北师大小学数学四上第七单元知识梳理与易错精讲（学生版+教师版）

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第七单元 数量关系 · 知识梳理与易错精讲单 元 知 识 梳 理一、学习目标1. 能正确区分单价、数量和总价，灵活运用三组关系式解决实际问题2. 能理解速度的含义并正确书写速度单位，运用速度、时间与路程的关系解决行程问题3. 能分析相遇问题的数量关系，用线段图辅助理解并求解4. 能识别总量与分量的关系，理解加法和减法的互逆关系二、重点• 单价、数量与总价的关系：单价×数量=总价• 速度、时间与路程的关系：速度×时间=路程• 相遇问题的分析方法：速度和×相遇时间=总距离• 总量与分量的关系：总量=各分量之和三、难点• 理解速度是描述物体运动快慢的量，需要同时包含距离和时间• 相遇问题中理解两人共同走完总距离，需要用速度和求解• 在复杂情境中正确识别总量与分量，灵活运用加减法互逆关系学习支架两组数量关系的结构对比相遇问题的分析步骤1. 读题：找出两人速度、总距离和运动方向2. 画图：标注两地、方向、速度3. 求速度和：两人速度相加4. 列式：总距离÷速度和=相遇时间5. 验证：分别算两人路程，检查之和等于总距离四、知识要点1. 单价、数量与总价单价是指每一件（或每一单位）商品的价格。比如一瓶矿泉水2元，这里的“2元”就是矿泉水的单价。数量是指购买商品的件数或个数。比如买了4瓶矿泉水，“4瓶”就是数量。总价是指购买这些商品一共花的钱。比如买4瓶矿泉水，每瓶2元，一共花了8元，“8元”就是总价。三者之间的关系：单价 × 数量 = 总价总价 ÷ 数量 = 单价总价 ÷ 单价 = 数量这三个关系式本质上是一组乘法和除法的关系。知道其中任意两个量，就可以求出第三个量。在购物、批发、分配等场景中都会用到这组关系。教材中的“试一试”也提示我们：把整体分成若干个相同的部分（如平均分），或把若干个相同的部分合起来（如多次购买），都与“单价×数量=总价”有相同的数学结构——“每份量 × 份数 = 总量”。2. 速度的含义与表示速度是描述物体运动快慢的物理量，表示单位时间内行的路程。速度的写法：用距离单位除以时间单位来表示，中间用“/”隔开。例如：• 猎豹每分钟跑2千米，速度写作 2千米/分• 轨道摄像机“猎豹”每小时移动90千米，速度写作 90千米/时• 速度滑冰运动员每秒滑行18米，速度写作 18米/秒比较谁快谁慢，不能只看数字大小，必须统一时间单位后再比较。例：比较 2千米/分 和 90千米/时2千米/分 = 2×60 = 120千米/时120千米/时 > 90千米/时所以 2千米/分 更快。速度的完整含义必须同时包含“行了多少距离”和“用了多少时间”两部分。只说“行了18米”只是距离，不是速度；说“每秒行了18米”才是速度。3. 速度、时间与路程的关系速度、时间和路程之间存在三组基本的数量关系：速度 × 时间 = 路程路程 ÷ 速度 = 时间路程 ÷ 时间 = 速度这组关系与“单价×数量=总价”有着相同的数学结构：• 速度相当于单价（每份的量）• 时间相当于数量（份数）• 路程相当于总价（总量）都是“每份量 × 份数 = 总量”的模型。速度就是“每一时间单位走的距离”，时间就是“走了多少个这样的时间单位”，路程就是“一共走了多远”。运用这组关系解决问题时，要先看清已知哪两个量，要求的是哪个量，再选择对应的关系式。4. 相遇问题相遇问题是指两个物体（或两人）从两地同时出发，相向而行（面对面走），直到相遇。核心关系：• 两人走的路程之和 = 两地之间的总距离• 速度和 × 相遇时间 = 总距离• 总距离 ÷ 速度和 = 相遇时间其中“速度和”就是两人每分钟（或每小时）共走的路程。比如甲每分钟走70米，乙每分钟走50米，两人速度和就是 70+50=120（米/分），意味着两人每分钟之间的距离缩短120米。解题步骤：第一步：读题，找出两人速度、总距离和运动方向第二步：画图（线段图），标注两地、方向、速度第三步：求速度和（两人速度相加）第四步：用“总距离÷速度和=相遇时间”求解第五步：验证——分别算出两人走的路程，检查之和是否等于总距离教材以《九章算术》中的“两蔓相遇”问题引入，说明这类问题在我国古代就有研究。分析相遇问题时，画图是非常好的辅助工具，能帮助理清数量关系。5. 总量与分量总量是整体的数量，分量是组成整体的各部分数量。核心关系：总量 = 分量₁ + 分量₂ + … + 分量ₙ知道总量和其中某些分量，可以求另一个分量：某个分量 = 总量 - 其他分量之和与加减法的关系：• 加法是把几个分量合在一起，得到总量（分量+分量+…=总量）• 减法是已知总量和一个（或几个）分量，求另一个分量（总量-分量=另一个分量）• 减法是加法的逆运算生活中很多地方用到总量与分量的关系：• 统计全校学生总数 = 各年级人数之和• 一天的参观总人数 = 上午人数 + 下午人数• 路程总距离 = 各段距离之和• 步行总时间 = 已走时间 + 剩余时间解题关键是先识别谁是总量（整体）、谁是分量（部分）。通常，“一共”“总计”“全部”对应的是总量，“其中”“各部分”对应的是分量。易错汇总易错点 1【错因】没有理解单价只是每一份的价格标志，总价是买了多份后的总花费，需要乘以数量【自检方法】做完后想一想：只买1份花这么多钱，买了好几份应该花更多易错点 2【错因】两个速度的时间单位不同（一个是“每分钟”，一个是“每小时”），不能直接比数字【自检方法】比较速度前先检查时间单位是否相同，不同就要先换算易错点 3【错因】速度描述的是“每多少时间走多少距离”，只有距离只是路程，不构成速度【自检方法】写速度时问自己：每（多少时间）走了（多少距离）？两个信息都要有易错点 4【错因】忽略了两人在同时运动，每人只走了总距离的一部分，不是一个人走完全部【自检方法】做完后验证：分别算两人走的路程，检查之和是否等于总距离易错点 5【错因】没有建立“两人合作走完总距离”的整体意识【自检方法】画线段图，分别标出两人走的路程，检查两段之和是否等于总距离易错点 6【错因】没有分清总量和分量的角色，只看到关键词就套运算【自检方法】先问自己：题目求的是“一共多少”（总量）还是“其中一部分是多少”（分量）易错点 7【错因】记混了乘除关系，没有从基本关系式出发推导【自检方法】先写出基本关系式（单价×数量=总价），再从中推出要求的式子易错点 8【错因】没有理清三组关系中谁除以谁等于谁【自检方法】记住口诀：求什么就除以什么。求时间→路程÷速度；求速度→路程÷时间五、易错精讲【例1】小明去文具店买笔记本。同一种笔记本，买8本花了32元。如果买15本，需要花多少钱？如果小华买了12本，她花了多少钱？如果小红花了48元，她买了几本？【解题思路】三个小问题都围绕同一种笔记本，单价不变。先从“买8本花32元”求出单价，再用单价分别求出其他问题。这就是“归一法”——先求出每一份是多少。【解答】先求单价：32÷8=4（元/本）（1）买15本需要：4×15=60（元）（2）小华买12本花了：4×12=48（元）（3）小红花48元买了：48÷4=12（本）答：买15本需要60元；小华花了48元；小红买了12本。【易错点】常见错误是不先求单价，看到“15本”就直接用32×15。正确做法是先用总价÷数量求出单价（每本4元），再用单价去求其他问题。这类题的关键是找到不变量——单价不变。【例2】一辆卡车3小时行了252千米，一辆客车4小时行了336千米。哪辆车行得更快？【解题思路】两辆车行的路程不同，用的时间也不同，不能直接比路程或比时间，必须先算出各自的速度（每小时行多少千米）再比较。【解答】卡车速度：252÷3=84（千米/时）客车速度：336÷4=84（千米/时）84千米/时=84千米/时答：两辆车的速度一样快。【易错点】常见错误是直接比路程（336>252，觉得客车快）或直接比时间（320>16，所以买《漫画集》本数最多，能买30本。答：（1）216元；（2）16本；（3）20本；（4）616元；（5）《漫画集》，30本。【易错点】常见错误：①填表时把单价和数量搞混，用错了乘除关系；②第（4）问忘记需要先算第（1）问的营业额再相加；③第（5）问只算了一种书就下结论。建议每做一步都检查：用的是单价×数量还是总价÷数量，关系是否正确。易 错 专 练基础辨析1. 判断下列说法是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”并改正。（1）单价×数量=总价，这个关系在所有的购物问题中都成立。（________）（2）一辆车每小时行60千米，“每小时行60千米”描述的是路程。（________）（3）两人从两地同时出发相向而行，相遇时两人走的路程之和等于两地之间的距离。（________）（4）把若干部分合在一起得到总量，这是加法的含义。（________）（　　）2. 猎豹奔跑的速度是每分钟2千米，用速度写法表示为（________）。3. 在单价、数量和总价的关系中：（1）已知单价和数量，求总价用（________）法。（2）已知总价和数量，求单价用（________）法。（3）已知总价和单价，求数量用（________）法。4. 小明买同一种笔记本，5本花了20元。那么每本笔记本（________）元。买9本需要（________）元。花48元可以买（________）本。5. 学校图书馆统计：三年级有156人，四年级有144人，五年级有168人。三个年级一共有（________）人。如果全校共有680人，除三、四、五年级外，其他年级共有（________）人。6. 判断下面说法是否正确，错误的请改正。（1）小明买5支铅笔，每支2元，共花了10元。这里“每支2元”是数量。（________）（2）一辆汽车每小时行60千米，3小时行180千米。这里“60千米/时”表示的是路程。（________）（3）两人从两地同时相向而行，相遇时两人走过的路程之和等于两地之间的距离。（________）（　　）7. 速度、时间和路程的关系：（1）速度×时间=（________）（2）（________）÷速度=时间（3）路程÷（________）=速度8. 小明从家到学校，每分钟走80米，走了15分钟到达。小明家到学校有多远？下面哪个算式是正确的？　　A. 80+15　　B. 80×15　　C. 80÷15　　D. 15÷809. 学校合唱队有男生56人，女生64人。合唱队一共有（________）人。如果从这个合唱队中选20人去参加演出，还剩（________）人。方法巩固10. 超市里苹果每千克8元，妈妈买了5千克。香蕉每千克6元，妈妈买了4千克。（1）买苹果花了多少钱？（2）买香蕉花了多少钱？（3）妈妈一共花了多少钱？11. 一列火车从甲站开往乙站，每小时行120千米。这列火车从上午9时出发，下午3时到达。甲站到乙站的铁路全长多少千米？12. 小明和小红同时从两地相向而行。小明每分钟走65米，小红每分钟走55米。经过8分钟两人相遇。（1）两地之间的距离是多少米？（2）相遇时小明比小红多走了多少米？13. 学校图书馆有故事书和科技书共856本。其中故事书有478本。科技书比故事书少多少本？14. 一辆汽车去时每小时行60千米，用了4小时到达目的地。回来时走的是同一条路，每小时行80千米。回来用了多少小时？15. 果园里采摘苹果。上午摘了15箱，下午摘了18箱，每箱苹果重25千克。（1）上午摘了多少千克苹果？（2）下午摘了多少千克苹果？（3）这一天一共摘了多少千克苹果？（4）如果每箱苹果卖100元，这一天卖苹果一共能得多少元？16. 小刚和小强同时从学校出发去少年宫。小刚每分钟走80米，小强每分钟走60米。6分钟后，小刚到达少年宫。（1）学校到少年宫有多少米？（2）小强还要走几分钟才能到达少年宫？17. 甲、乙两城相距360千米。一辆客车从甲城出发，每小时行40千米；一辆货车同时从乙城出发，每小时行50千米。两车同时相向而行。（1）两车每小时共靠近多少千米？（2）出发后几小时两车相遇？（3）相遇时客车行了多少千米？货车呢？综合易错18. 某超市促销活动：A品牌牛奶原价每箱60元，现在每箱降了10元。妈妈买了4箱A品牌牛奶，花了多少钱？另外，B品牌牛奶不促销，每箱55元，妈妈买3箱B品牌牛奶花了多少钱？哪种牛奶花的钱多？多多少钱？19. 甲、乙两人同时从相距720米的两地相向而行。甲每分钟走75米，乙每分钟走45米。（1）两人出发后几分钟相遇？（2）相遇时甲走了多少米？乙走了多少米？（3）相遇点更靠近谁的出发地？为什么？20. 学校组织春游，四年级有3个班：一班42人，二班38人，三班45人。（1）四年级一共有多少人参加春游？（2）如果每辆大巴车限乘40人，至少需要几辆大巴车？（3）如果每辆大巴车的租金是350元，租车一共要花多少钱？21. 小明和小华从相距720米的两地相向而行。小明每分钟走80米，小华每分钟走60米。小华出发时迟了2分钟（小明先走了2分钟后小华才出发）。从小明出发开始算起，经过几分钟两人相遇？22. 甲、乙两城相距560千米。一辆客车和一辆货车分别从甲城和乙城同时出发，相向而行。客车每小时行80千米，货车每小时行60千米。（1）两车每小时共靠近多少千米？（2）出发后几小时两车相遇？（3）相遇时两车各行了多少千米？（4）相遇点距甲城多远？距乙城呢？哪个更远？23. 下面是某书店三种书的销售信息：《成语故事》每本18元，卖出15本；《科学世界》卖出18本，营业额共324元；《趣味数学》每本12元，营业额共216元。（1）《成语故事》的营业额是多少元？（2）《科学世界》的单价是多少元？（3）《趣味数学》卖出了多少本？（4）三种书的营业额一共是多少元？（5）学校用300元购买上述三种书中的一种，购买哪种书的本数最多？最多能买多少本？参 考 答 案第1题：（1）√；（2）×，“每小时行60千米”描述的是速度，不是路程；（3）√；（4）√【解析】（1）单价×数量=总价是购物中的基本关系。（2）“每小时行60千米”表示的是单位时间内行的路程，这是速度的定义。（3）这是相遇问题的基本关系。（4）加法的本质就是把几个部分（分量）合在一起得到整体（总量）。第2题：2千米/分【解析】速度写法是距离单位/时间单位。每分钟2千米，写作2千米/分。第3题：（1）乘；（2）除；（3）除【解析】单价×数量=总价，所以求总价用乘法；总价÷数量=单价，总价÷单价=数量，求单价和数量都用除法。第4题：4；36；12【解析】单价：20÷5=4（元/本）；买9本：4×9=36（元）；48元买：48÷4=12（本）。第5题：468；212【解析】三个年级一共：156+144+168=468（人）；其他年级：680-468=212（人）。第6题：（1）×，“每支2元”是单价，不是数量，数量是5支；（2）×，“60千米/时”表示的是速度，不是路程；（3）√【解析】（1）“每支2元”是每件商品的价格，即单价。“5支”才是数量。（2）“60千米/时”是单位时间内行的路程，是速度。“3小时行180千米”中的180千米才是路程。（3）这是相遇问题的基本关系。第7题：（1）路程；（2）路程；（3）时间【解析】速度×时间=路程，路程÷速度=时间，路程÷时间=速度，这三个关系式互为逆运算。第8题：B【解析】已知速度（每分钟80米）和时间（15分钟），求路程。路程=速度×时间=80×15=1200（米）。第9题：120；100【解析】总量：56+64=120（人）；剩余分量：120-20=100（人）。第10题：（1）40元；（2）24元；（3）64元【解析】（1）苹果：8×5=40（元）；（2）香蕉：6×4=24（元）；（3）一共：40+24=64（元）。第（3）问中，苹果花的钱和香蕉花的钱都是分量，总花费是总量。第11题：720千米【解析】先算时间：上午9时到下午3时，经过了15-9=6（小时）。再用速度×时间：120×6=720（千米）。注意不能直接用120×3，下午3时要转化为15时。第12题：（1）960米；（2）80米【解析】（1）速度和：65+55=120（米/分），总距离：120×8=960（米）。（2）小明走了：65×8=520（米），小红走了：55×8=440（米），520-440=80（米）。也可以这样想：每分钟小明比小红多走65-55=10（米），8分钟多走10×8=80（米）。第13题：100本【解析】先求科技书：856-478=378（本）。再比较：478-378=100（本）。答：科技书比故事书少100本。第14题：3小时【解析】往返走的是同一条路，所以去时和回来的路程相同。先求路程：60×4=240（千米）。再求回来时间：240÷80=3（小时）。这道题的关键是理解“同一条路”意味着路程不变。第15题：（1）375千克；（2）450千克；（3）825千克；（4）3300元【解析】（1）15×25=375（千克）；（2）18×25=450（千克）；（3）375+450=825（千克），也可以先算总箱数15+18=33（箱），再33×25=825（千克）；（4）总箱数33×100=3300（元）。第16题：（1）480米；（2）2分钟【解析】（1）小刚6分钟到达，路程：80×6=480（米）。（2）小强走完全程需要：480÷60=8（分钟），已经走了6分钟，还要走：8-6=2（分钟）。第17题：（1）90千米；（2）4小时；（3）客车160千米，货车200千米【解析】（1）速度和：40+50=90（千米/时），即每小时共靠近90千米。（2）相遇时间：360÷90=4（小时）。（3）客车：40×4=160（千米），货车：50×4=200（千米）。验证：160+200=360（千米）=总距离。✓第18题：A品牌200元；B品牌165元；A品牌多，多35元【解析】A品牌促销价：60-10=50（元/箱），4箱：50×4=200（元）；B品牌：55×3=165（元）；比较：200>165，A品牌多花：200-165=35（元）。常见错误：忘记先算促销价，直接用原价60×4=240元。第19题：（1）6分钟；（2）甲450米，乙270米；（3）更靠近乙的出发地【解析】（1）速度和：75+45=120（米/分），相遇时间：720÷120=6（分钟）。（2）甲走了：75×6=450（米），乙走了：45×6=270（米）。验证：450+270=720（米）✓。（3）相遇点离乙的出发地450米（甲走的距离），离甲的出发地270米（乙走的距离）。因为270240，所以距甲城更远。第23题：（1）270元；（2）18元；（3）18本；（4）810元；（5）《趣味数学》，25本【解析】（1）18×15=270（元）。（2）324÷18=18（元/本）。（3）216÷12=18（本）。（4）270+324+216=810（元）。（5）300÷18=16（本）……12元，最多16本；300÷18=16（本）……12元，最多16本；300÷12=25（本）。25>16，所以购买《趣味数学》本数最多，能买25本。第一组第二组每份的量单价速度份数数量时间总量总价路程核心关系单价×数量=总价速度×时间=路程常见错误正确认识看到题目中单价是4元，求总价时直接写4元，把单价当总价总价=单价×数量=4×3=12（元），不能直接把单价当总价常见错误正确认识比较速度时直接比数字大小：2千米/分和90千米/时，认为290千米/时，所以2千米/分更快常见错误正确认识说速度时只写距离不写时间单位，如“速度是18米”速度必须同时包含距离和时间，正确写法是“18米/秒”常见错误正确认识相遇问题中用总距离直接除以其中一人的速度，如总距离840米，甲走70米/分，乙走80米/分，用840÷70求相遇时间相遇时两人共同走完总距离，应先用速度和：70+80=150（米/分），再用840÷150求相遇时间常见错误正确认识相遇问题中把速度和与其中一人的速度搞混，或忘记两人是同时出发同时相遇从出发到相遇，两人走的时间相同。速度和=两人速度之和，代表每分钟两人共同缩短的距离常见错误正确认识看到“一共”就用加法，不管求的是总量还是分量先判断求的是总量还是分量。求总量用加法（分量+分量=总量），求某个分量用减法（总量-其他分量=这个分量）常见错误正确认识在“单价、数量与总价”和“速度、时间与路程”的关系式中搞混乘除关系，如求数量时用总价×单价求数量应该用总价÷单价，因为单价×数量=总价，所以总价÷单价=数量常见错误正确认识求时间时搞混“路程÷速度”和“路程÷时间”，如知道路程和速度求时间却用路程×速度知道路程和速度求时间，应该用路程÷速度=时间