宁夏回族自治区银川市第二中学2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题（含答案）

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注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.在试卷上作答无效.
3.非选择题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由，其中，
又，
则．
2. 设命题，则的否定为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由特称命题的否定为将存在改任意并否定原结论，即可得答案.
【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为.
故选：B
3. 已知a，，那么“”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】因为，则，所以，
又因为增函数，所以；当，即，
则，当时，，
当时，不在定义域内；
综上“”是“”的充分不必要条件.
4. 在一次数学考试中，某校学生的成绩，且．若从该校的考生中随机抽取一名学生，则其成绩在区间内的概率为（）
A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4
【答案】A
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性结合已知条件求解即可.
【详解】因为，且，
所以.
故选：A
5. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由图象知函数的定义域排除选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项.
【详解】因为函数的定义域为，函数的定义域为，
函数与的定义域均为.
由图知的定义域为，排除选项A、D，
对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C.
故选：B.
6. 在科技下乡的大趋势下，某果园使用一种智能水果分选机筛选某种水果，将该种水果分为大果和小果两类，该分选机把大果错误筛选为小果以及把小果错误筛选为大果的概率均为0.1，经过分选机筛选分类之后大果所占比例为0.58，则可推测该果园中这种水果里的大果所占的真实比例为（）
A. 0.55B. 0.6C. 0.65D. 0.7
【答案】B
【解析】
【详解】设该果园中这种水果里的大果所占的真实比例为，
根据题意可得，，解得.
7. 将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为（）
A. 72B. 84C. 96D. 108
【答案】B
【解析】
【分析】利用先选后排的方法进行解题即可.
【详解】选个空盒：种，
分配个小球到个非空盒
情况一（分法）：种
情况二（分法）：种
总分配方法; 种，
总放法数：种
故选：
8. 已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数．若，则（）
A. 23B. 24C. 25D. 26
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数奇偶性推出函数关于直线对称和关于点对称，则得到其周期，再计算其一个周期内的和，最后代入计算即可.
【详解】为偶函数，则则关于对称，
为奇函数，则，
即，则关于点对称，
则由其关于对称有，则，
则，作差有，
为周期函数，且周期为4，因为，，则，
因为，，则，
，则，
，，
故选：C.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知正实数a，b满足，则（）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】举出反例可得A、C，借助基本不等式可得B，借助指数运算及基本不等式可得D.
【详解】对A：取，，此时，但，故A错误；
对B：，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对C：取，，此时，但，故C错误；
对D：，
当且仅当时，等号成立，故D正确.
故选：BD.
10. 关于多项式的展开式，下列结论正确的是（）
A. 各项系数之和为32B. 常数项为80
C. 项的系数为D. 展开式一共有21项
【答案】AC
【解析】
【分析】由多项式展开式令代入计算判断A；令或或，计算可判断B；令或，计算可判断C；由的指数取值范围求解可判断D.
【详解】由题意得多项式展开式的通项如下，
为，
即，
对于A，令得，
所以各项系数之和为32，故A正确；
对于B，常数项中的次数为0，则或或，
则，故B错误；
对于C，令，得或，
所以项为，
故项的系数为，故C正确；
对于D，因为，的指数为的整数，
化简可得，
所以展开式一共有9项，故D错误；
11. 设事件，满足，则（）
A. 与可能独立B. 与可能互斥
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】结合根据根据独立事件概率的性质判断A；举例判断B；结合已知根据条件概率公式和对立事件概率公式判断C；结合选项C，根据全概率公式及条件概率公式、对立事件概率公式判断D.
【详解】若独立，则也相互独立，则与题设矛盾，所以A错误；
当与对立（必互斥）时，满足，成立，所以B正确；
因为，所以，所以，
所以，则，所以C正确；
所以，所以，
所以，D正确．
故选：BCD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡相应位置上.
12. 某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，女生样本数据的平均值为10.5，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值是_____.
【答案】9
【解析】
【分析】根据加权平均数的计算规则，结合男女生的人数和各自的平均学习时长求解全体学生的平均学习时长.
【详解】首先计算全体学生周末学习的总时长：
男生总学习时长为小时，
女生总学习时长为小时，
因此全体学生总学习时长为小时，
班级总人数为人，
所以全体学生的学习时长的平均值．
13. 已知，若，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】令、求得的值，再结合二项展开式的通项公式可求得答案.
【详解】令，得，
再令，则
，
所以，则，
所以的通项为，
令，可得.
故答案为：.
14. A、B两个箱子中各装有3个产品，其中A箱子中是2个正品和1个次品，B箱子中是3个次品.现从A、B两箱子中各取一个产品交换放入另一箱子中，重复次这样的操作，记A箱子中正品个数为，恰有2个正品的概率为，恰有1个正品的概率为，则________，的数学期望________.（用表示）
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用全概率公式，构造概率递推公式，再由数列中的递推求通项思想即可.
【详解】经过第一次操作得：，，
经过第二次操作得：；.
根据全概率公式可知：，
，
两式相加可得，
则：，时，，
所以，，
因为，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
所以.
故答案为：①；②.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某校为了解学生数学学科核心素养发展水平，组织本校2000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示.
（1）根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值（同一组数据用该区间的中点值作代表）及样本的80%分位数（四舍五入精确到整数）.
（2）若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数（四舍五入精确到整数）.
附：若随机变量X服从正态分布，则，，
【答案】（1）样本平均数的估计值为，样本的分位数为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平均数、80％分位数的求法计算即可；
（2）根据原则以及正态分布的对称性计算.
【小问1详解】
设样本平均数的估计值为，
则，
所以，样本平均数的估计值为62；
由图可知，前三组的频率和为，第四组的频率为，
所以样本的80％分位数为；
【小问2详解】
由（1）可知，样本平均数的估计值，
所以，
则
所以，估计能参加复试的人数为．
16. 在深化课程改革、推动教育高质量发展的新阶段，命题能力已成为教师专业发展的关键能力，某省开展2025年学科教师命题能力高质量研修提升培训会，参会人员包括300名经验丰富教师（年龄在35岁及以上的教师），200名经验不丰富教师（年龄在35岁以下的教师），会后均参加相关知识考核，考核结果为优秀、合格两种情况，统计并得到如下列联表：
（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次考核结果与经验丰富与否有关？
（2）若从参会人员中，采用分层抽样的方法随机抽取10名教师，再从这10名教师中随机抽取4人进行调研，设抽取的4人中经验不丰富教师的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：，其中．
【答案】（1）不能（2）
的分布列如下表
【解析】
【分析】（1）由2×2列联表直接求解即可
（2）首先求出名教师中经验丰富和经验不丰富教师的人数，然后根据超几何分布求出对应的概率并列出分布列，最后根据期望公式求出期望.
【小问1详解】
零假设：认为这次考核结果与经验丰富无关，
由题意，
所以根据小概率值的独立性检验，推断成立，
即不能认为这次考核结果与经验丰富与否有关.
【小问2详解】
由题意，名教师中经验丰富的教师人数为人，经验不丰富的教师人数为人，
则可取的值有，
，，
，，，
的分布列如下表
所以.
17. 甲乙两人进行象棋比赛，约定谁先赢3局谁就直接获胜，并结束比赛.假设每局甲赢的概率为，和棋的概率为，各局比赛结果相互独立.
（1）记为3局比赛中甲赢的局数，求的分布列和均值
（2）求乙在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（3）求比赛6局结束，且甲赢得比赛的概率
【答案】（1）的分布列为：
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）依题意甲每局赢的概率为，甲不赢的概率为，则，利用二项分布的概率公式得到分布列，从而求出期望；
（2）分乙前局全胜和前局只有一局不胜两种情况讨论，利用相互独立事件及互斥事件的概率公式求解即可；
（3）依题意局中前局甲只赢局且至少平一局，第六局甲赢，利用相互独立事件及互斥事件的概率公式求解即可．
【小问1详解】
由题知甲每局赢的概率为，甲不赢的概率为，
则，的可能取值为，，，，
所以，，
，，
则的分布列为：
所以（或）；
【小问2详解】
由题知乙每局赢的概率为，乙不赢的概率为，
因为乙在4局以内（含4局）赢得比赛，
则分两种情况：乙前3局全胜和前3局只有一局不胜，第四局乙胜，
所以乙在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
【小问3详解】
由题知比赛局结束，且甲赢得比赛，
应要满足：前局甲只赢局且其他三局中至少和棋一局，第六局甲赢，
又每局甲赢的概率为，和棋的概率为，乙赢的概率为，
故所求概率为．
18. 人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）．
（1）求首次试验结束的概率；
（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整．
①求选到的袋子为甲袋的概率，
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．
【答案】（1）
（2）①；②方案二
【解析】
【分析】（1）根据全概率公式，解决抽签问题；
（2）利用条件概率公式计算，根据数据下结论．
【小问1详解】
设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“试验结
果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件，
．
所以试验一次结果为红球的概率为．
【小问2详解】
①因为是对立事件，，
所以，所以选到的袋子为甲袋的概率为．
②由①得，所以方案一中取到红球的概率为：
方案二中取到红球的概率为：
因为，所以方案二中取到红球的概率更大．
19. 某单位进行招聘面试，已知参加面试的名学生全都来自A，B，C三所学校，其中来自A校的学生人数为.该单位要求所有面试人员面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码，按面试号码由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟，面试完成后自行离场.
（1）求面试号码为2的学生来自A校的概率.
（2）若，，且B，C两所学校参加面试的学生人数比为，求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试后，B，C两校都还有学生未完成面试）的概率.
（3）记随机变量X表示最后一名A校学生完成面试所用的时长（从第1名学生开始面试到最后一名A校学生完成面试所用的时间），是的数学期望，证明：.
【答案】（1）
（2）
（3）
由题知随机变量X的取值为，，…，，
则随机变量X的分布列为，，，…，N．
所以随机变量X的期望，
．
所以．
【解析】
【分析】（1）按古典概型的计算方法求解.
（2）先确定来自各校的学生人数，再利用条件概率公式进行计算.
（3）先求出分布列，再按期望的公式进行化简.
【小问1详解】
记“面试号码为2的学生来自A校”为事件A，
将A校n名学生面试号码的安排情况作为样本空间，则样本点总数为，
事件A表示A校有1名学生的面试号码为2，
其他名学生的面试号码在剩余个面试号码中随机安排，
则事件A包含的样本点数为，
故．
【小问2详解】
设B校参加面试的学生有x名，由题意得，解得．
所以B校参加面试的学生有10名，C校参加面试的学生有20名．
记“最后面试的学生来自B校”为事件B，“最后面试的学生来自C校”为事件C，
显然事件B，C互斥．
记“A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试”为事件D，则．
当事件B发生时，只需考虑A，C两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那位来自C校，
则．
当事件C发生时，只需考虑A，B两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那位来自B校，
则．
所以．
【小问3详解】
略
【点睛】关键点点睛：在第三问的证明过程中，利用组合数的性质：进行化简是关键.经验丰富教师
经验不丰富教师
总计
优秀
200
150
350
合格
100
50
150
总计
300
200
500
0.1
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
0
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