辽宁省葫芦岛市普通高中2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

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时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1.答卷前，考生须在答题卡和试题卷上规定的位置，准确填写本人姓名､准考证号，并核对条形码上的信息.确认无误后，将条形码粘贴在答题卡上相应位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上各题目规定答题区域内，超出答题区域书写或写在本试卷上的答案无效.
第I卷（选择题，共58分）
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知是实数集，集合，，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出集合的补集再与集合进行交集运算．
【详解】

即
故选．
【点睛】考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．在解题过程中，正确求出补集和交集是关键．
2. 命题“对任意，都有”的否定为（ ）
A. 对任意，都有B. 不存在，使得
C. 存在，使得D. 存在，使得
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求.
【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知：
命题“对任意，都有”的否定为“存在，使得”.
故选：D
3. 已知变量具有线性相关关系，并且由最小二乘法计算得到回归直线方程为.若，则（ ）
A. B. 5C. 7D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据线性回归方程必过样本中心点求.
【详解】根据线性回归方程必过样本中心点得：.
故选：C
4. 山海相逢，跑动滨城. 2025葫芦岛马拉松5月11日激情开跑.某单位从6名员工中选派志愿者参加此次活动，要求必须有人去，其中甲､乙两人要么都去，要么都不去，则该单位选派志愿者的方法共有（ ）
A. 15种B. 28种C. 31种D. 63种
【答案】C
【解析】
【分析】根据“其中甲､乙两人要么都去，要么都不去”分“甲乙都去”和“甲乙都不去”两种情况讨论，结合“要求必须有人去”的条件，分别求出两种情况选派方法再相加即为该单位选派志愿者的方法数.
【详解】根据“其中甲､乙两人要么都去，要么都不去”分两种情况讨论：
情况①甲乙都去：
此时需要从剩余4人中选，因为甲、乙已去，所以只要选法存在即满足“要求必须有人去”条件，
故选派方法为：种.
情况②甲乙都不去：
此时需要从剩余4名员工中至少选1人，以满足“要求必须有人去”的条件，
因为“至少1人去”的对立事件是“0人去”，
所以“至少1人去”等价于“4人的总共选派方法”减去“0人去的选派方法”：种.
综上，该单位选派志愿者的方法为情况①和②之和，即种.
故选：C.
5. 已知数列满足，则的前2025项和为（ ）
A. 2024B. 2025C. 2026D. 2027
【答案】B
【解析】
【分析】根据数列的地推关系，计算判断函数的周期性，然后求和即可.
【详解】由题可知：，
所以，所以可知数列是周期数列，最小正周期为3，
所以，设数列的前2025项和为，
则.
故选：B
6. 命题“”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意该命题的否定是真命题，由此求出的取值范围，再找出它的一个充分不必要条件即可.
【详解】命题“”为假命题，即命题“”为真命题.
所以，，
因为在是单调减函数，所以，所以.
因为是的真子集，而其他选项对应的集合都不是的真子集，
故B正确，A， C， D均错误.
故选：B.
7. 若，则的最大值为（ ）
A. B. 2C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】证明原式，利用基本不等式即可求解.
【详解】注意到，且，
故原式，
当且仅当即时等号成立，
所以的最大值为.
故选：A.
8. 函数在上有唯一的零点，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求导可得，再根据函数的单调性以及极值点和零点即可知为函数的零点和极小值点,进而根据满足的关系式逐个选项判定即可.
【详解】由题,,
令，因为，故，
设的根为，
则可知在区间上，单调递减，且，
在区间上单调递增，且，
故在时取最小值，，.
且，即，故B正确；
因为，
即
，故AC错误；
令，则,
故为增函数.
又，故，故D错误.
故选：B
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.）
9. 已知数列的前项和为，则下列正确的有（ ）
A. 若为等比数列，，则
B. 若为等差数列，则数列是等差数列
C. 若为等差数列，，则
D. 若为等比数列，则一定是等比数列
【答案】BC
【解析】
【分析】由已知得即可判断A；由等差数列前n项和公式及等差数列的定义判断B；由等差数列前n项和公式及已知得，作差法比较大小判断C；应用特殊数列是首项为1，公比为判断D.
【详解】A：由题设，若，则，显然不满足为等比数列，错；
B：由为等差数列，则，故，
所以为定值，则是等差数列，对；
C：由为等差数列，且，
所以，即，显然的公差，
所以，
由，
所以，即，对；
D：若是首项为1，公比为的等比数列时，，显然不满等比数列的性质，错.
故选：BC
10. 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，则（ ）
A. 第1次抽到舞蹈节目概率为
B. 第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率为
C. 第2次抽到语言类节目的概率为
D. 在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】设第1次抽到舞蹈节目为事件，第2次抽到舞蹈节目为事件，第二次抽到语言类节目为事件，分别求出事件，事件和事件的基本事件数，进而结合古典概型的概率公式、条件概率公式判断各选项即可.
【详解】设第1次抽到舞蹈节目为事件，第2次抽到舞蹈节目为事件，第二次抽到语言类节目为事件.
对于A，从6个节目中不放回地依次抽取2个的基本事件总数为，
根据分步计数原理有，
所以，故A正确；
对于B，，则，故B错误；
对于C，，则，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：ACD.
11. 设函数.下列正确的是（ ）
A. 若在处的切线斜率为2，则
B. 当时，若有三个零点，则的取值范围是
C. 当时，若，则
D. 若满足，则成等差数列
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用导数的几何意义判断A，求导确定函数的单调性求得极值，构造不等式判断BC，将代入解析式化简，结合等差数列的定义判断D即可.
详解】由题意可知，
若在处的切线斜率为2，
则由导数的几何意义可知，解得，A说法正确；
当时，，
由解得，由解得或，
所以函数和上单调递增，在单调递减，
所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，
若有三个零点，则，解得，B说法错误；
因为当时，函数在上单调递增，
若，则，所以，C说法正确；
若满足，
则
，
则，解得，，
所以，即，满足成等差数列，D说法正确；
故选：ACD
第II卷（非选择题，共92分）
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知的展开式中第3项是常数项，则实数的值为__________.
【答案】6
【解析】
【分析】利用二项展开式的通项公式，求解即可
【详解】展开式中第3项为：
的展开式中第3项是常数项，
，解得:
故答案为：6
13. 关于的不等式的解集为，其中，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题可得的两根为，然后由韦达定理可得答案.
【详解】因关于的不等式的解集为，
则的两根为，由韦达定理，，
则或，因，则，从而.
故答案为：
14. 当时，函数与的图象有两个交点，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，结合反函数的性质将问题转化为函数与在上有两个交点，
【详解】由于函数与互为反函数，其图象关于直线对称，
因为函数与的图象有两个交点，
所以这两个交点一定在直线上，
令，，两边取对数得，即，
设，，
则问题转化为函数与在上有两个交点，
由，令，得；令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，，且时，时，，
要使函数与在上有两个交点，
则，解得，
则的取值范围为.
故答案为：.
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 近年中国新能源汽车进入高速发展时期.已知某数据显示，400名消费者中中老年人共有150人.中老年人中愿意购买新能源车人数是愿意购买燃油车人数的2倍：青年人中愿意购买新能源车人数是愿意购买燃油车人数的4倍.
（1）完善列联表，请根据小概率值的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油车的购买意向是否与年龄有关；
（2）从愿意购买新能源车的消费者中按年龄比例进行分层抽样，得到容量9的样本，再从这9人中随机抽取4人，求这4人中青年人数为3人的概率.
附：.
【答案】（1）列联表见解析，认为消费者对新能源车和燃油车的购买意向与年龄有关
（2）
【解析】
【分析】（1）依据题意直接得到列联表，然后计算卡方即可判断；
（2）先得到青年人，中老年人的人数，然后按照古典概型计算即可.
【小问1详解】
列联表如下：
零假设：消费者对新能源车和燃油车购买意向与年龄无关.
，
根据小概率的独立性检验，我们推断不成立，即认为消费者对新能源车和燃油车的购买意向与年龄有关.
【小问2详解】
由题可知：抽取的9人中青年人有人，中老年人有人.
记“从这9人中随机抽取4人，求这4人中青年人数为3人”的概率，
则.
16. 已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求的前项和.
【答案】（1），.
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差、等比数列基本量的计算公式，结合等差、等比数列的性质求它们的通项公式.
（2）利用错位相减求和法求数列的前项和.
【小问1详解】
对等差数列数列，因为，
由.
所以
对公比大于1的等比数列：，
由，
又，所以.
所以.
所以，.
【小问2详解】
因为，
所以
，
两式相减得：
.
所以.
17. 全国大学生机器人大赛（RbMaser）是中国最具影响力的机器人项目，是全球独创的机器人竞技平台.某高校为了选派优秀选手参加大赛，准备开展校内选拔赛.已知初赛共有2000名选手参加，初赛入围选手参加晋级赛.
（1）若甲､乙､丙3名选手入围的概率分别为，求这3人中至少有1人未入围的概率；
（2）若初赛成绩近似服从正态分布，试估计这些选手中成绩超过96分的人数；（结果四舍五入，精确到个位）
（3）晋级赛共有3道试题，若初赛入围选手小明答对每道题的概率均为，且每题答对与否都相互独立，记小明答对试题个数为，求的分布列与数学期望.
参考数据：.
【答案】（1）；
（2）46； （3）分布列见解析，.
【解析】
【分析】（1）依对立事件概率及独立事件概率公式列式计算.
（2）利用正态分布性质求出概率，进而估计人数.
（3）求出的可能值，再二项分布求出分布列及期望.
【小问1详解】
记甲、乙、丙入围的事件分别为A，B，C，则，
则甲、乙、丙至少有1人未入围的概率.
【小问2详解】
依题意，的近似值为90，的近似值为3，
则，
而，
所以估计这些员工中成绩超过96分的人数为46.
【小问3详解】
依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，，
且，，
，.
所以的分布列为：
数学期望.
18. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，已知有两个极值点.
①求的取值范围；
②求证：.
【答案】（1）答案见解析
（2）①；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义按的不同取值分类讨论即可；
（2）①由有两个极值点可得有两个变号零点，根据一元二次函数的图象和性质列不等式组求解即可；②利用韦达定理将转换为的函数，利用导数研究函数的单调性即可得证.
【小问1详解】
对函数求导得，
因为，令解得或，
当时，，此时当或时，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，此时在上恒成立，在上单调递增，
当时，，此时当或时，单调递增，
当时，，单调递减，
综上所述当时，在，单调递增，在单调递减，
当时，在上单调递增，
当时，在，单调递增，在单调递减.
【小问2详解】
①由题意可得，，
求导得，，
因为有两个极值点，所以有两个变号零点，
所以在上与轴有两个不同的交点，
所以，解得，即的取值范围为.
②由（2）①得
，，
令，，
则恒成立，
所以在上单调递增，所以，
即，.
19. “牛顿数列”是英国著名物理学家牛顿发现并定义的，它在航空航天中应用极其广泛.“牛顿数列”的定义是：对于函数，若数列满足，则称数列为函数的“牛顿数列”.已知数列为函数的牛顿数列，且数列满足.
（1）求；
（2）证明数列是等比数列并求；
（3）设数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）证明见解析，；
（3）.
【解析】
【分析】（1）代入直接求出.
（2）求出导函数，化简数列递推式，并对递推式变形可得，结合等比数列定义及通项公式求解.
（3）利用等比数列求和公式求出，再把恒成立问题转化为对任意的恒成立，利用对勾函数单调性并按n分奇偶求出范围.
【小问1详解】
由，得，
所以.
【小问2详解】
函数，求导得，则，
于是，，
而，因此，又，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，.
【小问3详解】
由（2）知，，，
对任意，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
当为正偶数时，，则当，即时，取得最小值8，；
当为正奇数时，，而当时，，当时，，
因此当或时，取得最小值10，则，解得，
所以的取值范围是.愿意购买新能源车
愿意购买燃油车
合计
青年人
中老年人
合计
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
愿意购买新能源车
愿意购买燃油车
合计
青年人
200
50
250
中老年人
100
50
150
合计
300
100
400
0
1
2
3