专题05 常见函数与函数中的新定义问题10种常见考法归类讲义 2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）

这是一份专题05 常见函数与函数中的新定义问题10种常见考法归类讲义 2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版），共16页。

考法深研·解题技能通关
题型01 绝对值（折线）函数
1．【多选】（2026·江西九江·模拟预测）已知不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（ ）
A．B．1C．3D．5
2．（2026·天津河西·模拟预测）若a，，若对任意实数x，都有恒成立，则的最大值为_______.
3．（2026·山西忻州·模拟预测）若函数的最小值为4，则实数的所有取值之和为__________.
4．（2026·上海·模拟预测）若不等式对于任意实数x恒成立，则a的取值范围为______．
5．（2026·天津·模拟预测）设，函数，若恰有两个不同零点，则的取值范围为__________．
6．（2026高三·天津·期末）已知函数，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为______．
7．（2026高一·四川广安·阶段检测）设二次函数，若存在实数a，对任意，使得不等式成立，则实数b的取值范围是______．
8．（2026·天津·模拟预测）设，函数.若恰有两个零点，则的取值范围为__________.
题型02 对勾函数
9．（2026高三·浙江·期中）下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2026高三·天津滨海新区·阶段检测）对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．【多选】（2026高三·贵州毕节·期中）下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为1B．的最小值为2
C．的最小值为4D．的最小值为4
12．【多选】（2026高三·河南焦作·阶段检测）形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在区间上的最大值比最小值大，则实数a的值可以是（ ）
A．2B．14C．D．
题型03 飘带函数
13．（2026高三·安徽·期中）形如的函数一般称为飘带函数．若飘带函数的图象经过两点和．则以下四个判断中①是定义域上的偶函数；②在内单调递减；③有最小值；④，正确的有（ ）
A．①②④B．②③④C．①③④D．②④
14．（2026高三·安徽·期中）一般地，我们把形如的函数称为飘带函数，若飘带函数在上的最小值、最大值分别为和1.
(1)确定a，b的值；
(2)求的零点.
15．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是一对优美的双曲线.在数列中，，记数列的前项积为，数列的前项和为，则当时，的取值范围为______.
题型04 高斯函数
16．（2026高三·重庆·阶段检测）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，已知方程，则方程的解集为（ ）
A．B．C．D．
17．（2026·河南开封·模拟预测）高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
18．（2026高三·四川眉山·期末）高斯（1777-1855）被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉.函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，例如，.下列命题不正确的是（ ）
A．不等式的解集为
B．不等式的解集为
C．若，恒成立，则实数a的取值范围为
D．若不等式的解集为，则
19．（学易金卷：高三数学上学期第三次月考（北京专用）（范围：人教B版必修第一册全部 必修第二册第四章和第五章））对于任意的表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，令下列说法正确的有_________
①
②当时，
③
④不等式的解集为
20．【多选】（2026高三·贵州遵义·期末）对于任意的，表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是（ ）
A．函数，的图象关于原点对称
B．函数，的值域为
C．对于任意的，不等式恒成立
D．不等式的解集为
21．【多选】（2026高三·江苏南京·阶段检测）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为“高斯函数”，如：，，，又称为“取整函数”.设，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的图像关于轴对称
C．的解集为
D．若，则的值域为
22．【多选】（2026高三·山东淄博·期中）函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数的最大整数，例如：，则下列命题正确的是（ ）
A．函数为奇函数
B．函数的值域为
C．若，则 的最小值为
D．不等式的解集为
23．【多选】（2026高三·江苏·阶段检测）十八世纪，被称为“数学王子”的高斯提出了函数，其意义是对于任意的，表示不超过x的最大整数，如，，，人们更习惯称之为“取整函数”.现在令，下列说法正确的是（ ）
A．B．当时，
C．D．不等式的解集为
题型05 狄利克雷函数
24．（2026高三·广东深圳·期中）历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet），狄利克雷在1829年给出了著名函数：（其中为有理数集，为无理数集）.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：（其中，且），以下对说法错误的是（ ）
A．定义域为B．当时，的值域为
C．为偶函数D．在实数集上不具有单调性
25．（2026高三·北京丰台·期中）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一.函数，称为狄利克雷函数，则关于，给出下列四个结论：
①的值域为；
②；
③；
④任意一个非零有理数，对任意恒成立.
其中所有正确结论的序号是_______.
26．（2026高三·上海·期末）德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，该函数被称为狄利克雷函数．那么是否存在三个点、、，使得为等边三角形，若不存在请在横线上填写“不存在”，如果存在则在横线上填写该正三角形的面积__________．
27．【多选】（2026高三·贵州遵义·阶段检测）狄利克雷（Dirichlet），德国数学家，是解析数论的创始人，对函数论、位势论和三角级数论都有重要贡献，创立了现代函数的正式定义．狄利克雷提出了一个非常古怪的函数，叫做狄利克雷函数，专门用符号来表示，该函数的解析式为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．是偶函数D．对任意
28．【多选】（2026高三·江苏泰州·阶段检测）德国数学家狄利克雷（P．G．L．Dirichlet，1805-1859）在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，而不需管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示．例如，，下列说法正确的是（ ）
A．B．为偶函数
C．的值域为D．是函数的一条对称轴
29．【多选】（2026高三·黑龙江佳木斯·期中）德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet）定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（ ）
A．存在，有
B．函数的图像关于直线对称
C．函数是周期函数，无最小正周期
D．存在三个点，，，使为等腰直角三角形
30．【多选】（2026高三·山东德州·阶段检测）德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（ ）
A．存在，有
B．对任意，都存在，
C．若，，则有
D．存在三个点，，，使为等腰直角三角形
题型06 最值函数
31．（2026高三·广东广州·期末）设函数，其中表示，，中的最小者．若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
32．（2026高三·湖北孝感·专题练习）已知函数，，设函数，表示，中的较小值，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
33．（2026高三·湖南衡阳·期末），用表示，中的最小者，记为.记的最大值为，表示不超过的最大整数，如：，，若，，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
34．（2026高三·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数满足，其中表示中最大的数，表示中最小的数，则___________
35．（2026高三·浙江宁波·强基计划）若表示a，b中的较大值，则函数的最小值为______．
36．（2026高三·全国·阶段检测）定义，已知函数，，则（ ）
A．若，则方程有且仅有一个实数解
B．若方程有两个不同的实数解，则
C．若函数的最小值为3，则
D．若，令，则的值域为
37．【多选】（2026高三·四川宜宾·期中）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可能为（ ）
A．B．C．D．
38．（2026高三·上海·期末）定义函数，其中，符号表示，中的较大者.现有以下命题：
①为偶函数；
②若不等式对一切都成立，则实数的最大值为1；
③当时，的最小值为9；
④“”是“”成立的充要条件.
正确命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
39．【多选】（2026高三·全国·一轮复习）对任意两个实数a，b，定义,若，，，则 （ ）
A．是偶函数
B．方程有三个不同的解
C．在区间上单调递增
D．有4个单调区间
40．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数，，.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，令（其中表示，中的较小值），若存在，，使得恒成立.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，，证明：.
题型07 符号函数
41．（2026·新疆乌鲁木齐·模拟预测）定义符号函数，则方程的解是（ ）
A．2或B．3或C．2或3D．2或3或
42．（2026高三·陕西西安·阶段检测）已知符号函数，偶函数满足，当时，，则（ ）
A．B．
C．D．
43．【多选】（2026高三·安徽六安·期中）已知符号函数，下列说法中正确的是（ ）
A．是奇函数
B．对任意的实数
C．函数的值域为
D．直线和函数的图象至多有2个公共点
44．（2026·北京·模拟预测）数学上的符号函数可以返回一个整型变量，用来指出参数的正负号，一般用来表示，其解析式为.已知函数，给出下列结论：
①函数的最小正周期为；
②函数的单调递增区间为；
③函数的对称中心为；
④在上函数的零点个数为4.
其中正确结论的序号是____________.（写出所有正确结论的序号）
45．【多选】（2026·陕西榆林·模拟预测）若，使得，且当时，，则称为正移函数．定义符号函数，设，则（ ）
A．是正移函数
B．当时，方程有且仅有一解
C．是正移函数
D．函数的最小值为
题型08 黎曼函数
46．（2026高三·广东东莞·期中）黎曼函数（Riemann functin）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出，其基本定义是：（注：分子与分母是互质数的分数，称为既约分数），若是奇函数，且，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
47．（2026高三·上海嘉定·阶段检测）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式如下:若函数是定义在上的奇函数，且对任意都有;当时，有；则_____.
48．（2026高三·上海·阶段检测）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德•黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式为，若函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，当时，，则__________.
49．【多选】（2026高三·山东日照·期末）伯恩哈德•黎曼是德国著名数学家，他在数学分析和微分几何领域贡献卓著，开创的黎曼几何为广义相对论奠定了数学基础.他提出的黎曼函数是分析学中的经典函数，其定义域为，解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是（ ）
A．
B．关于的不等式的解集为
C．
D．若，是内的有理数，则有
50．（2026高三·江苏盐城·阶段检测）黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用，黎曼函数定义在上，.
(1)求，，；
(2)请用描述法写出满足方程的解集；
(3)解不等式.
题型09 倍值函数
51．（2026高三·黑龙江·期末）对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：①在是单调的；②当定义域是时，的值域是，则称是该函数的“倍值区间”.若函数存在“倍值区间”，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
52．（2026·北京通州·模拟预测）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足：在上是单调函数且在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”.现有如下四个函数：①，②，③，④.那么上述四个函数中存在“倍值区间”的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
53．（2026高三·上海杨浦·期末）对于函数，常数，若自变量在区间上变化时，函数值的取值范围恰为，则称区间是函数的倍值区间，区间长度为.已知定义域为的函数的表达式为，给出下列结论：
① 函数恰有2个1倍值区间；
② 函数的所有倍区间长度之和为.
下列说法正确的是（ ）
A．结论①成立，结论②不成立B．结论①不成立，结论②成立
C．两个结论都成立D．两个结论都不成立
54．（2026高三·江西吉安·期中）已知函数的定义域为D，若存在区间，使得当时，函数的值域恰为（），则称为的一个“k倍值区间”.
(1)若函数的一个“1倍值区间”为，且，请写出一个满足题意的的解析式；
(2)若为函数的一个“4倍值区间”，求实数a的取值集合；
(3)判断函数是否存在“k倍值区间”，若存在，请求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.
55．（2026高三·云南·阶段检测）对于定义域的函数，若存在区间，使得当时，函数的值域恰为，则称函数是上的 “倍值函数”，区间叫做“倍值区间”.
(1)已知函数是上的“倍值函数”，求的值；
(2)若函数是“倍值函数”且在“倍值区间”单调，求的取值范围；
(3)设函数是“倍值函数”，且存在唯一的“倍值区间”，求的值.
题型10 函数中的新定义问题
56．（2026高三·河北承德·期末）定义：若存在实数，使得函数和满足且同时成立，则称和互为“亲密函数”，称为它们的“亲密点”．已知，，若存在实数使得和有且仅有一个亲密点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
57．（2026高三·天津河北·期末）已知函数的图象与的图象的所有交点的横坐标之积不大于1（若的图象与的图象只有一个交点，则这个交点的横坐标不大于1），则称与是一组“小积函数”.下列四组函数中，是一组“小积函数”的序号是_________.
①与
②与
③与
④与
58．（山西运城市2025-2026学年高三学期期末考试数学试题）定义：函数为向量的“跟随函数”，向量为函数的“原向量”．
(1)设函数，的“原向量”分别为，，若，的夹角为锐角，求实数的取值范围．
(2)已知的内角，，的对边分别为，，，其中，向量的“跟随函数”为，且．
（i）若平分，并与交于点，且，求的长；
（ii）若外接圆半径是，内切圆半径是，求的取值范围．
59．（2026高三·上海·期末）若定义在上的函数和分别存在导函数和，且对任意x均有，则称函数是函数的“导控函数”．我们将满足方程的称为“导控点”．
(1)试问函数是否为函数的“导控函数”？
(2)若函数是函数的“导控函数”，且函数是函数的“导控函数”，求出所有的“导控点”；
(3)已知函数和都是定义在上的偶函数，且是函数的“导控函数”，证明：恒成立（为常数）．
60．（2026高三·湖南衡阳·期末）设函数在非空数集上的取值集合为，即，若，则称为上的“集中函数”．
(1)分别判断，是否为上的“集中函数”，并说明理由；
(2)若存在实数，使得为上的“集中函数”，求实数的取值范围；
(3)若为上的“集中函数”，求证：．
61．（2026高三·四川成都·期末）设函数的定义域为，如果，都有，且满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心．
(1)若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值；
(2)若函数，的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围．
1. 核心处理方法：零点分段法
第一步：令绝对值内部代数式等于0，解出分界零点；
第二步：以零点划分定义域区间，分区间去掉绝对值符号，写成分段函数；
第三步：分段分析单调性、端点、拐点，求解值域、最值、不等式。
2. 三类经典模型与几何意义
①：V型折线，顶点，左减右增；
②：数轴距离和，最小值为两点间距；
③：数轴距离差，存在固定最大值与最小值。
3. 两种解题思路
①代数分段法：适合含参、复杂复合绝对值函数，严谨通用；
②几何距离法：选择填空快速口算最值，简化计算；
4. 高频题型：解绝对值不等式、求含参函数值域、已知最值求参数。
对勾函数
解析式
图像
定义域
渐近线
值域
奇偶性
奇函数
单调性
在上是增函数，在是减函数
在上是增函数，在是减函数
【注】基本不等式，当且仅当时取到最小值，即时，
飘带函数
解析式
图像
定义域
渐近线
值域
奇偶性
奇函数
单调性
在上是增函数
在是减函数
高斯函数
(1)定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数y＝[x]称为高斯函数，又称取整函数.
(2)性质
①定义域：R；值域：Z.
②不具有单调性、奇偶性、周期性.
(3)图象
狄利克雷函数
(1)定义域R；值域{0，1}.
(2)奇偶性：偶函数.
(3)周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期.
(4)无法画出函数的图象，但其图象客观存在.
设min{a，b}＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a≤b，,b，a＞b，))max{a，b}＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a≥b，,b，a＜b.))
直观上来说min{a，b}的作用就是求a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样，max{a，b}用来表示a，b的最大值，称作最大值函数.
标准分段定义：
1. 基础性质：定义域为全体实数，值域；满足恒等式 ；
2. 奇偶性：奇函数，满足；
3. 图像特征：三段水平线段，对应，原点，对应，三段无连续连接；
4. 典型应用：快速去掉绝对值符号、对变量正负分类讨论、函数新定义综合辨析、分段简化复杂表达式。
定义：
1. 定义域，值域；
2. 奇偶性：偶函数；
3. 周期性：任意正整数为周期；
4. 核心考点：函数值取值、零点分布、与狄利克雷函数综合辨析，多为选择判断类新定义小题。
对于函数的定义域为，若存在区间，当时，的值域为，则称函数为倍值函数，区间称为函数的“倍值区间”。特别地，当时，函数称为保值函数。此类问题可转化为对应“不动点”、“稳定点”问题，也可以转化为方程同解问题，考察分类讨论、等价转化、属性结合、函数与方程等重要思想方法，综合能力要求较高，属难题。
（1）常见题型
①利用函数中的新定义及相关知识求参数取值范围；
②利用函数中的新定义及相关知识探究问题是否成立.
（2）解决方案
联系所学函数的相关知识和方法解决问题函数中的新定义型问题
（3）常用方法
①理解函数的新定义；②将新定义问题转化为已知问题；③利用函数的性质.
（4）失误与防范
①注意函数的定义域；②注意对结果的检验；③利用方程思想.