江苏省如皋中学2025−2026学年高二下学期数学综合练习试题（含答案）四

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一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数满足（其中为虚数单位），则（ ）
A．10B．C．5D．
3．已知，是两个不同的平面，直线，直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充要条件
4．已知随机变量且，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻的概率（ ）
A．B．C．D．
7．用模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到经验回归方程为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1．O为底面内一点，且，，则（ ）
A．0B．C．D．
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．数据1，2，3，4，5，6的75%分位数是5
B．数据，，…，的方差是1，则，，…，的标准差是9
C．若事件与相互独立，则
D．若事件与互斥，且，，则
10．如图，圆锥的轴截面为正三角形，底面圆的半径为，CD，EF为圆的两条直径，且，母线PC，PD与该圆锥的内切球O分别切于A，B两点，则（ ）
A．圆锥的体积为B．球O与圆锥的公共点的轨迹的周长为
C．异面直线BF与PA所成角为D．平面AEF截球O的截面面积为
11．对于函数，下列说法正确的有（）
A．在处取得极大值
B．只有一个零点
C．
D．若在上恒成立，则
三、填空题
12．已知是实系数一元二次方程的一个根，则的值为___________．
13．若函数的两个极值点都为正数，则实数的取值范围是__________．
14．盒子中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个白球，2个黄球，2个红球．现从盒中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量，则第二次取出的是黄球的条件下第三次取出的是红球的概率为__________，的数学期望为__________．
四、解答题
15．台灯是夜晚学习的好搭档，台灯照射的光通常为两类：白光和黄光.白光的亮度通常高于黄光，而黄光能够有效地保护视力.某校对学生的近视情况与夜晚台灯光照的颜色进行问卷调查，得到下表：
（1）根据小概率值的独立性检验，分析学生的近视情况是否与夜晚台灯光照的颜色有关；
（2）用频率估计概率，从使用发出白光的台灯的学生中抽取3名，求他们中近视人数为2的概率.
附：，
16．如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面，
（1）求证：；
（2）求证：平面；
17．已知函数.
（1）讨论的单调区间；
（2）若，求在区间上的最小值和最大值.
18．如图，在直三棱柱中，．
（1）证明：；
（2）已知的中点是D，，，．
（ⅰ）求点到平面的距离；
（ⅱ）点P是矩形（包含边界）内任一点，且，求与平面所成角的正弦值的取值范围．
19．甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，每局比赛无平局，且各局比赛结果相互独立.已知单局比赛中，甲获胜的概率为.
（1）双方进行比赛，先赢得局比赛的一方获胜.
（ⅰ）若，求乙获胜的概率；
（ⅱ）求在甲获胜的条件下，乙至少获胜一局的概率（用表示）.
（2）设双方进行满局比赛（不提前结束），甲赢得至少局的概率；双方进行比赛，采用至少赢局且至少多赢局的规则（例如甲至少赢局，且净胜乙至少局时，甲获胜），甲获胜的概率.比较与的大小.
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为集合，，所以，
所以.
2．【答案】D
【详解】由(2−i)⋅z=5i，得z=5i2−i=5i(2+i)(2−i)(2+i)=−5+10i5=−1+2i.
因此z=−1−2i，所以|z|=(−1)2+(−2)2=5.
3．【答案】C
【详解】已知直线l⊂α，直线m⊂β，且l⟂m，此时平面α,β可能平行、相交或垂直，不一定有α⟂β，充分性不成立；
已知直线l⊂α，直线m⊂β，且α⟂β，两平面垂直只能说明二面角为直角，平面内的任意两条直线不一定垂直，必要性不成立.
故“l⟂m”是“α⟂β”的既不充分也不必要条件.
4．【答案】C
【详解】随机变量ξ∼N(2,σ2)，其正态曲线关于x=2对称，则P(ξ>2)=0.5.
因为P(1