辽宁葫芦岛市普通高中2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题（含答案）

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注意事项：
1．答卷前，考生须在答题卡和试题卷上规定的位置，准确填写本人姓名、准考证号，并核对条形码上的信息.确认无误后，将条形码粘贴在答题卡上相应位置.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上各题目规定答题区域内，超出答题区域书写或写在本试卷上的答案无效.
第I卷(选择题，共58分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“，”的否定是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得.
【详解】命题“，”的否定是“”.
2. 设集合，集合B是函数的定义域，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由函数有意义，可得，即,故,
因为，所以.
3. 已知函数满足，则（）
A. 0B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【详解】因为，所以．
4. 已知函数，则的表达式为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】因为，所以，
令，可得，解得，
则，故A正确.
5. 设：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合集合的包含关系、绝对值不等式及一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】由，得.
由，得.
若是的必要不充分条件，则，解得.
6. 已知点在一次函数的图像上运动，当它的横､纵坐标之积最大时，点P的坐标（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】因为点在一次函数的图像上，所以可将用含的表达式替换，结合二次函数的性质，找到该函数取最大值时对应的自变量的值.将求得的代入一次函数解析式，计算出对应的值，即可得到点的坐标.
【详解】已知点在上，
所以横纵坐标乘积为 ，
当时​，有最大值2，
将代入，得，
因此此时点坐标为.
7. 已知函数，则方程的实根个数为（）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的单调性，结合基本不等式分情况讨论计算即可.
【详解】解方程，得或.
当时，，当且仅当时取等号，
即，.
当时，，此时在上单调递增，值域为.
当，时，，解得，此时有1个根.
当，时，，即，解得或（舍去），此时有1个根.
当，时，，即，解得或（舍去），此时有1个根.
综上，方程共有3个实根.
8. 已知数列的前n项和为（≠0），且满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据与的关系，结合题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，由此求得，再根据求得.
【详解】由，得，
所以，
即，
又，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列.
所以，
所以.
所以.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 下列函数中，是奇函数且在上单调递减的是（）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【详解】选项A：的定义域为，关于原点对称，且，是奇函数；
根据幂函数性质，幂指数，在上单调递减，故A符合要求；
选项B：的定义域为，关于原点对称，，是奇函数；
且在上单调递减，故B符合要求；
选项C：是二次函数，满足，是偶函数，不符合；
选项D：是奇函数，但幂指数，在上单调递增，不符合.
10. 已知等比数列的公比且，，，记数列的前n项和为，则下列正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【详解】选项A：由得.
因为，可得，解得或. 结合，得，A正确；
选项B：由，B正确；
选项C：，因为，则，C正确；
选项D：因，
，两者显然不相等，D错误.
11. 集合，，记.则下列正确的是（）
A. 中有个元素
B. 中的最大元素为511
C. 当为奇数时，中有个元素
D. 当为偶数时，中的元素之和为
【答案】ACD
【解析】
【分析】集合中的元素都是3的正整数倍数，集合中的元素都是至之间的整数，所以集合中的元素都是至之间3的正整数倍数，构成一个公差为3的等差数列，结合等差数列的相关知识和自然数的规律即可解决本题.
【详解】选项A：“整数端点区间”中的整数个数为，其中，
所以中的元素个数为；
选项B：，
且，指的是至之间所有的正整数倍数，因为，不是的正整数倍数，所以中的最大元素应为510；
选项C：，指的是至之间所有的正整数倍数，除以3的余数的规律是：
除以3余2，除以3余1，除以3余2，除以3余1，……，据此归纳可知，
当为奇数时，除以3余2，当为偶数时，除以3余1，
所以，当为奇数时，至之间所有的正整数倍数最小为，最大为，
所以，，由于这些数都是的倍数，
所以中的元素个数为；
选项D：当为偶数时，至之间所有的正整数倍数最小为，最大为，
所以，，
中的元素个数为
因为中的元素成公差为3的等差数列，所以其元素之和为
.
本题的关键在于读懂集合中的元素就是至之间3的正整数倍数，它们构成了一个公差为3的等差数列.
第Ⅱ卷(非选择题，共92分)
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若正实数，，成等比数列，则的值为__________.
【答案】1
【解析】
【详解】因为正实数成等比数列，所以，
解得或，因为，所以．
13. 若在上是减函数，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【详解】因为在上是减函数，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
设，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
又，，，所以，
因为在上恒成立，所以.
14. 19世纪美国天文学家西蒙・纽康在翻阅对数表时，偶然发现在大量十进制随机数据中以开头的数出现的概率为，并可用此概率检验某些经济数据. ，则的值为__________.
【答案】507
【解析】
【分析】根据对数的运算性质及裂项相消法求解即可.
【详解】，
，
所以，解得.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知数列满足，，设.
（1）求，的值；
（2）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式.
【答案】（1），
（2）由条件可得，即，
又，所以是首项为，公比为2的等比数列．
于是，，
又，所以，
解得．
【解析】
【分析】（1）根据递推公式，赋值求解即可；
（2）利用定义，求得，由的通项公式即可求得的通项公式.
【小问1详解】
由条件可得．
将代入得，，而，所以．
从而，
．
【小问2详解】
略
16. 定义在R上的函数
（1）证明：，都有;
（2）若正实数，满足
①求，的关系式；
②求的最小值.
【答案】（1）由解析式知：，得证；
（2）①；②3
【解析】
【分析】（1）由函数解析式，结合指数的运算性质化简，即可证；
（2）①对函数求导，根据导数的符号判断函数的单调性，结合已知条件有，即可得；②应用“1”的代换及基本不等式求最小值.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
①，故在定义域上单调递增，
由，可知，所以；
②由①知，又a，b为正实数，
所以，
当且仅当，即，时取得等号，所以的最小值为3．
17. 已知函数
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若的极小值为，求的值；
（3）讨论的零点个数.
【答案】（1）
（2）
（3）当时，有一个零点；
当时，有两个零点；
当时，有三个零点．
【解析】
【分析】（1）由导数的几何意义求得在处的切线的斜率，根据直线的点斜式方程可得；
（2）通过讨论导函数的零点，并结合的极小值为，可确定的值；
（3）利用导数分析的单调性及极值，从而得到的零点个数.
【小问1详解】
当时，，.
，.
所以在处的切线方程为：，
整理得：.
【小问2详解】
由题得，其中，
当时，恒成立，所以是增函数，无极值，不合题意.
所以.
令，解得或；
令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得极小值，极小值为，
解得.
【小问3详解】
由（2）知当时，
的极小值为，
的极大值为，
当时，；当时，.
所以当即时，有三个零点，如图①曲线；
当，即时，有两个零点，如图②曲线；
当，即时，有一个零点，如图③曲线；
当时，，所以有一个零点.
综上所述，
当时，有一个零点；
当时，有两个零点；
当时，有三个零点．
18. 已知函数.
（1）若，求实数的值；
（2）记函数，讨论的单调性；
（3）当时，证明：.
【答案】（1）2（2）在上单调递减，在上单调递增．
（3）由题意等价于．
当时，原不等式可化为；
当时，，于是有，
故只需证明即可.
设，则．
设，则．
所以函数在上单调递增.
因为，，
所以函数在上有唯一零点，且.
因为，所以，即．
当时，单调递减；当时，，单调递增.
所以当时，取得最小值．
因为，
又，所以，即.
所以，即，
所以
所以，当时，．
【解析】
【分析】（1）求出导函数，代入求解即可.
（2）根据导数与单调性的关系求解即可.
（3）当时，若证，只需证；构造函数，，根据导数与单调性及最值的关系，结合零点存在定理证明即可.
【小问1详解】
由，得，
则，解得.
【小问2详解】
由题意得：，定义域为.
则，易知，，
令，只需，解得：，故在上单调递增.
令，解得，则在上单调递减.
综上，在上单调递减，在上单调递增．
【小问3详解】
略
19. 定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”.将数列进行“美好成长”，第一次得到数列；第二次得到数列；设第次“美好成长”后得到的数列为，并记.
（1）求；
（2）证明：；
（3）求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）证明：由题意得
，
即；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题设定义求对应项的值即可；
（2）应用对数的运算性质及新定义得到的关系，即可证；
（3）根据（1）（2）的结论，结合构造法及等比数列的定义得到，再应用裂项相消法求.
【小问1详解】
由题意得，；
【小问2详解】
略
【小问3详解】
由（1）（2）知，，整理得，又，
所以数列是首项为，公比为3的等比数列，
故，即，
所以，
所以.