数学五年级上册（2024）八 复习与关联*数学广角：植树问题教学设计及反思

这是一份数学五年级上册（2024）八 复习与关联*数学广角：植树问题教学设计及反思，共10页。教案主要包含了教材与学情分析，教学目标，教学重难点，教学准备，教学过程，板书设计等内容，欢迎下载使用。

排兵布阵，“植”慧课堂
——经历对模型的“感知、建立、应用、优化”
《“植”上谈兵》教案
一、教材与学情分析
（一）单元层面分析
人教版五年级上册第七单元“数学广角”，主要内容是植树问题。本单元教材将其分为多个层次，从基础的两端都植树，到两端都不植、一端植一端不植等情况。在引导学生掌握不同类型植树问题解法的同时，着重渗透了化归与转化、数形结合的数学思想。通过具体的植树问题情境，培养学生的数感和量感，提升他们借助几何直观分析问题的能力，帮助学生建立数学模型，增强模型思想。这样一来，能更好地让学生体会数学与生活的紧密联系，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
（二）课时层面分析
本节课是教材第 104 页例 1 的内容，主要教学两端都栽的植树问题。本节课的教学将逐步向学生渗透复杂问题从简单入手、利用数形结合解决问题等数学思想， 让学生从中发现一些规律，抽取出其中的数学模型，然后再用发现的规律来解决生活中的一些简单实际问题。小学五年级的学生已经掌握了关于线段的相关知识，也具备了一定的生活经验和分析思考能力与计算能力，他们的思维以形象思维为主，但抽象思维能力也有了初步的发展，具备了一定的分析综合、抽象概括、归类梳理的能力。这部分内容放在这个学段， 说明这个内容本身具有很高的数学思维和很强的探究空间，既需要教师的有效引导，也需要学生的自主探究。
二、教学目标
1.学生能准确理解间隔、间隔数、间距的含义， 熟练掌握它们之间的关系，灵活运用知识解决包括方阵问题在内的各类植树问题。
2.经历阅兵标兵排队等活动过程，锻炼观察、比较、分析、归纳等思维能力，发展抽象概括能力和空间观念。
3.通过小小标兵游戏、“93 ”学生花样队形等情境，提高发现、提出、分析和解决数学问题的能力，体会不同数学模型在实际中的应用。
4.借助古代阵法、苏轼与苏堤等内容， 激发对数学的热爱，感受数学文化的魅力，增强民族自豪感和文化自信。
三、教学重难点
教学重点：通过阅兵标兵排队等活动，理解间隔、间距等概念及关系，能用规律解决“93 ”阅兵花样队形等问题。
教学难点：在小小标兵游戏等活动中，自主探究并归纳出间隔数与棵数的规律。
四、教学准备
PPT 课件、学习单、“V”字支架教具、“数智宝盒”奖贴。
五、教学过程
（一）故事开篇，纸“植 ”疑问
师：同学们，今天我们上一节有趣的课，名字叫“植“上谈兵。老师给这节课取名字的灵感来自一个成语故事，谁知道?
生：纸上谈兵。
师：这个成语故事说了个什么事呢？
生：纸上谈兵说的是，战国时期赵括，只会理论，不会实际作战，结果被秦军大败的故事。
师：真是个博闻强识的孩子！
师：为什么将“纸 ”字换成了“植 ” 字？
生：因为今天要学习植树问题。
师追问：植树和谈兵有什么联系呢？
预设 1：士兵和大树一样挺拔！
预设 2：种树和排列士兵一样都是等距离排列。
（揭题：“植“上谈兵）
【设计意图】
以故事中关键字的替换设置悬念，能迅速抓住学生注意力，使其对植树问题产生兴趣，带着疑问进入课堂，为后续教学做良好铺垫，也能让学生直观感受知识间的关联与转化。
（二） 植纸之换，巧探平均
师：像这样的排列——每段分得同样长，是我们之前学过的一种问题，快想想？
生：平均分问题 。
师：实际上植树问题的本质就是平均分问题。
师小结：一棵棵树和一名名士兵就像一个个点，将总长平均分成了若干段，研究点、间距和间隔数之间的关系。
【设计意图】
以旧引新，借助学生已有的平均分知识经验，搭建起理解植数问题的桥梁，使学生能快速洞悉植数问题的本质。将树与士兵类比为点，把总长进行平均分，探究点、间距与间隔的关系，能让抽象的数学概念变得直观形象，既降低了学习难度，又锻炼了学生的逻辑思维与知识迁移能力，为后续深入学习相关内容奠定坚实基础。
（三） 多元探究，深化理解
1.排兵布阵，初探植树
师：今天我们就以士兵的排兵布阵为例来学习植树问题，说到排兵布阵不得不说“93 ”阅兵仪式。阅兵仪式非常震撼壮观，每个中国人都为之自豪！让我们一起来重温阅兵仪式现场。（播放“标兵就位”视频。）
师：请同学们仔细观察图片上标兵的位置，（循循善诱道）看看能发现什么规律？然后和同桌交流交流。
预设 1：我发现图上有 4 名标兵，每两名标兵的距离是 5 米。
师：我们把每两棵树之间的距离叫做“间距”。（板书：间距）
预设 2：我发现有 5 个间隔（“空”）。
师：我们把每两棵树之间的“空”叫做“间隔”。（板书：间隔、间隔数）
师：能不能根据发现的信息算一算从第一名标兵到最后一名标兵的总长呢？
生：总长＝间距×间隔数，5×3＝15 米。
师：如果增加 1 名、2 名、3 名士兵，间隔数和总长是多少？
生：4 个，5×4＝20(米) ；5 个，5×5＝25(米)；6 个，5×6＝30(米)。
师生逐步总结公式：人数-1＝间隔数，间距×间隔数＝总长。
★小小标兵就位游戏
游戏规则：一名小指挥官，一名小记录员，小指挥官发号施令安排队伍，小记录员在黑板线段图上标记标兵的位置和数量。
游戏内容：已知间距和总长，求间隔数和人数。
小指挥官合理安排队伍排列，并邀请其他学生一起计算间隔数和人数。
生：间隔数=总长÷间距=64÷8＝8（个）,人数=间隔数+1=8＋1=9（名）。
小记录员同时在形象线段图上进行标记记录。
师生在游戏中推导公式：间隔数=总长÷间距，人数=间隔数+1
同桌互相提问熟练掌握排队问题（两端都站）的两组基本公式: 间隔数=人数-1,总长=间距×间隔数；间隔数=总长÷间距,人数=间隔数+1。
【设计意图】
在“小小标兵就位”游戏中，学生分别扮演指挥官与记录员。指挥官需合理安排队伍排列，这能锻炼其分析与规划能力，使其在实践中理解如何运用“间隔数=总长÷间距”“人数=间隔数+1”的公式。而记录员要在黑板线段图标记标兵位置和数量，能提升他们对公式的实际应用能力与专注力。接着的同桌互相提问环节，能让学生进一步巩固知识，熟练掌握“间隔数=人数-1”和“总长=间距×间隔数”等公式。
2.雁行针变，巧思妙算
★排兵布阵： 揭秘“93”队形
题 1：为了纪念“93”大阅兵，我们学校要在操场上进行学生“93”花样队形航拍，负责策划的老师想请同学们帮帮算算：队形“9”计算“每条路线站多少名学生？“, 队形“3”计算“每条路线长多少米？”
★生读：学习提示：
1.每条路线都是每隔 3 米站一名学生，每条线两端都要站学生。
2.在学习单上，用列算式或画图等方法算出“9”和“3”队形对应的问题。
3.小队交流好答案，分工讲解，并准备积极上台展讲。
师：为了促进思维碰撞，提高解决问题的效率，1-4 组算队形“9”的问题，5-9 组算队形“3”的问题。
展示学生作品并请小组学生来当小老师，结合图和算式汇报自己的想法，仔细分析算式中每个数字所蕴含的意义。
师：看来啊，在学习数学时，将图形和算式结合起来分析，可以让我们更加容易理解算式所表达的意思。
【设计意图】
让学生利用圈一圈、的方法来解释算式，既能让抽象的算式形象化，又能帮助学生理解算式，还能让学生感受到数形结合的重要性。
题 2：我们学校要举办“喜迎国庆”活动，其中有一个名为“中国范”的雁行阵集体舞，需要少先队小旗手在雁行阵外围绿线站立摇旗（如图，每隔 4 米站一名小旗手，两端都站，“拐弯”连接处只站一名旗手）。请算一算一共需要多少名小旗手？
生：方法一：20÷4=5（个）；5+1=6（名）；5+6=11（名）
方法二：20÷4×2=10（名）；10+1=11（名）
方法三：20×2=40（米）；40÷4+1=11（名）
巧用教具：
雁行阵“V”字型 “V”字型拉直转化成“两端都载”的植树问题
（对应方法三）
【设计意图】
算法多样化不仅有利于培养学生独立思考的能力，更有利于学生之间进行数学交流，而且可以引导学生在一题多解的过程中发散思维，形成多角度思考的习惯。因为小学生在解决问题时更有价值的是过程而不是结果，算法多样化正是过程价值的体现形式。同时，这也充分照顾学生在个性、认知水平、学习能力等方面的差异，发掘每位学生的潜能，使得每个学生都能体验到成功的愉悦和一题多解的神奇，体会数学的魅力。
3.生活实例，植题文化
师：在生活中你还见过哪些像植树、排队问题一样 “把活干在点上的事”？
生：斑马线、路灯、盆栽、扣子、敲钟、爬楼梯 ……
（课件展示生活中的一些植树问题图片。）
师：植树问题共分为八个基本类型，其中今天我们一起学习的士兵的排列问题就是“排队问题”这个类型。（课件呈现植树问题八个类型。）
【设计意图】
在学生掌握排列问题后，引导他们联系生活举例，能强化知识与实际的联系。此时呈现八个类型，可使学生明白排列问题只是其中一种，进而培养他们的归纳总结能力与发散性思维，让学生认识到数学知识的系统性与灵活性。
（四）方阵之中，兵法拓展
师：其实啊，士兵的排兵布阵很复杂，今天我们只是学习了最简单的单排士兵的排列，士兵排兵布阵是一种二维平面上的复杂的植树问题。从古到今，士兵的排兵布阵方法有很多。
比如：
1.方阵：最基础、最稳固的阵型。强调整齐划一、纪律严明，适合正面攻防。
2.雁行阵：模仿大雁飞行，呈“V”字形。可以集中火力于一点，也便于快速包抄。
3.鱼丽阵：士兵层层相叠，像鱼鳞一样。能有效抵御正面冲击，并能逐步消耗敌军。
4.蛇形阵：灵活机动，首尾呼应。适合行军、侦察或拖延敌军。
【设计意图】
通过介绍多种士兵排兵布阵的方法，如方阵、雁行阵等，让学生了解到数学在军事战略中的应用，感受数学的实用性和趣味性。同时，展示不同阵法的特点，能培养学生的观察力和分析能力，使学生明白不同的排列方式会产生不同的效果，进一步加深对排列问题的理
解，拓宽学生的思维视野。
（五）苏公棣今，礼记景天
1.《礼记》与井田制
周朝的土地被规划成“井”字形，中间是公田，四周是私田。在田地的边界、道路旁都会种树，既用作地界，也能固土、提供木材。
2.苏轼与“苏堤”
苏轼在杭州做官时，修建了著名的“苏堤”。堤上种满了杨柳和桃树，不仅美化了环境，还能巩固堤岸。这些树的排列和间距，都是经过精心计算的。
（北京）股份有限公司
【设计意图】
通过讲述古代的礼记井田制和苏轼修苏堤的故事，让学生了解到植树问题在古代农业和水利工程中的应用，感受数学与历史文化的紧密联系。同时，强调树木排列和间距的精心设计，能让学生明白数学在实际生活中的重要性，培养学生用数学的眼光观察生活的习惯，激发学生对数学学习的兴趣和热爱。
（六）思维绽放，共话收获
学生谈收获和感悟。
师总结：生活是数学的源泉，植数问题只是其中的冰山一角。我们应怀揣好奇心，做生活中的小数学家，用心发现更多像植树问题一样的数学问题，不断学习研究，这样才能是我们的思维更加开阔，小脑袋更加聪明，将来才能成为真正的数学家，探寻更多数学之美！
【设计意图】
学生回顾知识的同时，激发他们对数学的探索热情。对学生的期待——希望他们怀揣好奇心，持续研究学习数学问题，将来成为数学家，能激励学生们开阔思维，让他们意识到数学学习的持续性和重要性，为未来的数学之路埋下梦想的种子。
六、板书设计
六、教学反思
融“阵”于“数”，以“文”润“课”
——《“植”上谈兵》教学反思
《“植”上谈兵》一课以“排兵布阵”为核心情境，将五年级数学“植树问题（两端都栽）”与军事智慧、传统文化相融合，通过“感知—建立—应用—优化”的模型构建路径，引导学生在趣味活动中理解数学规律。课后回溯教学全程，既有情境创设与思维引导的亮点，也存在目标达成度、活动深度等方面的不足，现从以下维度展开反思。
一、教学亮点：情境、思维与文化的三重融合
（一）情境创新：以“兵阵”破“数障”，降低认知门槛
本节课突破传统植树问题“纯植树”的情境局限，以“93 阅兵标兵排队”为核心载体，将抽象的“树”转化为具象的“士兵”，让数学模型有了生动的现实依托。课前通过“纸上谈兵”换字设疑，学生自然联想到“士兵与大树的等距排列关联”，快速聚焦“点（士兵/树）、段（间隔）、距（间距）”的核心关系；课中“小小标兵就位”游戏，让学生分别扮演“指挥官”和“记录员”，在“定总长、算间距、排人数”的实操中， 自主推导“间隔数=人数-1 ”
“总长=间距×间隔数”等公式——相较于单纯画图分析，学生在“发号施令”与“线段标记”的互动中，不仅深化了对公式的理解，更体会到“数学源于生活”的本质。
尤其在“93 花样队形航拍”问题中，学生需结合“9”“3”的图形特点计算路线上的学生数，既巩固了“两端都栽”的规律，又渗透了“数形结合”思想。课后学生反馈“算队形比算种树有意思多了”，可见贴合学生兴趣的情境设计，能有效消解数学学习的“抽象感”，让思维活动在具象场景中自然发生。
（二） 思维递进：循“模型”建“路径”，落实核心素养
本节课严格遵循“感知—建立—应用—优化”的模型构建逻辑，逐步推动学生思维从“形象”向“抽象”跃迁。首先， 通过“标兵排队”让学生直观感知“间隔数与人数的关系”，完成对模型的“感知”；接着，借助“小小标兵游戏”的多次实操，引导学生归纳出“两端都栽”的核心公式，实现模型“建立”；随后，通过“雁行阵旗手排列”问题，鼓励学生用“分段计算”“整体计算”等多种方法解题，在算法多样化中完成模型“应用”；最后，拓展至“方阵、鱼丽阵”等二维兵阵，让学生意识到“单排排列只是基础，复杂阵型需结合多维思考”，触发对模型“优化”的初步认知。
整个过程中，学生的数学思考目标得到有效落实：在观察标兵位置时锻炼“数据分析能力”，在推导公式时提升“抽象概括能力”，在解决队形问题时发展“空间观念”。课堂上，有学生提出“拐弯处只站 1 人，其实是两个线段共用一个点”，可见其已能透过现象抓住问题本质，思维的深刻性得到提升。
（三） 文化浸润：以“传统”赋“课堂”，厚植家国情怀
本节课的另一亮点是将数学知识与传统文化、家国情怀有机融合，实现“知识传授”与“价值引领”的同频共振。课前以“纸上谈兵”成语引入，渗透“理论联系实际”的学习态度；课中通过“93 阅兵”视频重温，激发学生的民族自豪感，让“排兵布阵”不仅是数学问
题，更成为爱国主义教育的载体；课后拓展环节，从《礼记》井田制中“种树为界”的农业智慧，到苏轼修苏堤时“杨柳桃树的间距设计”，让学生看到“植树问题”并非现代数学专利，而是古人解决实际问题的智慧结晶。
课堂小结时，有学生说“原来古人早就会用数学种树了，太厉害了”，可见文化元素的融入不仅没有增加学习负担，反而让数学课堂有了“温度”与“深度”，帮助学生在掌握知识的同时，树立文化自信与学科认同感。
二、反思：精准、深度与多元的三方优化
（一）聚焦“概念理解”，设计“阶梯式”巩固练习
针对“间隔数概念模糊”的问题，后续教学可增加“概念辨析+分层练习”环节。首先，通过“对比画图”强化概念：让学生在同一条线段上分别画出“5 个点”和“5 个间隔”，直观感知“点的数量=间隔数+1”，并结合“手指间的间隔”（如“3 根手指有 2 个间隔”）等生活实例，将抽象概念转化为“可触摸”的经验；其次，设计“基础—提升—拓展”三级练习：
基础题：聚焦“单排两端都栽”的直接应用（如“路边有 10 盏路灯，间距 5 米，路长多少米”）；
提升题：加入“干扰条件”（如“路边有 10 盏路灯，两端是大树，间距 5 米，路长多少米”），引导学生排除干扰，抓住核心；
拓展题：初步渗透“一端不栽”的情况（如“圆形花坛种 8 棵树，间距 3 米，花坛周长多少米”），为后续学习埋下伏笔。
通过分层练习，让不同层次的学生都能在“跳一跳”的过程中掌握知识，缩小目标达成差距。
（二） 深化“探究活动”，给予“充分性”思考空间
为解决“活动深度不足”的问题，需从“时间分配”和“任务设计”两方面优化。首先，延长小组讨论时间至 5-6 分钟，明确“讨论要求”（如“1人记录思路， 1 人负责质疑，1 人准备展讲”），确保每个学生都能参与其中；其次，调整“93 队形”任务设计，改为“先独立思考两种队形，再小组内交流重点”，让学生在自主尝试中发现“‘9’的折线需要分段计算，‘3 ’的曲线可转化为直线思考”，激发思维碰撞；最后，将“方阵拓展”改为“探究性任务”：给出“5×5 方阵”的示意图，让学生尝试计算“最外层人数”，并鼓励他们用“画图、列式、实物模拟”等多种方法解决，教师仅在必要时提示“最外层的点是四条边共用的”，让学生在自主探究中完成对“二维模型”的初步构建。
（三）优化“评价体系”，实现“过程性”全面反馈
后续教学中，需构建“多元主体、多维内容”的评价体系，全面捕捉学生的学习状态。从评价主体来看，增加“学生自评”（如“我能准确说出间隔数的含义吗”）和“同伴互评” （如“他的展讲是否讲清了算式中每个数字的意义”），让评价成为学生自我反思、互相学习的工具；从评价内容来看，聚焦“思维过程”而非“单一答案”，例如学生回答问题后，通过“追问法”了解思路（如“你为什么先算间隔数”“如果把‘两端都栽’改成‘两端都不栽’，公式会变吗”），并通过“错题归因表”（如下表）帮助学生分析错误原因：通过过程性评价，让教师更精准地把握学生的学习痛点，实现“因材施教”，也让学生更清晰地认识自己的不足，
明确改进方向。
四、教学启示：让数学课堂成为“思维生长的土壤”
回顾《“植”上谈兵》的教学过程， 最深的启示是：好的数学课堂，不仅要让学生“学会知识”，更要让学生“会学思考”；不仅要让课堂“有趣味”，更要让课堂“有深度”。在今后的教学中，需把握好三个“平衡”：
一是“情境与知识的平衡”：情境是为知识服务的载体，不能为了“有趣”而脱离知识本质。未来设计情境时， 需更精准地对接教学目标，例如在“植树问题（两端都不栽）”中，可选用“楼道摆花盆（两端是墙）”的情境，让情境既贴近生活，又能直接指向核心知识。
二是“引导与放手的平衡”：教师的角色是“思维的引路人”，而非“答案的给予者”。面对学生的探究活动，需学会“延迟判断”，即使学生的思路出现偏差，也应先让其充分表达，再通过追问引导其自我修正，避免因“怕出错”而压缩学生的思考空间。
三是“知识与文化的平衡”：文化浸润需“自然融入”，而非“生硬堆砌”。后续教学中，可将文化元素与知识应用更紧密结合，例如在学习“封闭图形植树问题”时，引入“古代城墙马面（凸出于城墙的防御建筑）的间距设计”，让学生在解决数学问题的同时，感受古人的军事智慧，实现“知识、思维、文化”的三维共生。
总之，数学课堂应像“苏堤上的杨柳”，既要扎根于“知识的土壤”，又要沐浴着“思维的阳光”，更要浸润着“文化的雨露”，才能让学生的数学核心素养在课堂中自然生长，真正实现“植”慧课堂的育人目标。