗？请接受我们同学最热烈的掌声，请坐。这是因为有了他们的猜想，我们才会去研究，我们去研究过后才会有这么多的收获，并且他们的猜想都是正确的。
三、拓展延伸
好了，同学们，植树问题其实在生活中非常普遍，请看，看的见的“真”的树，看的见的“假”的树，不容易看见却能“想象”的树，看不见却能“听得见”的树，敢不敢用我们今天所学去解决他们？
1、连一连
同学们在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵树？
只栽一端 100÷5+1
两端都栽 100÷5-1
两端不栽 100÷5
男生：只栽一端是100➗5，两端都栽是100➗5+1，两端都不栽是100➗5-1.
师：大家同不同意？
生：同意。
师：新知识掌握得非常牢固，真的树根本不存在问题，假的树呢。我们来看看，国庆礼炮按照一定的距离排成一列，这里是把什么看成了树？一起说。
师：没错，礼炮。这排礼炮有27个间隔，共多少门礼炮？男生。
生：一共28门礼炮。因为它相当于是两端都栽，棵数就等于间隔数加1。
师：怎么样？掌声。不光知道结果，他还知道理由对不对？假的树也难不住大家，我想想象的树可能有点难度了。我们来看看，这么快，女生请你来说。
生：我觉得应该是4次，因为我觉得这个应该是2端不栽，所以我觉得应该是棵数就等于间隔数减1。
师：把掌声送给他。真好，他把我想说的话都说了，我们来看是这样的，看来想象的树也难不住大家了，最后看不见听得见的树还敢不敢挑战？信心十足。广场上的大钟，午时敲响5下8秒钟敲完，请问相邻两次钟声间隔多少秒？我们先来听一下。这一次我们比一比看谁做的又快又对，开始。
师：好，老师发现有两种答案，第一种等于1.6，第二种等于2。我想听听等于2的同学的意见，好不好？谁来？男生。
生：因为它是敲响5下，相当于有5棵树，8秒钟瞧完，一共的时间用8÷（5-1）=2。
师：有同学可能没大听懂，有同学是听懂了的。其实他介绍的很清楚，请坐。来我们再听一遍，再听一遍，可能没听懂的同学就会有想法了。
师：正如刚才那位同学所说，5次钟声就相当于5棵，它属于哪种情况？5棵树有几个间隔？
生：4个间隔。
师：所以每相邻2次钟声应该间隔是一个间隔，这个问题有一定的难度，没关系，下去过后我们同学们再相互交流一下，好吗？真的“树”假的“树”，想象的“树”，听得见的“树”，“树”不仅仅是树，不是树却也是“树”。这些所有的“树”研究的都是点和间隔的关系。
四、总结提升
师：好了，同学们，愉快的课堂马上要结束了，你有什么收获来给大家分享。
生：我发现只栽一端，树的棵数等于间隔数，两端都栽树等于间隔数加1，两端不栽，树的棵数等于间隔数减1。
师：请坐，听他的回答，老师就知道他是一个很会学习的孩子，因为他善于抓住重点，我喜欢这种发自内心的掌声。
师：其实老师知道同学们今天都很有收获，不过老师要郑重的告诉大家，今天我们所学只是植树问题的冰山一角，我们还有在封闭图形、棋盘方阵中的植数问题，我们甚至还有享誉全世界的20棵树植树问题，一起来了解一下。
早在16世纪，古希腊、古罗马、古埃及等都先后完成了16行排列，并将美丽的图谱广泛应用于高雅装饰建筑，华丽工艺美术。18世纪美国娱乐数学大师山姆劳埃德完成并绘制了精美的18行图谱，还自称娱乐其盛行于欧美，颇受人们喜爱。进入20世纪，电子计算机的高速发展，20棵树植树问题有了更新的进展，两位数学爱好者巧妙地运用电子计算机成功地绘制出精湛美丽的20行图。
时间已经进入到21世纪，20棵树植树问题会不会有新的进展？会不会？靠谁？我们非常自信，靠在座的各位。
老师，相信只要以后你们在学习的道路上不断探索，不断创新，你一定会收获越来越多的精彩。下课，谢谢。
五、板书设计：
植树问题
只栽一端 棵树=间隔数
两端都栽 棵树=间隔数+1
两端都不栽 棵树=间隔数-1
总长÷间隔长=间隔数
六、教学反思
1.核心问题：学生易混淆“棵数”与“间隔数”的关系，尤其在“两端不栽”错误率较高，有些生活中的问题还不会用植树问题来解决问题。
2. 改进方向：应增加生活化案例（如路灯）的对比练习，强化不同场景的区分，同时预留更多时间让学生自主总结规律，而非直接灌输结论。