沪科版（2024）八年级上册（2024）15.3 角的平分线优秀ppt课件

这是一份沪科版（2024）八年级上册（2024）15.3 角的平分线优秀ppt课件，共41页。PPT课件主要包含了核心必知，星题基础练，星题中档练，∶3∶4等内容，欢迎下载使用。
如图，要在 S 区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处 500 米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为 1︰20000）
解：作夹角的角平分线 OC，
截取 OD = 2.5 cm，D 即为所求.
思考 如图, OE 是 ∠AOB 的平分线，P 是 OE 上的任一点，过点 P 分别作 PC⊥OA，PD⊥OB，点 C，D 是垂足. PC、PD 的长有什么关系吗？证明你的猜想.
证明 ∵ OP平分∠AOB，（已知)∴ ∠COP=∠DOP.（角平分线的定义)又∵ PC⊥OA，PD⊥ OB ，(已知)∴∠PCO =∠PDO = 90°.（垂直的定义)
如图, OE 平分∠AOB，P 是 OE 上的任一点，PC ⊥ OA 于点 C，PD⊥OB于点 D .求证：PC = PD.
∵在 △ PCO 和 △ PDO中，∠COP =∠DOP ， ( 已证 )∠PCO =∠PDO，( 已证 ) OP = OP， (公共边)
∴△PCO≌△PDO. (AAS)
定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
∵ OP 是∠AOB 的平分线，
PD⊥OA，PE⊥OB，
推理的条件有三个，必须写完全，不能少.
判一判：(1) 如下左图，因为 AD 平分∠BAC (已知)，
所以 BD ＝ CD .( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
(2) 如上右图，因为 DC⊥AC，DB⊥AB (已知)，
所以 BD ＝CD.( )
例1 已知：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC.
证明：∵AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB， DF⊥AC，
∴ DE = DF，∠DEB =∠DFC = 90°.
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL).
变式：如图，在直角△ABC 中，∠C ＝ 90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC ＝ 4， AB ＝ 14.(1) 则点 P 到 AB 的距离为_____；(2) 求 △APB 的面积.
温馨提示：存在一条垂线段 —— 构造应用
解：由角平分线的性质知 PD = PC = 4，
1. 应用角平分线的性质：
2. 联系角平分线的性质：
1．　 2．三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形________的距离相等．
【思维生长】如图①，如果点M在∠ANB的平分线上，AM⊥AN，BM⊥BN，那么AM＝________．向“ 动态分析”生长：如图②，OC平分∠AOB，点P是射线OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点，连接PN.若PM＝6，则PN的长度不可能是(　　)A．18 B．7.2 C．6 D．4.5
向“转化思想”生长：如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E.若BC＝5，DE＝2，则DB的长为________．
思考：写出上面角平分线性质定理的逆命题. 这个逆命题是真命题吗？如果是真命题请写出已知、求证，并给出证明.
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
角平分线上的点到角两边的距离相等
思考：这个结论正确吗？
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE.求证：点 P 在∠AOB 的角平分线上.
∴ 点 P 在∠AOB 角的平分线上.
在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中，
(全等三角形的对应角相等).
OP = OP (公共边)，
PD = PE (已知)，
∵ PD⊥OA，PE⊥OB.
∴∠PDO =∠PEO = 90°.
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO ( HL).
∴ ∠DOP =∠EOP
角平分线判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE.
∴点 P 在 ∠AOB 的平分线上.
例2 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N 表示大学，OA，OB 表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库 P 应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在这两点连线的垂直平分线上.
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一 量，每组垂线段，你发现了什么？
发现：过交点作三角形三边的 垂线段相等
2．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于点E，若AD＝3，BC＝10，求△BDC的面积．
3．[知识初练]如图，PM⊥AC于点M，PN⊥AB于点N，PM＝2.当PN＝________时，点P在∠BAC的平分线上．
4．[安庆期末]将两个完全相同的直角三角板按如图所示的方式放置，使得顶点C重合，∠OEC＝∠OFC＝90°，若∠AOB＝50°，则∠AOC的度数是________．
已知：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P，求证： (1) 点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等.
证明：过点 P 作 PD，PE，PF 分别垂直于 AB，BC，CA，垂足分别为 D，E，F.
∵BM 是 △ABC 的角平分线， 点 P 在 BM 上，∴PD = PE. 同理 PE = PF.∴PD = PE = PF.即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等.
(2) 连接 AP，求证：AP 平分∠BAC.
由 (1) 得， PD = PF (已证).又∵ PD⊥AB，PF⊥AB，∴ AP 平分∠BAC(角平分线上的点到角两边的距离相等).
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
变式1：如图，在直角 △ABC 中，AC ＝ BC，∠C ＝90°，AP 平分∠BAC，BD 平分∠ABC；AP，BD 交于点 O，过点 O 作 OM⊥AC，若 OM ＝ 4，(1)求点 O 到 △ABC 三边的距离和.
温馨提示：不存在垂线段 — — 构造应用
(2)若 △ABC 的周长为 32，求 △ABC 的面积.
S△ABC = S△AOB＋S△BOC＋S△AOC，
2.联系角平分线性质：
1.应用角平分线的判定与性质：
5．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，连接AD.若BD＝CD.求证：AD平分∠BAC.
6．在△ABC的内部，到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的(　　)A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三条高所在直线的交点D．以上均不对
7．如图，O是△ABC内一点，且点O到三边AB，BC，CA的距离OF，OD，OE相等，若∠BAC＝70°，则∠BOC＝________°.
8.【立德树人·关注生活】如图，有三条公路两两相交，要选择一地点建一座加油站，若要使加油站到三条公路的距离相等，则满足此要求的加油站的位置有(　　)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9. 【思维生长】如图①，△ABC的三边AB，AC，BC的长分别为4，6，8，点O是三条角平分线的交点，将△ABC分成三个三角形，则S△OAB∶S△OAC∶S△OBC＝________．向“逆向推理”生长：如图②，已知△ABC的面积是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的周长为________．
向“方程思想”生长：如图③，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M和点N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AC于点D，则线段CD的长为________．
10．[广州期中]如图，已知∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，∠CMD＝35°，则∠MAB的度数是________．
11．如图，某城市公园里有两个景点B，C，直线l1，l3表示直路，而l2表示弯路．想在S区里修建一座公厕P，使它到两条路l1和l3的距离相等，且到两个景点B和C的距离也相等．请在图中标出点P的位置．(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
解：如图，点P即为所求.
12．[芜湖期末]如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，BE，CF是△ABC的角平分线，它们相交于点I.(1)如图①，连接AI，求证：点I在∠BAC的平分线上；
证明：如图①，过点I作AB，AC，BC的垂线，分别交AB，AC，BC于点M，N，K.∵BE，CF是△ABC的角平分线，∴IK＝IM，IK＝IN，∴IN＝IM，∴点I在∠BAC的平分线上.
(2)如图②，延长AI交BC于点D，过点F作FT⊥BC于点T，FL⊥AD于点L.求证：FT＝FL.
一个点：角平分线上的点；二距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段相等
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
三角形的角平分线相交于内部一点
必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.