北师大版（2024）八年级上册（2024）3 勾股定理的应用完美版ppt课件

这是一份北师大版（2024）八年级上册（2024）3 勾股定理的应用完美版ppt课件，共29页。PPT课件主要包含了能检验，可设CDx，测量实物图，测量示意图，各项数据，测量项目，小丽身高，数学思想，实际问题，数学问题等内容，欢迎下载使用。
运用勾股定理的逆定理判定垂直，从实际问题中抽象出直角三角形或通过添加辅助线构建直角三角形，运用勾股定理解决实际问题.
能在具体情境中抽象出直角三角形，将实际问题转化为数学问题.
灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题，培养学生的数学语言表达能力、提高学生分析问题和解决问题能力.
回顾前面学过的内容，回答问题：1.勾股定理的内容是什么？
直角三角形 → a2 + b2 = c2
a2 + b2 = c2 → 直角三角形
2.勾股定理的逆定理是什么？
装修工人李叔叔想检测某块装修用砖（如图）的边AD 和边 BC 是否分别垂直于底边 AB.（1）如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？
探究点一：勾股定理与其他几何知识的综合运用
用卷尺分别测量 AD，DB，AB 的长，若 AD2 + AB2＝DB2，则 ∠A＝90°，即AD⊥AB.
（2）李叔叔测得边 AD 长 30 cm，边 AB 长 40 cm，点 B，D 之间的距离是 50 cm. 边 AD 垂直于边 AB 吗?
∵ AD2 + AB2＝302 + 402＝2500，DB2＝502＝2500， ∴∠A＝90°，即AD⊥AB.所以边 AD 垂直于边 AB
在 AD 上从 A 点量取 12 cm 得点 E，在 AB 上从 A 点量取 16 cm 得点 F.
因为 12² + 16²= 20²，
用刻度尺测 EF 长度，若 EF = 20 cm，根据勾股定理逆定理，AD⊥AB；若 EF≠20 cm，则 AD 不垂直 AB.
(3) 如果李叔叔随身只带了一个长度为 20 cm 的刻度尺，那么他能检验边 AD 是否垂直于边 AB 吗?
【活动1】：动手折一折用一张直角三角形纸片折叠，你能发现折叠前后两部分图形有什么关系吗？说明理由.如图，一张直角三角形纸片，两直角边 AC = 5 cm，BC = 10 cm，将△ABC 折叠，使得 B 与 A 重合，折痕为 DE，你能求出 CD 的长吗？
分析：(1) 本题已知什么？求的是什么？
（3）观察 CD 在哪一个三角形中？你能表示出这个三角形的每一条边吗？
（2）本题将△ABC 折叠，使得 B 与 A 重合，折痕为 DE，可得到什么？依据是什么？
AD = BD；依据：折叠的性质.
CD 在Rt△ACD 中；
则 AD = 10 - x.
解：设 CD = x cm，则 DB = (10 - x) cm，由题意，根据折叠的性质，可得 AD = BD = 10 - x， 且 AC = 5.在Rt△ACD 中，由勾股定理得，AD² = AC² + CD²，
如图，一张直角三角形纸片，两直角边 AC = 5 cm，BC = 10 cm，将△ABC 折叠，使得 B 与 A 重合，折痕为 DE，你能求出 CD 的长吗？
(10 - x)² = 5² + x²，
设 DF = x cm，则 CF = EF = (8 - x) cm，在Rt△DEF 中，DE2 + DF2 = EF2，则 42 + x2 = (8 - x)2，解得 x = 3.∴DF 的长为 3 cm.
如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 8 cm，点 E 是边 AD 的中点，将这个正方形纸片翻折，使点 C 落到点 E 处，折痕交边 AB 于点 G，交边 CD 于点 F. 你能求出 DF 的长吗?
问题2：试一试，你能利用以下折叠图形，借助勾股定理，设计一个有关折叠的计算问题么？
探究点二：勾股定理在实际生活中的应用
【活动2】：小组合作，设计方案，测量学校旗杆的高度．借助勾股定理，请你利用升旗的绳子、卷尺设计一个方案，测算旗杆的高度. 以下是小丽设计的测量方案：
如图，小丽制订了如下测量方案，并进行实地测量.
测量过程：步骤一：如图2，线段MN表示旗杆高度，MN垂直地面于点N. 将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段NE．用皮尺测出NE的长度．
步骤二：如图3，小丽同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点B处．用皮尺测出点A与点B之间的距离.
绳子垂到地面多出部分的长度
小丽直立位置距旗杆底端的水平距离
请根据表格所给信息，完成下列问题．问题：（1）直接写出线段 MN 与 AM 之间的数量关系.
AM = MN + 0.5
(2) 根据小丽的测量方案和数据，求出学校旗杆 MN 的高.
解：过 A 作 AC⊥MN 于 C，则 AB = CN，AC = BN，根据题意得，AB = CN = 1.5 m.AC = BN = 7 m，AM = MN + 0.5，∴ CM = MN - CN = MN - 1.5，∵ AM 2 = AC 2 + CM 2，∴ (MN + 0.5)2 = 72 + (MN - 1.5)2，解得 MN = 12.75，答：学校旗杆 MN 的高 12.75 米.
例1 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐. 问水深、葭长各几何？(选自《九章算术》)题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形. 在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺. 如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面. 这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?
解：设水池的水深 OA 为 x 尺，则芦苇的长度 OB 为 (x + 1) 尺.
由于芦苇位于水池中央，所以 AC为 5 尺.
在Rt△OAC 中，由勾股定理，可得 AC2 + OA2 = OC2，
即 52 + x2 = (x + 1)2.
解得 x = 12.12 + 1 = 13.
因此，水池的深度是 12 尺，芦苇的长度是 13 尺.
例2 如图，在一次夏令营活动中，小明从营地 A 出发，沿北偏东 53° 方向走了 400 m 到达点 B，然后再沿北偏西 37° 方向走了 300 m 到达目的地 C. 求 A，C 两点之间的距离.
解析：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，找到直角三角形，利用勾股定理求解.
解：如图，过点 B 作 BE∥AD.∴∠DAB = ∠ABE = 53°.∵ 37° + ∠CBA + ∠ABE = 180°，∴∠CBA = 90°.∴AC² = BC² + AB² = 300² + 400² = 500².∴AC = 500 m，即 A、C 两点间的距离为 500 m.
方法总结：此类问题解题的关键是将实际问题转化为数学问题；在数学模型（直角三角形）中，应用勾股定理或勾股定理的逆定理解题.
【教材P14 习题1.3 第1题】
1. 如图（单位：cm），阴影部分是一个长方形， 它的面积是多少？
解：设直角三角形斜边长（长方形的长）为 x cm，由勾股定理得 x2 = 152＋82 = 289 = 172，x = 17，即长方形的长为 17 cm，则长方形的面积为 17×3 = 51（cm2），即阴影长方形的面积是 51 cm2 。
【教材P15 习题1.3 第2题】
2. 如图，一座城墙高 11.7 m，墙外有一条护城河，在护城河 外距离城墙根 9 m处架一架长为 15 m 的云梯，该云梯能 否到达墙的顶端？为什么？
解：11.72 + 92 < 152，因而长 15 m的云梯可以到达墙的顶端。
3. 如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为 4 m，宽为 2.6 m。一辆卡车装满货物后，高为 3.6 m，宽为 2.4 m，它能通过该隧道吗？
【教材P15 习题1.3 第3题】
解：如图，设 O 为半圆的圆心，DB ⊥ AB，易知 OD = 2 m。
当 OC = AB = 1.3 m 时，由勾股定理，
得 CD2 = OD2－OC2 = 22－1.32 = 2.31。
因为 2.31 > 12，所以 CD > 1 m，
所以 CD + BC > 3.6 m，所以它能通过该隧道。
4. 借助勾股定理，利用升旗的绳子、卷尺，请你设计一个方案，测算出旗杆的高度。
【教材P15 习题1.3 第4题】
知识点1 勾股定理的应用
A.9B.11C.12D.14