山东省青岛第一中学2025−2026学年第二学期第二次模块考试高二数学试题（含答案）

这是一份山东省青岛第一中学2025−2026学年第二学期第二次模块考试高二数学试题（含答案），文件包含解析第一单元冷与热单元自测科学大象版四年级上册新教材docx、第一单元冷与热单元自测科学大象版四年级上册新教材docx、第一单元冷与热知识清单含考点默写单科学大象版四年级上册新教材docx等3份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知命题：，，那么是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．设，则（ ）
A．B．C．D．2
3．已知向量为单位向量，向量在上的投影向量为，则（ ）
A．B．C．0D．
4．某校表彰大会，共表彰 6 人，每个年级两人，6 人排成一排拍照留念，则高一两名学生相邻，高二两名学生不相邻的排法有（ ）种.
A．72B．144C．240D．288
5．已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知的展开式中各项系数之和为27，则展开式中项的系数为（ ）
A．B．6C．18D．30
7．双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（ ）
A．2B．5C．D．
8．已知f（x）是定义在区间上的函数，且，，则（ ）
A．只有1个零点B．有2个零点
C．，D．，
二、多选题
9．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为B．该圆锥的侧面积为
C．D．的面积为
10．抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
11．已知函数及其导函数的定义域均为，，且，则（ ）
A．B．存在使得
C．D．的图象关于直线对称
三、填空题
12．记为等比数列的前项和．若，则的公比为．
13．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________.
14．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.
四、解答题
15．中，角对应的边分别为，
（1）求角；
（2）若点在边上，且，求的面积.
16．已知三棱锥P-ABC中，，，D为AC中点，M为BD中点，平面平面ABC，点P到平面ABC的距离为2．
（1）证明：；
（2）若，求平面APB与平面CPB夹角的余弦值．
17．已知某校有甲，乙两支志愿服务队，甲队由3名男生和3名女生组成，乙队由4名男生和1名女生组成．
（1）先从两队中选取一队，选取甲队的概率为，选取乙队的概率为，再从该队中随机选取一名志愿者，求该志愿者是男生的概率；
（2）在某次活动中，从甲队中随机选取2名志愿者支援乙队，记为乙队中男生与女生人数之差，求的分布列与期望．
18．已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.
（1）若的离心率为2，求.
（2）若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标.
（3）连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值.
19．对，若函数在有不等式，则称函数是在上的“凹函数”，反之，若不等式，则称函数是在上的“凸函数”，当且仅当时等号成立．也可理解为若函数在上可导，为在上的导函数，为在上的导函数，当时，函数是在上的“凹函数”，反之，当时，则称函数是在上的“凸函数”．
(1)判断函数的凹凸性；
(2)若，令，求的最小值；
(3)为（2）问所得结果，证明不等式：．
参考答案
1．【答案】B
【详解】由题可得是，.
故选B
2．【答案】D
【详解】依题意得，，故.
故选D
3．【答案】A
【详解】由题意可得向量在上的投影向量为，
所以，
又向量为单位向量，
所以.
故选A.
4．【答案】B
【详解】由题意先将高一两名学生捆绑起来作为一个整体，再和高三的两名学生进行全排列共有，
此时已经形成了四个空，再将高二的两名学生插进去有，
所以满足题意的排法有种.
故选B.
5．【答案】B
【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即a的范围是.
故选B.
6．【答案】C
【详解】由题意，解得，
所以展开式中项的系数为.
故选C.
7．【答案】A
【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则，
过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线，
则，
由双曲线的定义及已知条件可知，则，
由勾股定理可知，
易知，即，
整理得，∴，即离心率为2.
故选
8．【答案】D
【详解】由题意，可得，令，
则，故为常函数，设，m为常数，则，
即，则，，
那么没有零点且，故A，B，C错误；
由对任意，均有，即对任意，均有，
那么．
不等式两边同乘正数，等价于证明，
令，，令得：
时，，递减；时，，递增；
故最小值为，即恒成立，原不等式成立，D正确.
9．【答案】AC
【详解】依题意，，，所以，
A选项，圆锥的体积为，A选项正确；
B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误；
C选项，设是的中点，连接，
则，所以是二面角的平面角，
则，所以，
故，则，C选项正确；
D选项，，所以，D选项错误.
故选AC.

10．【答案】ABD
【详解】A选项，抛物线的准线为，
的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，
故准线和相切，A选项正确；
B选项，三点共线时，即，则的纵坐标，
由，得到，故，
此时切线长，B选项正确；
C选项，当时，，此时，故或，
当时，，，，
不满足；
当时，，，，
不满足；
于是不成立，C选项错误；
D选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义，，这里，
于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题，
，中点，中垂线的斜率为，
于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得，
，即的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个点，使得，D选项正确.
方法二：（设点直接求解）
设，由可得，又，又，
根据两点间的距离公式，，整理得，
，则关于的方程有两个解，
即存在两个这样的点，D选项正确.
故选ABD
11．【答案】ACD
【详解】令，代入等式得：，
解得或，
若，令，则对任意有，此时，
与矛盾，故，A正确；
由于在上可导，对等式两边关于求导，得，
令，并代入，，得，故C正确．
令，
则
由得，
所以在上为常数．
又因此，即，
因为对任意，都有，，
所以不存在使得，故B错误．
，故，
对任意，，
故的图象关于直线对称，故D正确．
12．【答案】
【详解】若，
则由得，则，不合题意.
所以.
当时，因为，
所以，
即，即，即，
解得.
13．【答案】
【详解】由得，，
故曲线在处的切线方程为；
由得，
设切线与曲线相切的切点为，
由两曲线有公切线得，解得，则切点为，
切线方程为，
根据两切线重合,所以，解得.
14．【答案】/0.5
【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为，四轮的总得分为.
对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌组合有六种，从而甲在该轮得分的概率，所以.
从而.
记.
如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以；
如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以.
而的所有可能取值是0，1，2，3，故，.
所以，，两式相减即得，故.
所以甲的总得分不小于2的概率为.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由三角形内角和定理可知：，
再由，利用正弦定理边化角得：
，
因为，所以有，则；
（2）
由，在中，可得，
再由正弦定理得：，
再由余弦定理可得：，
即，
解得或，
因为，所以为钝角，
故，所以的面积.
16．【答案】（1）见详解
（2）．
【详解】（1）因为，为中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以．
（2）M为BD中点，在等腰中，，
因为点到平面的距离为2，，所以平面，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，
即，令，则，
设平面的法向量为，则，
即，令，则，
设平面与平面的夹角为，则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
17．【答案】（1）
（2）分布列见详解，期望为3
【详解】（1）设事件A为“选甲队”，事件B为“选乙队”，事件C为“选中男生”
则
（2），从甲队中随机选取2名志愿者支援乙队,X的可能取值为1、3、5，
则,,
故的分布列为：
数学期望为
18．【答案】（1）；
（2）当时，；
（3）的最大值为.
【详解】（1）由双曲线的方程知，，
因为离心率为2，所以，得.
（2）当时，双曲线，且.
因为点在第一象限，所以为钝角.
又为等腰三角形，所以.
设点，且，则
得，所以.
（3）由双曲线的方程知，且由题意知关于原点对称.
设，则.
由直线不与轴垂直，可设直线的方程为.
联立直线与双曲线的方程得
消去，得，
且，即，得.
，
由，得，
所以，即，
整理得，
所以，
整理得，所以.
又，所以，解得，
所以，又，
故的取值范围是，故的最大值为.
19．【答案】(1)为的凸函数
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由题，，即，
所以为的凸函数．
（2）设函数，则，
，所以在为“凹函数”，
所以当时，，
即，
当且仅当时，等号成立，
所以最小值为．
（3）即证，
两边取对数，即证：，
因为的导数为，
当时，恒成立，所以在上为单调递增函数，
所以，
令，所以，
所以，
累加可得：，证得不等式成立．X
1
3
5
P