宁夏银川市第九中学2025-2026学年第二学期期末考试高二年级数学试题（含答案）

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（本试卷满分150分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合后结合交集的定义可求.
【详解】，故，
故选：D.
2. 已知复数z满足，则（）
A. B. C. 4D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】先求出复数，再根据复数模的公式即可求出．
【详解】由可得，，所以，
故选：B.
3. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】对于A，令函数，定义域为，
得到，该函数为奇函数，故A错误；
对于B，令函数，定义域为，
，是偶函数；
当时，，所以在上单调递减，故B错误；
对于C，令函数，定义域为，且，
所以，
即，所以为奇函数，故C错误；
对于D，函数定义域为，
，是偶函数；
又幂函数在上单调递增，故D正确.
4. 已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由的值域确定大小关系.
【详解】因为，所以．
5. 函数的部分图象大致是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据奇偶性排除A；根据正负性排除CD.
【详解】定义域为，，
则是偶函数，排除A选项；
当时，，则，
当时，，则；
当时，，则，排除CD选项.
6. 下列说法错误的是（）
A. 已知的展开式中各项系数之和为256，则展开式中的系数为108
B. 袋中有除颜色外完全相同的5个球，其中2个红球､3个白球，现从袋中不放回地连续取球两次，每次取1个球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为
C. 若随机变量，则
D. 若随机变量，则
【答案】B
【解析】
【分析】A由系数和得，再由二项式定理求对应项系数；B由条件概率公式求概率；C利用正态分布的对称性求概率；D由二项分布的方差公式及方差的性质求方差.
【详解】对于选项A：令，则，
，，
的系数为，A正确；
对于选项B：设“第一次取得红球”为事件，“第二次取得白球”为事件，
，则，B错误；
对于选项C：由题意，，C正确；
对于选项D：，D正确.
7. 已知函数的定义域是，的图象关于点中心对称，若，且对任意，，都有，则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得为奇函数，进而得到在，上为减函数，再由分式不等式的等价条件得，再根据奇偶性和单调性解不等式即可．
【详解】因为对任意，，都有，
所以在上为减函数，
因为的对称中心为，所以的对称中心为，
所以为奇函数，
所以上为减函数．
则在，上为减函数，
因为，所以，
，
即或，
则或，
解得或，
所以解集为．
故选：C．
8. 已知函数，若存在实数a，b，c满足，且，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出图象后可得、、的关系，再求出的范围后可用表示出，即可得的取值范围.
【详解】作出图象如下：
由，且，则，
即有，，且，则，
故，
则.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 市物价部门对五家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价（元）和销售量（件）之间的数据如表所示：
用最小二乘法求得经验回归方程为，相关系数，则（ ）
A. 变量，相关性较弱
B.
C. 当时，的估计值为152
D. 相对于点的残差为1
【答案】BC
【解析】
【分析】根据相关系数的绝对值与1的接近程度判断A，根据线性回归直线方程中系数的计算公式计算系数判断B，由回归方程判断CD.
【详解】对A，相关系数，比较接近1，相关性较强，A错；
对B，由已知，
，B正确；
对C，时，，C正确；
对D，时，，，D错.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 幂函数是偶函数，且在单调递减
B. 函数（且）的图象所过定点的坐标为
C. 若正数x，y满足，则的最小值是
D. 已知函数在上单调递增，则a的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据幂函数性质判断A，根据对数函数性质判断B，利用基本不等式判断C，利用函数的单调性判断D.
【详解】对A，幂函数是幂函数，则，，函数解析式为是偶函数，在单调递减，A正确；
对B，，则，此时，函数图象过点，B错；
对C，正数x，y满足，则，，
当且仅当，即时等号成立，C正确；
对D，，解得，D正确.
11. 定义在上的函数满足：
①对任意，都有；
②的图象关于直线对称；
③，.
则下列说法正确的是（）
A. 是偶函数B. 是奇函数
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据对称性可得的图象关于对称，直线对称，且以4为周期的周期函数，即可根据函数图象的平移，结合奇偶性的定义求解.
【详解】令，得，即，
可得，故函数的图象关于对称．
又因为的图象关于直线对称，故，
所以的图象关于直线对称，
则，可知是以4为周期的周期函数．
对于选项A：因为的图象是将的图象向左平移2个单位，
故的图象关于轴对称，则，
即，所以是偶函数，故A正确；
对于选项B：的图象是将的图象向左平移1个单位，
故的图象关于原点对称，是奇函数，故B正确；
对于选项C：由，得；
由，得，
所以，故C正确；
对于选项D：由题意得，
，，
则，所以，故D错误．
故选：ABC．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 使得“”成立的一个充分条件是________（答案不唯一，写出正确的一个就可以）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】将不等式转化为同底数指数形式，利用指数函数单调性求出不等式成立的范围，再取该范围的一个非空子集作为充分条件．
【详解】由于，故等价于，解得，
故使得“”成立的一个充分条件只需为集合的非空子集即可，例如．
故答案为．
13. 现安排5名学生去参加3个项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为________．（用数字作答）
【答案】114
【解析】
【分析】根据排列组合知识，结合部分平均分组法、捆绑法求解即可.
【详解】先将5人分为3组，有两种分法（3,1,1；2,2,1）：，
再将3组进行全排列，方案数 ：，
把甲乙看作1个整体，相当于4个元素分到3组，共有（1种分法：2,1,1）：，
再将3组进行全排列，方案数：，
所以满足上述要求的不同安排方案数为：.
14. 设函数，若恒成立，则的取值范围为________________
【答案】.
【解析】
【分析】由恒成立，得恒成立等价于在定义域内恒成立，两个变号零点必须重合，得，即，代入所求式子，化简得，结合分式有意义的条件得出且，再利用换元法，把所求式子转化为求二次函数的值域即可.
【详解】因为函数在定义域内单调递增，零点为，
当时，；当时，；
因为函数在上单调递增，零点为，
当时，；当时，；
由恒成立，得恒成立，等价于，
等价于函数和的零点重合，即得，即，，
所以，由分式有意义的条件得出且，
将代入得，，
令，则是对称轴为且开口向下的二次函数，
在上单调递增，在上单调递减；
当时，，则，所以；
当时，，，即，
，所以；
当时，，，因为，所以
，
当且仅当即，时等号成立，不符合前提条件，故舍去，
综上所述，的取值范围为.
【点睛】方法归纳：
1.两因式同号恒成立等价于零点重合，建立参数等式；
2.分式最值常用换元法，转化为求二次函数值域.
易错归纳：
1.漏判分式的分母不为0：忽略且；
2.不会使用“零点重合”核心结论，无法建立和的关系式；
3.换元后不分正负区间分类讨论，直接套用二次函数最值导致范围不完整.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 计算下列各式的值：
（1）；
（2）;
（3）;
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据幂的运算法则和对数运算法则计算；
（2）根据根式的定义与对数的运算法则、换底公式计算；
（3）利用对数的运算法则、换底公式和根式的定义计算.
【详解】（1）；
（2）；
（3）.
16. 年国际足联世界杯，简称“年美加墨世界杯”，该届赛事于当地时间月日月日在美国、加拿大与墨西哥三国联合举办，是历史上首次由三个国家共同承办，也是北美洲第四次举办该赛事.本届赛事在座城市（美国座、加拿大座、墨西哥座）进行，共计进行场比赛，揭幕战在墨西哥墨西哥城阿兹特克体育场进行，由墨西哥队迎战南非队，决赛将在美国纽约新泽西体育场举行.本届赛事首次采用队赛制，分为个小组，每组前两名及个最佳第三名晋级强淘汰赛，淘汰赛新增决赛轮次，冠亚军需进行场比赛.某中学为了研究不同性别的学生对本届世界杯的了解情况，进行了一次抽样调查，随机抽取该校男生和女生各名作为样本.设事件“了解世界杯”，“学生为女生”，已知，.
（1）完成下列列联表，并依据的独立性检验，能否认为该校学生对世界杯赛事的了解情况与性别有关联?
（2）现从样本不了解世界杯的学生中，采用分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取人，设抽取的人中男生的人数为，求的分布列和数学期望.
附：，其中.
【答案】（1）列联表如下：
依据的独立性检验，能认为该校学生对年世界杯的了解情况与性别有关联.
（2）的分布列为：
数学期望.
【解析】
【分析】（1）根据条件概率公式求出、的值，据此完善列联表，零假设该校学生对世界杯赛事的了解情况与性别无关，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；
（2）分析可知随机变量的可能取值有、、，利用超几何分布可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.
【小问1详解】
由题意可知，由条件概率公式可得，
所以，
由条件概率公式可得，所以，
列联表如下：
零假设该校学生对世界杯赛事的了解情况与性别无关，
，
所以依据的独立性检验，能认为该校学生对年世界杯的了解情况与性别有关联.
【小问2详解】
现从样本不了解世界杯的学生中，采用分层随机抽样的方法抽取名学生，
这名学生中的男生人数为人，女生人数为人，
再从这名学生中随机抽取人，抽取的人中男生的人数为，
则随机变量的可能取值有、、，
，，，
所以随机变量的分布列如下表所示：
故.
17. 已知函数．
（1）若，求在处的切线方程；
（2）讨论的单调性：
（3）若在区间上存在极值，且此极值小于，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
时，在上为减函数；
时，在上为减函数，在上为增函数.
（3）
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义求函数在点处的切线.
（2）求导，分，讨论导函数的单调性.
（3）结合（2）的结论，确定函数的极小值，在根据极小值的取值范围求的取值范围.
【小问1详解】
当时，，，
所以，.
所以在处的切线方程为：，即.
【小问2详解】
因为，.
所以.
若，则在上恒成立，所以在上为减函数；
若，由，由.
所以在上为减函数，在上为增函数.
综上，时，在上为减函数；
时，在上为减函数，在上为增函数.
【小问3详解】
由（2）知：，即，此时函数在处取得极小值.
由，
由，
结合，得.
故的取值范围为.
18. 已知函数为定义在上的偶函数，且满足，．
（1）求的解析式；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】（1）.
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用偶函数的性质运算求解即可；（2）根据函数的单调性化简不等式，再分离参数，利用基本不等式求最值即可；（3）由题意得，根据函数的单调性分别求出的最小值，即可求解.
【小问1详解】
因为是上的偶函数，故对任意，恒成立，
所以，，
令，代入化简得得​，
因此的解析式为.
【小问2详解】
由题意可得，易知在上单调递增，
因此不等式等价于.
令，不等式变为对任意恒成立，分离参数得，
由基本不等式得，
当且仅当取最小值，因此，即.
【小问3详解】
对任意，存在，满足，等价于在上的最小值在上的最小值.
因为单调递增，故，因此存在，使得，
即，开口向上，对称轴，
若，，得；
若，，恒成立；
若，，结合恒成立.
综上得​，即.
19. 若定义域为的函数满足：对任意的和，都有，且，就称这个函数是“优美函数”.
（1）判断并证明优美函数的奇偶性；
（2）若优美函数的值域为，且当时，，判断并证明优美函数的单调性；
（3）若题（2）中优美函数还满足，且不等式对任意的恒成立，试求实数的取值范围.
【答案】（1）奇函数，证明：的定义域为，关于原点对称，
令，得，解得或，
又不存在，使得，∴，
令，得，
∴，
∴为奇函数.
（2）任取，设，
解法一：，
因为，，又，，
所以，，
所以，即，
所以在上是严格递增函数.
解法二：由（1）函数为奇函数，则
任取，且，则，故且.
所以，；
所以，函数在上严格递增.
（3）.
【解析】
【分析】（1）令，得，令，得证明；
（2）解法一：可得，根据题意结合单调性的定义证明；解法二：根据题意整理可得，结合单调性的定义证明；
（3）由函数单调性，将问题转化为对恒成立，讨论求解.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
【小问3详解】
，
则，
，
又不等式对恒成立，
则对恒成立，
又在上严格递增，
∴对恒成立，即对恒成立，
当时，对恒成立，
当时，对恒成立，则，解得，
综上，.9
9.5
10
10.5
11
120
100
70
60
50
了解
不了解
合计
男生
女生
合计
了解
不了解
合计
男生
女生
合计
了解
不了解
合计
男生
女生
合计