北师大版初中数学八年级上册 1.3 勾股定理的应用 课件+教案

1.3 勾股定理的应用 第一章 勾股定理 学 习 目 标121.学会运用勾股定理求立体图形中两点之间的最短距离．（重点）2.能够运用勾股定理解决实际生活中的问题.知识回顾 在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A B 路线，而不选择A C B路线，难道小狗也懂数学？CBAAC+CB>AB（两点之间线段最短）思考：在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？新知探究问题：装修工人李叔叔想要检测雕塑底座正面的 BC 边是否垂直于底边 AB，但他随身只带了卷尺.（1）你能替他想办法完成任务吗？解：连接对角线 AC，只要分别量出AB、BC、AC 的长度即可.AB2 + BC2 = AC2△ABC 为直角三角形新知探究（2）如果量得 AD 长是 30 cm，AB 长是 40 cm，BD 长是 50 cm，那么 AD 边垂直于 AB 边吗？解：AD2 + AB2 = 302 + 402 = 502 = BD2，故∠DAB=90°，即 AD 边垂直于 AB 边.新知探究（3）若随身只有一个长度为 20 cm 的刻度尺，能有办法检验 AD 边是否垂直于 AB 边吗？解：在 AD 上取点 M，使 AM = 9 cm，在 AB 上取点 N 使 AN = 12 cm，测量 MN 是否为 15 cm，若是，就垂直；若不是，就不垂直.典例分析你能根据题意画出图形吗？在你画的图形中存在一个怎样的三角形？例1. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1 尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？典例分析解：设水池的水深 AC 为 x 尺，则这根芦苇长 AD = AB = (x + 1) 尺.在直角三角形 ABC 中，BC = 5 尺，由勾股定理，得 BC2 + AC2 = AB2，即 52+x2=(x+1)2，25 + x2 = x2 + 2x + 1，2x=24，∴ x=12，x+1=13.答：水池深 12 尺，这根芦苇长 13 尺.归纳总结（1）先将立体图形的表面展开；（立体→平面）（2）再作两点之间的连线；（构造直角三角形）（3）运用勾股定理求出两点之间的距离.立体图形平面图形直角三角形模型典例分析根据勾股定理及其逆定理，构造一个直角三角形，求最短路线，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.例2.某港口P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航” 号每小时航行16 海里，“海天”号每小时航行 12 海里，它们离开港口一个半小时后相距 30 海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？典例分析解：设“远航”号轮船为 Q，“海天”号轮船为 R，根据题意可画出如图 1-3-5 的示意图，由题意可得RP=18 海里，PQ =24 海里，QR=30海里 .因为 182+242=302，所以△ RPQ 是直角三角形，且∠RPQ =90° .因为“远航”号沿东北方向航行，所以“海天”号沿西北方向航行 .根据勾股定理及其逆定理，构造一个直角三角形，求最短路线，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.利用勾股定理的逆定理，找出三边之间的关系，并求求CD的长题型探究例3.如图是一个滑梯示意图，若将滑道 AC 水平放置，则刚好与 AB 一样长. 已知滑梯的高度 CE=3m，CD=1m，试求滑道 AC 的长.故滑道 AC 的长为 5 m.解：设滑道 AC 的长为 x m，则AB的长也为x m，AE 的长为(x-1) m.在 Rt△ACE 中，∠AEC = 90°，由勾股定理得 AE2 + CE2 = AC2，即 (x - 1)2 + 32 = x2，解得 x = 5.课堂小结勾股定理的应用立体图形中两点之间的最短路程问题勾股定理的实际应用问题1.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC＝6cm，BC＝8cm，将△ABC 折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE 的长为（ ） A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 10 cmB2.如图是王叔叔建房时所挖地基的平面图，按标准四边形ABCD四个角都应是直角，他在挖完后测量发现 AB＝CD＝6m，AD＝BC＝8m，AC＝BD＝10 m，请你帮他看一下挖的地基是否合格.解：因为AD2＋CD2＝82＋62＝100＝102＝AC2，所以△ACD 是直角三角形，∠ADC ＝ 90°.同理，∠BAD ＝∠ABC ＝∠BCD ＝ 90°，所以四边形ABCD 四个角都是直角，所以王叔叔所挖的地基合格.3.学过勾股定理后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆 AB 的高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长 2 m；② 将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1m，到旗杆的距离CE为 9 m(如图) .根据以上信息，求旗杆AB 的高度 .解：设AB＝x m，则易得AE＝(x－1)m，AC＝(x＋2)m.在Rt△ACE中，根据勾股定理，得AC2＝AE2＋CE2，所以(x＋2)2＝(x－1)2＋92，解得x＝13.故旗杆AB的高度为13 m.