北师大小学数学四上第五单元知识梳理与易错精讲（学生版+教师版）

这是一份北师大小学数学四上第五单元知识梳理与易错精讲（学生版+教师版），文件包含北师大版小学数学四上第五单元知识梳理与易错精讲教师解析版docx、北师大版小学数学四上第五单元知识梳理与易错精讲学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共21页， 欢迎下载使用。
第五单元 运算律 · 知识梳理与易错精讲单 元 知 识 梳 理一、学习目标1. 理解并掌握加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法结合律和乘法分配律2. 能运用运算律进行简便计算，灵活选择凑整策略3. 掌握四则混合运算的运算顺序，能正确添括号改变运算4. 能用有序计数法解决线段和路线的计数问题5. 能辨别常见运算错误并说明原因二、重点• 五个运算律的含义和字母表达• 运用运算律进行简便计算• 四则混合运算的运算顺序三、难点• 区分乘法结合律与乘法分配律的结构• 乘法分配律的逆向运用和拆分运用• 在简便计算中灵活组合多种运算律学习支架交换律对比结合律 vs 分配律（最易混淆）四则混合运算顺序判断1. 第一步：看有没有括号，有括号先算小括号里面2. 第二步：没有括号时，先算乘除法3. 第三步：最后算加减法4. 第四步：同级运算从左往右依次计算四、知识要点1. 加法交换律两个数相加，交换加数的位置，和不变。用字母表示为a+b=b+a。这里的a和b可以是任意数。加法交换律最重要的应用是验算：计算358+276=634后，交换加数位置再算276+358，如果结果也是634，说明计算正确。交换律只改变加数的位置，不改变运算符号和结果。在简便计算中，交换律常与结合律配合使用，先把能凑成整十、整百的数交换到相邻位置，再用结合律凑整。例如57+288+43，先用交换律把43和288交换位置变成57+43+288，再用结合律算(57+43)+288=100+288=388。使用交换律时要注意只交换加数的位置，不能改变运算符号，有些同学会把加号也一起移动，导致运算错误。2. 乘法交换律两个数相乘，交换因数的位置，积不变。用字母表示为a×b=b×a。与加法交换律一样，乘法交换律也可以用于验算。例如计算5×107=535后，交换因数位置再算107×5=535来验证。在简便计算中，交换律帮助我们把便于相乘的因数调整到相邻位置。例如125×7×8，先用交换律把8移到125旁边变成125×8×7，再用结合律算(125×8)×7=1000×7=7000。需要特别注意的是，交换律只适用于两个数的交换；三个数的连乘中，如果既要交换位置又要改变运算顺序，就需要交换律和结合律联合使用。比如30×20=(3×10)×(2×10)=(3×2)×(10×10)=6×100=600，这里同时用了交换律和结合律。3. 加法结合律三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。用字母表示为(a+b)+c=a+(b+c)。结合律的本质是改变运算顺序——先算哪两个数可以自由选择，关键看哪两个数相加能凑成整十、整百、整千。简便计算中的核心策略是找凑整配对：观察所有加数，找出和为100、1000等整数的配对，用结合律把它们先算。例如57+288+43中，57+43=100，所以(57+43)+288=388最简便。结合律还可以推广到连减的简便运算：a-b-c=a-(b+c)，即连续减去两个数等于减去这两个数的和。例如100-24-36=100-(24+36)=100-60=40。使用结合律时，要确保只是给算式添括号改变运算顺序，不能改变任何一个数和运算符号。常见错误是把减法的连减性质和加法结合律混淆，在加法算式中错误地添括号改变了运算结果。4. 乘法结合律三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。用字母表示为(a×b)×c=a×(b×c)。乘法结合律与加法结合律结构完全类似，都是改变运算顺序。简便计算中要记住常见的凑整配对：125×8=1000、25×4=100、50×2=100、25×8=200。例如9×125×8=9×(125×8)=9×1000=9000；38×25×4=38×(25×4)=38×100=3800。当题目中不直接给出配对，需要拆分因数时，要灵活处理。例如24×25，可以把24拆成6×4，则24×25=6×(4×25)=6×100=600；也可以把24拆成20+4，但这就要用到乘法分配律了。结合律与交换律经常配合使用：先用交换律把能凑整的因数交换到相邻位置，再用结合律添括号先算。做题时先观察所有因数，找到凑整配对是第一步。5. 乘法分配律两个数的和与一个数相乘，等于这两个数分别与这个数相乘，再把两个积相加。用字母表示为(a+b)×c=a×c+b×c。乘法分配律是本单元最核心也最容易出错的运算律。它与结合律的根本区别在于：结合律只涉及连乘，括号搬家，因数不变；分配律的括号里是加法（或减法），外面的数要分别乘括号里的每一项。分配律有三种应用方式：第一种是正向应用：(80+4)×25=80×25+4×25=2000+100=2100。括号里的每个数都要乘以外面的数，不能只乘一个。第二种是逆向应用：当算式中出现两个乘法且有一个相同因数时，可以提取公因数。34×72+34×28=34×(72+28)=34×100=3400。逆向使用的关键是要找到相同因数并提取，同时确保每一项都被正确还原。第三种是拆分应用：当某个因数接近整百整十时，先拆分再用分配律。47×102=47×(100+2)=47×100+47×2=4700+94=4794。这里特别注意102=100+2而不是100，不能丢掉那个"+2"，这是最典型的错误。竖式计算的原理也是分配律：26×21=26×(20+1)=26×20+26×1=520+26=546。6. 四则混合运算的运算顺序在一个算式里，如果只含有加减或只含有乘除，按照从左到右的顺序依次计算。如果同时含有加减和乘除（即含有两级运算），要先算乘除法，再算加减法。如果含有括号，要先算括号里面的。括号的作用是改变运算顺序，把原本后算的部分提前。具体判断步骤：第一步看有没有括号，有括号先算括号里面（先小括号，再中括号）；第二步看括号外面的部分，或者没有括号时，先做乘除后做加减；第三步同级运算从左到右。例如85×3+100÷2，先算85×3=255和100÷2=50（可以同时算），再算255+50=305。含括号的例子：12×(153-83)÷8=12×70÷8=840÷8=105。添括号使等式成立是逆向考查运算顺序的典型题型。例如9÷3×5-2=1，原式按顺序算得15-2=13，不等于1；添括号变成9÷(3×5-2)=9÷13不等于1；试9÷3×(5-2)=3×3=9也不等于1；正确方案是(9÷3)×(5-2)=...不对，应该是9÷(3×(5-2))=9÷9=1。这类题要先分析目标结果与当前结果的关系，确定哪个运算需要被提前。7. 有序计数与画图法数图形的关键方法是有序计数，做到不重复、不遗漏。具体步骤是把实际问题中的关键位置抽象成点，把路径或线段抽象成线段，然后按固定顺序数。以鼹鼠钻洞为例：4个洞口（A、B、C、D排成一排），从任一洞口到另一个洞口算一条路线。从A出发有3条（AB、AC、AD），从B出发有2条（BC、BD，BA已数过），从C出发有1条（CD，CA和CB已数过），一共3+2+1=6条。规律是：n个点排成一排，从一个端点出发分别有n-1、n-2、...、1条，总和为(n-1)+(n-2)+...+1。单程车票问题是同一类型：5个车站，从任一站到另一站算一种车票（单程），即从5个点中取2个的组合。第一个站有4种，第二个站有3种...共4+3+2+1=10种。画线段图时要注意：点的位置按顺序排列；从最左边的点开始依次向右数，数完后再数第二个点向右的线段；也可以用公式验证，n个点的线段条数=(n-1)×n÷2。有序计数是一种数学方法，它的价值在于保证结果完整，而不是靠目测估计。易错汇总易错点 1【错因】混淆了结合律和分配律的使用条件——结合律只改变运算顺序，分配律需要括号里有加减法【自检方法】写出拆分后的式子，检查与原式是否等价：36×25≠36×4×25，因为4×25=100≠25易错点 2【错因】没有识别单独的56隐含了×1，即56=56×1，导致提取公因数后漏掉第二项【自检方法】提取公因数后，把括号展开还原，检查是否与原式每一项都对应易错点 3【错因】把102错误地当成100，忽略了2也是102的组成部分【自检方法】拆分后用加法验算：100+2=102确认拆分正确；展开后检查每一项都乘了外面的数易错点 4【错因】交换位置后忘记用括号确定先算哪两个，导致漏加了剩余的数【自检方法】检查最终结果是否包含了算式中所有的数，每个数只出现一次易错点 5【错因】没有注意运算顺序的优先级，机械地从左到右计算【自检方法】计算前先用笔标出运算顺序：先标乘除，再标加减易错点 6【错因】没有采用有序计数策略，凭感觉随意数导致重复和遗漏【自检方法】用公式验证：n个点的线段数=(n-1)×n÷2=4×3÷2=6易错点 7【错因】括号里是乘法而不是加法，不能拆成两项分别乘——分配律要求括号里是和或差【自检方法】看括号里面的运算符号：是加/减用分配律，是乘用结合律易错点 8【错因】忽略了括号优先的规则，没有先处理括号内的减法【自检方法】看到括号先画圈，标记第一步必须算括号里面易错点 9【错因】不信任交换律，认为改变因数位置会改变结果【自检方法】用交换律验算：如5×107=535，验算107×5=535，结果相同说明正确五、易错精讲【例1】用简便方法计算：167+298+133【例2】用简便方法计算：125×32×25【例3】用简便方法计算：78×101【例4】用简便方法计算：46×57+46×43【例5】判断下面的计算是否正确，如不正确请改正：25×(40×8)=25×40×8+25×8=1000×8+200=8200【例6】计算：9÷3×5-2，在算式中添上括号使结果等于1。【例7】一条线路有A、B、C、D、E共5个车站（按顺序排列），任意两个站之间都需要一种单程车票。一共需要准备多少种不同的单程车票？易 错 专 练基础辨析1. 加法交换律和乘法交换律表达的是同一种规律，只是运算不同。（　　）2. 运用加法交换律填空：46+78=78+（________）3. 运用乘法结合律填空：125×(8×37)=(125×（________）)×（________）4. 125×(8+4)=125×8+4（　　）5. 用简便方法计算：25×17×46. 用简便方法计算：368+79+327. 在算式48÷6+3×2中，应该先算48÷6和3×2。（　　）8. 在括号里填上合适的数：53×102=53×（________）+53×（________）方法巩固9. 用简便方法计算：87×46+87×5410. 用简便方法计算：99×38+3811. 计算：(270-30×6)÷312. 用简便方法计算：78×9913. 用简便方法计算：56+56×9914. 计算：15×(40-4)÷615. 用简便方法计算：250×3216. 一块长方形花圃长24米、宽15米。如果在花圃四周围篱笆，篱笆长多少米？花圃面积是多少平方米？综合易错17. 下面这道题的计算过程是否正确？如果不正确，指出错在哪里并改正。题目：用简便方法计算 36×25小明的做法：36×25=(9×4)×25=9×(4×25)=9×100=90018. 小明在计算 65×98 时用了这种方法：65×98=65×100-65×2=6500-130=6370。他运用了什么运算律？这种方法的依据是什么？19. 判断并改正：125×(8+4)=125×8×125×4=1000×500=50000020. 学校购买地砖，每块地砖35元，教室地面需要铺102块地砖。一共需要多少元？（用简便方法计算）21. 一条线段上有A、B、C、D四个点。小红数出这条线段上共有6条线段，小明数出了8条。谁数对了？请说明你的数法。22. 用简便方法计算：999×7+333×(3×7-21+30)23. 水果店购进苹果和橘子各25箱。苹果每箱48元，橘子每箱32元。购进这些水果一共花了多少元？（用两种不同的简便方法解答）加法交换律乘法交换律a+b=b+a交换加数位置，和不变用途：验算加法a×b=b×a交换因数位置，积不变用途：验算乘法乘法结合律乘法分配律(a×b)×c=a×(b×c)只改变运算顺序因数不变，括号搬家(a+b)×c=a×c+b×c括号内是和，外面乘进去每个加数都要乘，不能漏项常见错误正确认识把36×25算成(36×4)×25=36×(4×25)=36×100=3600，但原题是36×25不能拆成36×4×2536×25中如果要用25凑整，应该把36拆成9×4，变成9×4×25=9×(4×25)=9×100=900；或者把36拆成(30+6)用分配律常见错误正确认识逆向使用分配律时漏掉一项：如56×99+56=56×(99+0)=56×9956×99+56=56×99+56×1=56×(99+1)=56×100=5600常见错误正确认识拆分时丢掉尾数：如47×102=47×100=470047×102=47×(100+2)=47×100+47×2=4700+94=4794常见错误正确认识在加法简便计算中交换了位置但忘了配合结合律：如57+288+43=57+43+288=57+43=100就结束了57+288+43=57+43+288=(57+43)+288=100+288=388常见错误正确认识在混合运算中从左到右依次计算，忽略先乘除后加减的规则：如8+12×5=100×5=5008+12×5=8+60=68，先算乘法12×5=60，再加8常见错误正确认识数线段时没有固定顺序，有的数了两遍有的漏掉：如4个点之间数出8条线段4个点之间的线段共3+2+1=6条，按从左到右、从短到长的有序方法数常见错误正确认识把(25×4)×8用分配律展开成25×8+4×8=200+32=232(25×4)×8是连乘，只能用结合律：25×(4×8)=25×32=800或(25×4)×8=100×8=800常见错误正确认识计算12×(153-83)÷8时先算12×153再减83先算括号里的153-83=70，再算12×70÷8=840÷8=105常见错误正确认识验算乘法时把乘数写错位置导致结果不同乘法交换律保证交换因数位置后积不变，如果验算结果不同说明原计算有误