江苏省如皋中学2025−2026学年高二下学期数学综合练习试题（含答案）（三）

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一、单选题
1．命题，的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．已知集合，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数的导函数为，且，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．如图，三棱柱ABC－中，点E，F，G，H分别为的中点，则下列说法错误的是（ ）
A．E，F，G，H四点共面B．与FH是异面直线
C．D．EG，FH，三线共点
5．正四棱台的上、下底面的边长分别为，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A．B．C．D．
6．甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ）
A．8种B．12种C．16种D．420
7．“函数在区间内存在最小值”的充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
8．已知，，，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列结论正确的是（）
A．若复数满足，则
B．复数在复平面内对应的点在第二象限
C．若复数是纯虚数，则实数或
D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为
10．下列说法中正确的是（）
A．若随机变量满足，则
B．经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点
C．在回归分析中，决定系数的值越接近，模型的拟合效果越好
D．若事件满足，则
11．已知函数，若的解集为或，则（ ）
A．
B．在上单调递增
C．的图象的对称中心的纵坐标为
D．不等式的解为
三、填空题
12．的展开式中的系数为______.（用数字作答）
13．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是______.
14．已知一个质子在随机外力作用下，从原点出发在数轴上运动，每隔一秒等可能地向数轴正方向或负方向移动一个单位.若移动次，则当时，质子位于原点的概率为________，当____时，质子位于6对应点处的概率最大.
四、解答题
15．已知函数，当时取得极小值0．
（1）求的值；
（2）求在的最大值和最小值．
16．咸阳文旅部门统计了某景点在2025年2月至6月的旅游收入（单位：万元），得到以下数据：
（1）根据表中所给数据，用相关系数判断，是否可用线性回归模型拟合与的关系？（当时，认为线性相关性较强），若可以，求出关于之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由；
（2）为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了100名游客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，依据的独立性检验，能否认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”．
参考公式：相关系数，参考数据：．
线性回归方程：，其中
，其中．
临界值表：
17．如图，在四棱台中，垂直于底面，上、下底面均为正方形，，，分别为的中点.
（1）证明：平面.
（2）求二面角的余弦值.
18．某市为了丰富市民的娱乐文化生活，举办了“2026年元宵观灯和猜谜语文化节”.文化节期间，甲、乙两位好友进行猜谜语比赛游戏，游戏规则如下：每人有3次猜谜语的机会，若猜中即结束猜谜语，若猜不中则猜下一个谜语.记第次猜中得（）分（），若三次均未猜中则得分为0分.已知甲每次猜中的概率为，乙每次猜中的概率为，每次猜中与否互不影响，记甲猜谜语的次数的均值为.
（1）求乙猜2次的概率；
（2）记乙猜谜语的次数的均值为，若，求的取值范围；
（3）已知，且甲最终的得分为，若，则认定甲是猜谜语高手.请问是否有理由认定甲是猜谜语高手？
19．已知函数，，．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个极值点，，且存在a，使得不等式成立，求m的取值范围；
（3）若关于x的方程恰有两个实根r，s，求证：．
参考答案
1．【答案】D
【详解】命题，的否定是，.
故选D.
2．【答案】D
【详解】集合A={x|−1−12a−1≥a，解得a≥1.
综上所述，a的取值范围是(−∞,−1]∪[1,+∞).
3．【答案】B
【详解】已知f(x)=f'(1)x3−2x，求导得f'(x)=3f'(1)x2−2.
令x=1，则f'(1)=3f'(1)−2，解得f'(1)=1.
4．【答案】C
【详解】
对于A，在三棱柱中，分别为的中点，
连接，由是的中位线，得，由，且，得四边形是平行四边形，则，，因此四点共面，A正确；
对于B，因为平面，平面，，所以与是异面直线，B正确；
对于C，由，且可知，四边形是梯形，若，则梯形是等腰梯形，而题设条件无法得出，C错误；
对于D，延长，相交于点，由，平面，得平面，由，平面，得平面，而平面平面，则，三线共点，D正确.
5．【答案】C
【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，
如图，因为该四棱台上下底面边长分别为，侧棱长为2，
则上下底面对角线的长度为2和4，
所以该棱台的高，下底面面积，上底面面积，
所以该棱台的体积.
6．【答案】C
【详解】由“乙和丙之间恰有2人”，分两类讨论：
① 乙、丙占据第1、4位（中间隔2、3位）：
此时剩余端点为第5位，因甲不在两端，甲只能在第2或3位中选（A21=2种）；
乙、丙排列有A22=2种；
剩余2人在剩下2个位置全排列有A22=2种.
该类共有2×2×2=8种.
② 乙、丙占据第2、5位（中间隔3、4位）：
此时剩余端点为第1位，因甲不在两端，甲只能在第3或4位中选（A21=2种）；
同理，乙、丙排列及剩余2人排列各2种.
该类共有2×2×2=8种.
综上，总排法数为8+8=16种.
7．【答案】B
【详解】由f(x)=13x3+x2，求导得f'(x)=x2+2x=x(x+2).
令f'(x)=0，解得x=−2或x=0.
易知f(x)在(−∞,−2)和(0,+∞)上单调递增，在(−2,0)上单调递减.
所以f(x)的极小值为f(0)=0.
又因为f(−3)=13(−3)3+(−3)2=−9+9=0，即f(−3)=f(0)=0.
要使函数f(x)在区间(a−4,a)内存在最小值，需满足两个条件：
1极小值点x=0必须在区间内，即a−40在(1,3)上有解，
即2a>4x−1x2在(1,3)上有解.
令g(x)=4x−1x2，则g'(x)=2(1−2x)x3.
当x∈(1,3)时，g'(x)g(3)=43−19=119.
所以2a>119，解得a>1118.
14．【答案】/或
【详解】设第次移动时向左移动的概率为，
事件时质子位于原点等价于事件前次移动中有且只有次向左移动，
所以事件时质子位于原点的概率为，
事件第次移动后质子位于对应点处等价于事件质子在次移动中向右移了次，
所以第次移动后质子位于对应点处的概率，
设，
则，
令可得，
化简可得，
所以，，所以，
令可得，，所以，
又，
所以或，即或时，质子位于对应点处的概率最大.
15．【答案】（1）
（2）最大值为2，最小值为0
【详解】（1），
由取得极小值0，可知，即，
由时取得极小值，可知，即，
所以；
（2）由（1）得，
令，得，或，
所以当时，有极大值；
所以当时，有极小值0；
又因为，
所以的最大值为2，最小值为0.
16．【答案】（1）可用，线性回归方程为；
（2）
能认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”.
【详解】（1）由表格中数据，得，
，
，
因此相关系数，
所以与的线性相关性较强，可用线性回归模型拟合与的关系；
，
所以关于之间的线性回归方程为.
（2）依题意，列联表为：
零假设：认为“游客是否喜欢该景点与性别无关联”，
由表格中数据经计算，
依据小概率的独立性检验，推断不成立，
即能认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”，此推断犯错误的概率不大于0.001.
17．【答案】（1）
在四棱台中，垂直于底面，连接，则，
，由是的中点，得，
而，则四边形是平行四边形，，
又，，因此，
同理，而平面，
所以平面.
（2）.
【详解】（1）略
（2）依题意，直线两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，则，取，得，
设平面的法向量为，则，取，得，
显然二面角的平面角为锐角，设其大小为，
则，
所以二面角的余弦值为.
18．【答案】（1）
（2）
（3）有理由认定甲是猜谜语高手
【详解】（1）记“乙猜2次”为事件，则，
所以乙猜2次的概率为；
（2）甲猜谜语的次数的可能值为1，2，3
，，
所以，
乙猜谜语的次数的可能值为1，2，3因为乙每次猜中的概率为，
所以，，，
，
因为，所以，解得或，
因为，所以；
（3）因为，则由（2）知，
解得或，因为，所以，
甲最终的得分为，则的可能值为0，1，2，3，
，，
，，
所以，
所以，所以有理由认定甲是猜谜语高手.
19．【答案】（1）当时，在区间内单调递增；当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间内单调递增．
（2）
（3）证明见解析
【详解】（1）由，得，
记，对称轴为，
若，即时，在区间内单调递增，所以，
所以，在区间内单调递增．
若，即时，当，即时，恒成立，
所以，在区间内单调递增；
当，即时，有两个不等的正实根，，
令，得或，令，得，
所以在区间，内单调递增，在区间内单调递减．
综上，当时，在区间内单调递增；
当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，
在区间内单调递增．
（2）由（1）得，因为有两个极值点，，
所以方程有两个不相等的正实数根，，
则，解得，
所以
，
设，
则，
所以在区间内单调递减，
所以．
因为存在a，使得不等式成立，
所以对有解，
所以，故m的取值范围为．
（3）证明：，不妨设，
因为，
所以，，
所以，．
下面先证明，
即证，
即证，
即证．
设，则上式转化为，
设，则，
所以在区间内单调递增，
所以当时，，
所以，所以，
因为，所以，
得，当且仅当时取得等号，
又，所以，
所以．月份
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3
4
5
6
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