北师大版（2024）八年级上册（2024）3 勾股定理的应用教案设计

这是一份北师大版（2024）八年级上册（2024）3 勾股定理的应用教案设计教案主要包含了知识技能类作业，综合拓展类作业等内容，欢迎下载使用。
第一课时《 勾股定理的运用 》教学设计
教材分析
本节课是运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题。勾股定理作为中学数学中数形结合思想的一个代表，是数学中几个重要定理之一，特别是对于今后综合性题型中求边长以及求直角都有着很重要的地位，同样在实际生活中有着很广泛的应用。学生通过对勾股定理的再一次复习，可以对直角三角形的相关知识取得进一步的理解。
学情分析
学生已学过勾股定理及其逆定理，本节课利用所学知识解决实际问题。由于学生掌握知识比较零散，综合知识解决实际问题有点难度，数型结合思想渗透力度还不够，所以本节课教师要把培养学生的分析问题解决问题的能力放在首为，通过数型结合思想解决生活中的实际问题。
课时目标
1、体会把立体图形转化为平面图形，解决“最短路径” 的问题。树立转化思想。
2、会根据“勾股定理的逆定理”解决实际问题。
3.利用数学中的“建模思想”构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题
评价任务
任务一：动手操作探究蚂蚁爬行最短路径问题。
任务二：从三角形的三条边的长度关系来判断是否直角三角形。
任务三：利用方程思想解决实际生活中求线段长度问题。
学习活动设计
教师活动
学生活动
环节一：导入新课
教师活动1：
回顾思考
什么是勾股定理？
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
2.如何判断一个三角形为直角三角形?
两条较边短的平方和是否等于较长边的平方
3.问题情境导入：两点之间线段最短
学生活动1：
知识回顾完成1-3题。
活动意图说明：
1.帮助学生温故知新；2.通过视觉激活学生思维，生成问题。
环节二：问题情境--蚂蚁爬行最短路径
教师活动2：
1、在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A 处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
2、小组合作蚂蚁爬行的最短线路
（１）中A→B的路线长为：AA’+d>AB
（２）中A→B的路线长为：AA’+A’B>AB;
（３）中A→B的路线长为：AO+OB>AB;
（４）中A→B的路线长为：AB.
根据两点之间线段最短可判断（第4条）最短
学生活动2：
1、学生审题，小组合作蚂蚁爬行的最线路有几种。
活动意图说明：
由有趣的实际问题引入，激发学生学习兴趣。由有趣的实际问题引入，激发学生学习兴趣；
启发学生把立体图形展开成平面图形，使学生体会数学上的转化思想。
教师活动3：
圆柱体测面展开是长方形，长方形的长=（ 底面周长），宽=（圆柱体的高）。利用勾股定理求AB的长度。
如果告诉底面半径，AB=(兀r )
如果告诉底面直径，AB=( 兀d )
例1、 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
解：AC = 6 – 1 = 5
BC = 24 × = 12，
由勾股定理得
AB2= AC2+ BC2=169,
∴AB=13(m) .
学生活动3：
在计算最短距离时，一名学生分析思路，指明圆柱体上的数量和展开图上的数量之间一一对应关系，以及如何利用勾股定理进行计算
活动意图说明：
教师黑板画图，为学生在黑板上板书，为变式训练一做准备；2.通过先寻找“关键点”，再找到“最短距离”，最终在直角三角形内利用勾股计算最短距离这一过程，使学生再次领悟任何一个几何图形都是由基本元素“点”，“线”，“面”构成，回归几何的本质。
环节三：问题情境--黑板两临边是否垂直
教师活动4：
小明同学在将圆柱展开成长方形时，抬头一看，黑板就是长方形的，他想黑板的角是不是垂直的呢，他手中只有卷尺，你能帮他解决疑惑吗?
1.小明量的黑板边长AC是90cm, AB边长是120cm，点B、C之间的距离是150cm，边AC与AB垂直吗?
2.若你身边只有一个长度为40cm的刻度尺，你能有办法检验你所用的黑板是否垂直吗?
学生活动4：
学生独立思考小明做法的可行性。
小组合作探究利用刻度尺解决线段是否垂直问题。
活动意图说明：
运用勾股定理逆定理解决实际问题，让学生学会分析问题，利用允许的工具灵活处理问题，把生活中的实际问题轻松转化为数学问题来解决。
环节四：问题情景--方程思想求线段长度
教师活动5：
如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC 水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度 CE=3m, CD=1m,试求滑道AC的长.
解：设滑道AC的长度为x m，则AB的长也为x m，AE的长度为（x-1）m.
在Rt△ACE中，∠AEC=90°
由勾股定理得AE2+CE2=AC2
即
解得x=5
答：滑道AC的长度为5 m.
学生活动5：
学生独立思考，分析，作答；一名学生上台讲解并板演过程。
活动意图说明：
在实际问题中，我们需要先找到直角三角形。这时常将未知的边长用一个未知数表示出来，根据勾股定理列方程来求解。渗透方程思想在求直角三角形边长中的重要性。
板书设计
勾股定理的应用——最短距离问题
转化
数学思想
展开
立体图形 平面图形
转化
建模
实际问题 数学问题
课堂练习
【知识技能类作业】
1.如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离（单位cm）
解：最短线路AB

AB=25cm
答：最近距离25cm
2.如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿（CD），早晨测得它的影长为4米（AD），中午测得它的影长为1米（BD），则A、B、C三点能否构成直角三角形？为什么？
解：解：三角形ABC是直角三角形，理由；
∵AD⊥CD,∴
∵BD⊥CD,∴
∵
∵
∴三角形ABC是直角三角形
【综合拓展类作业】
3.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
解：设水池深度为x尺，芦苇长（x+1） 依题意得：

解得X=12 12+1=13
答：水池深度 12尺。芦苇长13尺。
课堂总结
应用勾股定理解决实际问题的一般思路
1、在解决实际问题时，首先要画出适当的示意图，将实际问题抽象为数学问题，并构建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实际问题。
2、在直角三角形中，只知道一边的长度，另外两边只知道它们的关系时，运用勾股定理列方程方法求解。
作业设计
【知识技能类作业】
必做题：
1课本14页第1、2、3题
答案或解答提示：1.60；2.第（2）个图形正确，可以用勾股定理验证。
3.∵米，12米>11.7米，∴云梯能够达到城墙的顶端，
选做题：
2.课本第15页6题
解答：如图,测量绳长AC及BC的距离，根据勾股定理计算出旗杆AB的距离。
3.自学课本第13页例题，注意解题规范书写。
【综合拓展类作业】
4.课本第15页第4题
（1）展开正面和右面如图1 。
展开正面和上面如图2 。
展开左面和上面如图3
∵464>400，所以最短距离AB=20cm