辽宁省葫芦岛市2025-2026学年高二上学期1月期末考试 数学（含答案）

这是一份辽宁省葫芦岛市2025-2026学年高二上学期1月期末考试 数学（含答案），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知直线，则的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量.若，则（ ）
A．5B．4C．3D．2
3．双曲线上一点到其一个焦点的距离等于8，求点P到其另一个焦点的距离（ ）
A．32B．16C．8D．4
4．某学校安排4名教师分别到3个村庄支教，若每个村庄至少安排1名教师，则不同分配方案共有（ ）
A．12B．24C．36D．48
5．如图，已知三棱锥，为中点，为中点，则（ ）
A．B．
C．D．
6．甲、乙两名同学为了参加“一二·九运动”相关体育比赛，赛前两人进行跳绳、踢毽球和长跑的专项对抗练习.在这三个项目中，甲获胜的概率分别为，且各项目的对抗练习结果相互独立.则甲恰好在两个项目中战胜乙的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．两位游客准备分别从葫芦古镇、兴城古城、龙潭大峡谷、九门口水上长城、龙湾海滨风景区5个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择葫芦古镇”，事件“两位游客选择的景点不同”，则（ ）
A．B．C．D．
8．在平面直角坐标系中，已知是以点为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点（异于点）重合，两次的折痕方程分别为和，若点在圆 上，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．一个盒子里装有大小相同的4个黑球、2个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知抛物线的焦点，过的直线交抛物线于，为抛物线上一个动点，则（ ）
A．
B．的最小值为8
C．若，则的最小值为5
D．直线和斜率之积为定值
11．空间直角坐标系中，点，定义.如图，正方体的棱长为3，为棱的中点，点是平面内两个动点，，，则以下结论正确的是（ ）
A．点的轨迹是正方形
B．点的轨迹是圆
C．点的轨迹是直线
D．的取值范围
三、填空题
12．抛一枚均匀硬币，连续抛三次，记正面朝上的次数为，则 .
13．某产品的质量指标服从正态分布.质量指标介于593至599之间的产品为合格品，为使这种产品的合格率达到，则需调整生产技术，使得至多为 .（参考数据：若，则）
14．已知椭圆的左顶点为，点为线段（不含端点）上一点，过且斜率为1的直线交于两点，在第三象限，设为线段的中点且时，椭圆的离心率为 .
四、解答题
15．在的展开式中，求：
(1)常数项；
(2)二项式系数最大的项；
(3)展开式中所有项的系数和.
16．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的若干种价格进行试销，统计了连续5个月的月销售量（单位：千件）与售价（单位：元/件）的情况如下表所示．
(1)求相关系数，并说明是否可以用线性回归模型拟合与的关系（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.01）；
(2)建立关于的线性回归方程，并估计当售价为53元/件时，该商品的月销售量为多少千件？
参考公式：①
②
③
参考数据：
17．已知椭圆的左焦点为，过交椭圆于两点，的最大值与的最小值都等于3.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若，求直线的方程.
18．如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形.边上存在一点，使平面，.

(1)在线段上是否存在一点，使得直线平面？若存在，写出证明过程；若不存在，说明理由.
(2)若平面平面.
①求证：；
②求平面与平面所成角的余弦值.
19．甲、乙两位候选人参与选举投票，每张选票仅填写一位候选人（无弃票权）．选票支持甲，则甲得1分，若支持乙，则乙得1分．设每张选票支持甲的概率为，支持乙的概率为，满足，且各张选票的投票结果相互独立．对正整数，记为“统计完张选票后，甲的得票数比乙的得票数至少多1票的概率”，为“统计完张选票后，乙的得票数比甲的得票数至少多1票的概率”．
(1)求（用表示）；
(2)证明：为定值；
(3)证明：对任意正整数，．
售价（元/件）
48
49
50
51
52
月销售量（千件）
10
9
9
7
5
1．B
由直线方程可得直线的斜率，再由斜率可得直线的倾斜角.
【详解】因为直线的方程为，所以直线的斜率，
由正切函数的性质得.
故选：B.
2．D
由垂直关系得向量的数量积为0，根据数量积的坐标运算可得结论．
【详解】由，，
得，解得.
故选：D
3．B
先利用双曲线方程求，设 ，运用双曲线的定义，求得，得到结果.
【详解】由双曲线，得到 ， ， ；
由双曲线的定义，即，
所以或（舍去）.
故选：B.
4．C
先将教师分组再进行分配，结合排列组合的知识解决.
【详解】从3个村庄中选出1个村庄，有种选法；
再从4名教师中选出2名教师到该村庄，有种选法；
将剩下的2名教师安排到剩下的2个村庄，有种方法，
故其分配方案共有种.
故选：C
5．D
利用向量的加法和减法运算化简即可.
【详解】因为为中点，所以，
因为为中点，所以，
则.
故选：D
6．A
记三个项目中，甲获胜分别是事件，综合对立事件、互斥事件、独立事件的概率公式求解即可.
【详解】记三个项目中，甲获胜分别是事件，
则，
所以.
由题意知事件“甲恰好在两个项目中战胜乙”，
因为两两互斥，
所以.
又各项目的对抗练习结果相互独立，即相互独立，
所以，，
，
所以.
故选：A.
7．C
分别求出和，再利用条件概率的计算公式计算即可.
【详解】两位游客从5个景点中任选，每人有5种选择，总事件数：种.
事件的对立事件为“两位游客都不选择葫芦古镇”，的事件数：种,
因此.
事件分为两种情况：甲选葫芦古镇，乙选其余4个景点，4种；
乙选葫芦古镇，甲选其余4个景点，4种；共种事件，
因此.
所以.
故选：C.
8．A
先联立两条直线的方程求出圆心坐标，然后根据两点距离公式求出圆的半径，进而得到圆的方程，然后利用参数方程将表示为，然后代入所求表达式化简，从而求出范围.
【详解】由题意得，两条直线和的交点为，
所以联立两条直线方程为，解得.
因为是以点为圆心的圆上的一点，所以圆的半径为.
所以圆的方程为.
由于点在圆 上，所以用参数方程表示为，
代入表达式得.
因为，所以.
故选：A.
9．AC
根据超几何分布和期望、方差公式计算即可.
【详解】对于A：任取2个中有0个白球的概率是，A正确；
对于B：由题意知，所以，B错误；
对于C：由题意知，.
所以，C正确；
对于D：，因为，
所以，所以.
所以，D错误.
故选：AC.
10．BCD
对于A可由焦点坐标可得，对于B可由弦长公式可得最小值，对于C由抛物线的定义将转化为Q点到准线的距离，再结合图形特征可得.对D直接用根据系数关系计算可得.
【详解】由抛物线的焦点，得，即，故A错误；
抛物线方程为.如图：

设，由题意可知直线的斜率不等于0，
设直线的方程为，过Q作准线的垂线，垂足为M.
联立，消去x，，，
所以，
所以
，
当时等号成立，故B正确；
再由抛物线的定义，所以，
当三点共线时等号成立，故C正确；
又，所以D正确.
故选：BCD.
11．AB
建系，求出的轨迹方程，可判断ABC；利用点到圆距离最值可判断D.
【详解】以 为原点，、、 分别为 、、 轴正方向，建立空间直角坐标系，
则各点坐标为：，，，，，
由 为 中点，故 ，
点 在平面 内，设 ，，
由 得：
在平面 上，方程 表示一个中心在 、
顶点为 、、、 的边长为 的正方形，选项 A 正确；
，
，
由 得 ，
，
两边平方：，
化简得：，
整理得：
在平面 上，这是圆心为 、半径为 的圆，选项 B 正确，选项 C 错误；
表示点 （在正方形边界上）与点 （在圆上）之间的欧几里得距离，
最小距离：圆心 到正方形边界的最短距离为 （在线段 到 上取得），
圆的半径为 ，故两图形不相交，最小距离为
最大距离：圆心到正方形边界的最远距离为 （在点 处取得），
故最大距离为而选项 D 给出的上界为 ，因此，选项 D 错误.
故选：AB
12．/0.375
可知，利用二项分布的概率公式求解.
【详解】由题意可知，，则.
故答案为：
13．1
根据题意以及正态曲线的特征可知，，然后列不等式组可解．
【详解】依题意可知，，又，
所以，要使合格率达到99.74%，则，
所以，解得：，故至多为1．
故答案为：1．
14．
设点，，直线方程为，联立方程利用韦达定理得；求出，由 化简得到，所以离心率.
【详解】设过点P且斜率为 1 的直线方程为，
联立方程，得到；
由中点坐标公式得中点的坐标如下；
则，
；
因为，所以，即；
即，即；
离心率；
故答案为：.

15．(1)7
(2)第五项
(3)
（1）根据二项式的性质写出通项公式，即可求出常数项.
（2）二项式系数最大的项即中间项，利用通项法求解.
（3）利用赋值法即可.
【详解】（1）展开式中第项，
因为是常数项，即，
所以，解得，
代入得常数项.
（2）因为，展开式有9项，
所以最大是，
即第5项为二项式系数最大.
（3）令，代入原式，得到的就是“所有项的系数和”，
即 ，
即展开式中所有项的系数和为.
16．(1)，与有很强的线性相关性，可以用线性回归模型拟合
(2)，4.4千件
（1）由表中数据易计算得到，再利用相关系数公式计算得到相关系数，然后通过题目中给的条件来判定相关性的强弱，来决定是否用线性回归模型拟合.
（2）直接使用斜率和截距的最小二乘估计公式来进行计算求出线性回归方程，当时，代入线性回归方程，计算得出月销售量的估计值.
【详解】（1）由已知得，，
则样本相关系数为，
因为，所以与有很强的线性相关性，可以用线性回归模型拟合.
（2）由题意得，所以，
所以关于的经验回归方程：，
当时，，
故估计当售价为53元/件时，该商品的月销售量为4.4千件.
17．(1)
(2)或
分别求出的最大值与的最小值，再结合椭圆的性质即可求出；
设直线的方程为，和椭圆方程进行联立，结合求出的值即可求出直线方程.
【详解】（1）已知的最大值与的最小值都等于3，
则有，解得
所以椭圆的标准方程为.
（2）

由（1）知椭圆的标准方程为，则，
当直线的方程为或时，均不成立；
所以设直线的方程为（存在且），，
，整理得
由韦达定理，，
因为，且在之间，所以，
即，所以，即，
将代入，
得，即，
将代入，
得，即，
所以
整理得，即，
解得
所以直线的方程为或.
18．(1)存在，当点是的中点时，直线平面，证明见解析
(2)①证明见解析；②
（1）根据线面平行的判定定理判定即可.
（2）①根据面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理、线面垂直的性质证明即可.
②根据面面角的向量求法求解即可.
【详解】（1）存在，当点是的中点时，直线平面.
理由如下：
因为平面，平面，所以.
因为是正三角形，所以是的中点.

当点是的中点时，是的中位线，
所以，又平面，又平面，
所以平面.
（2）①过作于，

因为平面平面，平面平面，
所以平面，又平面，所以.
又平面，平面，所以.
因为平面，平面，，
所以面，又面，
所以.
②以为坐标原点，以，所在的直线为，轴，以过作的平行线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，
则，，
设平面的法向量，
则，即，令，则，
设平面的法向量，
则，即，令，则
设平面与平面所成角为，
.
所以平面与平面所成角的余弦值.
19．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）由题知为“统计完1张选票后，甲的得票数比乙的得票数至少多1票的概率”，即第1张选票支持甲的概率，所以.
为“统计完3张选票后，甲的得票数比乙的得票数至少多1票的概率”，即前3张选票中有3甲或2甲1乙的概率，因为，所以，
所以.
（2）方法一：由题意知为“统计完5张选票后，甲的得票数比乙的得票数至少多1票的概率”，即前5张选票中有5甲、4甲1乙或3甲2乙的概率，
所以，
所以.
同理，
，
所以.
所以，为定值.
方法二：因为，
结合（1）中，
得.
又，
，
所以，
所以，即，为定值.
方法三：由题意知
，
同理，
所以，为定值.
（3）当时，由（1）得，
因为，所以，
所以.
当时，在前次投票的基础上，再进行两次投票，甲比乙至少多得1票可以分为以下三种情况：
若前次投票中甲得了票，再进行两次投票甲得两票，则甲比乙多得1票，其概率为；
若前次投票中甲得了票，再进行两次投票甲得两票或一票，则甲比乙至少多得1票，其概率为；
若前次投票中甲得了至少票，再进行两次投票无论结果如何，则甲比乙至少多得1票，其概率为.
可以求得：
，
移项并整理得
，
因为，所以，
进而.
综上，对任意正整数，.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
C
D
A
C
A
AC
BCD
题号
11









答案
AB