专题03 函数图像与方程问题20种常见考法归类讲义 2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）

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考法深研·解题技能通关
题型01 作图
1．（25-26高三上·云南怒江·期末）已知函数
(1)在所给坐标系中，画出的图象.
(2)求，的值.
2．（25-26高三下·全国·期末）作出下列各函数的图象：
(1)；
(2)；
(3)．
3．（25-26高三下·全国·期末）作出下列各函数的图象：
(1)；
(2)．
4．（25-26高三下·全国·课堂例题）求函数的单调区间、极值，并画出函数的大致图象.
5．（25-26高三下·天津滨海新区·期中）给定函数．
(1)判断函数的单调性，并求出的极值；
(2)画出的大致图象；
(3)求出方程的解的个数．
6．（25-26高三下·山东枣庄·期中）已知函数.
(1)判断函数的单调性，并求出的极值；
(2)在图中画出函数的大致图象.
题型02 函数图象的变换
7．（2026·北京朝阳·模拟预测）为了得到函数的图象，只需要把图象上所有的点（ ）
A．横坐标变为原来的（纵坐标不变）
B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
C．向右平移1个单位（纵坐标不变）
D．向上平移2个单位（横坐标不变）
8．（2026·北京·三模）将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到函数的图象．再将的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合．则可以是（ ）
A．B．
C．D．
9．（25-26高三·全国·一轮复习）函数的图象如图所示，那么函数的图象是（ ）
A．B．
C．D．
10．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有的点（ ）
A．保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移1个单位长度
B．保持y不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移1个单位长度
C．保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向左平移1个单位长度
D．保持y不变，横坐标缩短为原来的一半，再向右平移1个单位长度
11．【多选】（25-26高三·全国·一轮复习）已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数可能是（ ）
A．B．C．D．
12．（25-26高三下·河北邢台·开学考试）已知函数的图象如图所示，则的图象为（ ）
A．B．
C．D．
13．（25-26高三上·北京通州·期末）函数的图象向右平移个单位长度，所得图象与关于轴对称，则（ ）
A．B．C．D．
14．【多选】（25-26高三上·浙江宁波·期末）以下两个函数与，其中可以通过平移得到的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03 根据实际问题作函数的图象
15．（2025高三上·山东枣庄·学业考试）某同学离家去学校，刚开始心情轻松缓慢行进，走了一段路程后，发现时间紧张，加快速度跑步前进.图中轴表示该学生离家的距离，轴表示所用的时间，下列图象与该同学走法相吻合的是（ ）
A．B．
C．D．
16．（22-23高三上·安徽黄山·开学考试）已知边长为1的正方形，为边的中点，动点在正方形边上沿运动，设点经过的路程为，的面积为，则关于的函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
17．（2024·安徽·模拟预测）如图，直线在初始位置与等边的底边重合，之后开始在平面上按逆时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过），它扫过的三角形内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
18．（23-24高三上·安徽·期中）向如图放置的空容器中匀速注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系的是（ ）

A． B．
C． D．
19．（25-26高三下·河北保定·阶段检测）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是________.

题型04 给出函数确定图象
20．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）函数的图象为（ ）
A．B．
C．D．
21．（2026·天津西青·三模）已知函数在区间上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
22．（2026·天津北辰·三模）函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
23．（2024·河北衡水·模拟预测）函数在区间上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
24．（2026·山东枣庄·三模）函数的部分图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
题型05 给出图象确定函数
25．（2026·浙江宁波·三模）某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（ ）
A．B．C．D．
26．（2026·天津河西·三模）已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ）
A．B．C．D．
27．（2026·四川成都·二模）已知函数的图象如图所示，则其解析式可能为（ ）
A．B．C．D．
28．（25-26高三下·天津·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
29．（2026·天津·一模）已知函数的部分图象如下：
则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
题型06 由函数图象确定参数范围
30．（2026·江西宜春·一模）已知关于x的方程有两个不相等的实数解，则正实数m的取值范围是______.
31．（2026·河南焦作·一模）已知函数若方程恰有2个实根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
32．（2026·重庆万州·三模）若直线与函数的图象的公共点构成的集合为，直线与函数的图象的公共点构成的集合为，且只有个元素，则的取值范围是_________________
33．（2026·安徽滁州·三模）已知函数的值域为，则的取值范围是_________．
题型07 利用图象研究函数的性质
34．（2026高三·全国·专题练习）函数的图像如图所示，其中点，，，的坐标分别为，，，，则下列说法不正确的是（ ）

A．的定义域是
B．的值域是
C．
D．只与的一个值对应的值的范围是
35．（25-26高三下·云南昭通·期中）已知函数则图象上关于原点对称的点有（ ）
A．1对B．2对C．3对D．4对
36．（2026·山东德州·模拟预测）已知，，为两两不相等的正数，设函数，则（ ）
A．没有零点B．有唯一零点
C．至多有一个零点D．至少有一个零点
题型08 利用图象解不等式
37．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
38．（25-26高三下·上海浦东新·阶段检测）如图所示为函数的图象，则不等式的解集为________.
39．（25-26高三上·云南曲靖·期末）已知函数的定义域是，其图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
题型09 函数图象的综合应用
40．（24-25高三上·天津和平·阶段检测）已知函数，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积等于（ ）
A．B．C．4D．8
41．（25-26高三·全国·一轮复习）对于实数，，，记为，，中的最大者，例如：，．若非负实数，满足，则的最小值为_____．
42．（23-24高三下·上海浦东新·阶段检测）设定义在上的偶函数满足，它在区间上的图像为如图所示的线段，则方程的最大实数根的值为_________．
题型10 求函数的零点
43．（2026·上海徐汇·二模）函数的零点是__________.
44．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）函数的一个零点为（ ）
A．B．C．D．
45．（25-26高三上·浙江嘉兴·期末）函数在上的零点是（ ）
A．B．C．D．
46．（25-26高三上·安徽淮北·期中）写出函数的所有零点______.
题型11 确定零点所在的区间
47．（2026·甘肃嘉峪关·三模）函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
48．（2026·天津·模拟预测）方程的根所在区间为（ ）
A．B．C．D．
49．（2026·陕西西安·模拟预测）函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
50．（2026·广东深圳·模拟预测）已知，则的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
51．（2026·天津·二模）函数的一个零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
52．（24-25高三上·四川宜宾·期末）函数的零点在下列区间内（ ）
A．B．C．D．
题型12 判断函数零点个数
53．（2026高三·全国·专题练习）已知函数则函数的零点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
54．（2026·河南洛阳·模拟预测）曲线与的交点的个数为（ ）
A．个B．个C．个D．个
55．（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且当时，，则方程的实数根个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
56．（2026·山西晋中·模拟预测）定义域为的函数满足，当时，，则当时，函数的零点个数为（ ）
A．B．C．D．
57．（25-26高三上·安徽淮北·期末）函数是由图像向左平移，横坐标变为原来的变换得到，则与函数的交点个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
题型13 已知函数零点求值
58．（24-25高三上·广东广州·阶段检测）函数的零点为1，2，则不等式的解集为（ ）
A．B．或
C．D．或
59．（2025·云南楚雄·模拟预测）若函数恰好有一个零点，则（ ）
A．B．
C．D．
60．（25-26高三上·云南昆明·期中）已知是函数的零点，则的最小值为（ ）
A．0B．1C．4D．5
61．（24-25高三下·贵州黔东南·期中）已知是函数的零点，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
62．（2025·云南曲靖·一模）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（ ）
A．B．C．D．2025
题型14 根据零点所在的区间求参数的取值范围
63．（25-26高三上·全国·期末）若函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．C．D．
64．（25-26高三上·上海·阶段检测）若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
65．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知函数的零点，则整数的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
66．（25-26高三上·浙江台州·期末）若函数在区间各恰有一个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
67．（24-25高三上·黑龙江·阶段检测）设函数在区间上存在零点，则的最小值为（ ）
A．0B．eC．D．1
题型15 根据函数零点的个数求参数的取值范围
68．（2026高三下·江苏苏州·竞赛）已知方程恰有四个不等实根，则的取值范围为_____.
69．（25-26高三下·江苏盐城·期末）若函数有三个零点，则实数的取值范围为______．
70．（2026·全国二卷·高考真题）若函数有两个零点，则的取值范围是__________．
71．（2026·贵州遵义·模拟预测）若函数在定义域上恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
72．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知关于x的方程有两个不等实根，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
73．（2026·湖北黄冈·二模）已知函数有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型16 与零点相关的比较大小问题
74．（2026·福建福州·三模）已知，则的大小关系不可能为（ ）
A．B．
C．D．
75．（2026高三·全国·专题练习）已知三个函数，，的零点依次为a，b，c，则（ ）
A．B．C．D．
76．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知函数，与的零点分别为，，，则（ ）
A．B．C．D．
77．（2026·湖南湘西·三模）已知分别为函数的零点，且，则（ ）
A．B．C．D．
78．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
题型17 求零点的和
79．（2026·北京朝阳·一模）已知函数（），则的所有零点之和为（ ）
A．B．C．D．
80．（25-26高三上·北京顺义·开学考试）已知函数，则函数所有零点之和为（ ）
A．B．0C．2D．4
81．（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）函数的所有零点之和为______________
82．（2025高三·全国·竞赛）已知，则在上所有根的和为_____.
83．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知函数的图象关于点对称，则函数的零点之和为（ ）
A．1B．2C．4D．6
84．（2025高三·全国·专题练习）若是的零点，是的零点，那么的值为（ ）
A．B．3C．D．4
题型18 嵌套函数的零点问题
85．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数，若的零点个数为，则实数取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
86．（2026·湖南邵阳·三模）已知函数，若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
87．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为_____．
88．【多选】（2026·海南·模拟预测）设函数的定义域为，且，则（ ）
A．函数的值域为
B．函数在上单调递减
C．方程有3个不同的解
D．若方程有10个不同的解，则
题型19 函数零点的综合应用
89．【多选】（2026·山西忻州·模拟预测）设函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．是的最小值点
B．方程有且仅有一个实根
C．若，则方程有三个实根
D．在R上有最大值
90．【多选】（2026·湖北·三模）已知函数，则（ ）
A．一定有零点
B．曲线与直线恒有3个交点
C．若有3个零点，则它们的和为0
D．曲线上始终存在中心和4个顶点都在其上的菱形
91．【多选】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，若函数有三个互不相等的零点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．实数的取值范围是
B．的单调递减区间为，
C．
D．函数有4个零点
92．【多选】（2026·福建·三模）已知为定义在R上的偶函数，且的图象关于直线对称，当时，，则（ ）
A．
B．
C．关于x的方程恰有3个不同的实数解
D．不等式 的解集为
题型20 用二分法求方程的近似解
93．【多选】（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期中）下列函数中，能用二分法求零点的近似值的有（ ）
A．B．
C．D．
94．【多选】（24-25高三上·河南濮阳·期末）下列所给函数中，不能使用二分法求解其零点所在区间的有（ ）
A．B．
C．D．
95．【多选】（23-24高三上·浙江宁波·阶段检测）某同学利用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
则函数的零点的近似值（精确度0.1）可取为（ ）
A．2.49B．2.52C．2.55D．2.58
96．【多选】（24-25高三上·全国·课后作业）用二分法求函数零点近似值时，第一次取的区间是，则第三次所取的区间可能是（ ）
A．B．
C．D．
97．【多选】（23-24高三上·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数，其中，为某确定常数，运用二分法研究函数的零点时，若第一次经计算且，则（ ）
A．可以确定的一个零点，满足
B．第二次应计算，若，第三次应计算
C．第二次应计算，若，第三次应计算
D．第二次应计算，若，第三次应计算
利用描点法作图的步骤
(1)确定函数定义域；
(2)化简函数解析式；
(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；
(4)描点并作出函数图象.
利用图象变换法作图的步骤
(1)平移变换
①水平平移：y＝f(x)的图象向左平移a(a＞0)个单位长度，得到y＝f(x＋a)的图象；y＝f(x－a)(a＞0)的图象可由y＝f(x)的图象向右平移a个单位长度而得到.
②竖直平移：y＝f(x)的图象向上平移b(b＞0)个单位长度，得到y＝f(x)＋b的图象；y＝f(x)－b(b＞0)的图象可由y＝f(x)的图象向下平移b个单位长度而得到.
总之，对于平移变换，记忆口诀为“左加右减，上加下减”.
(2)对称变换
①y＝f(－x)，y＝－f(x)，y＝－f(－x)三个函数的图象与y＝f(x)的图象分别关于y轴、x轴、原点对称.
② 若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有或（实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数）；若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有
③函数与的图像关于对称.
(3)翻折变换
①y＝|f(x)|的图象作法：作出y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，上方的部分不变.
②y＝f(|x|)的图象作法：作出y＝f(x)在y轴右边的图象，以y轴为对称轴将其翻折到左边得y＝f(|x|)在y轴左边的图象，右边的部分不变.
(4)伸缩变换
①要得到y＝Af(x)(A>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的纵坐标伸(A>1时)或缩(A0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a1时)到原来的eq \f(1,a)倍.
1. 建模：梳理题干变量关系，列出函数解析式；
2. 限定定义域：结合实际场景，自变量只能取正数、整数或有限区间；
3. 分析图像特征：实际问题常只有第一象限图像，间断离散点、递增/递减、存在最值；
4. 绘图要点：坐标轴标注实际含义，离散点只画实心点，无延伸虚线，结合增减趋势画图。
确定函数的图象主要用排除法. 要抓住函数的性质，定性分析：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置. ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势. ③从周期性，判断图象的循环往复. ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性. 同时要善于抓住图象的特征，定量计算：从函数的特征点入手，利用特征点、特殊值的计算分析等解决问题.
由图选式，一般通过图象体现出的性质利用排除法筛选. 与由式选图类似，主要用奇偶性、单调性、特值、极限等综合分析.
由函数图象，研究其性质，进而确定参数值或范围，体现了由形到数的思维.
函数图象应用广泛，是研究函数性质不可或缺的工具. 数形结合应以快、准为前提，充分利用“数”的严谨和“形”的直观，互为补充，互相渗透.
与指、对、幂混合型函数相关的不等式问题，常通过数形结合转化为函数图象的交点和在交点两侧图象的上、下位置关系来求解.
(1)利用函数图像判断方程解的个数.由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解的个数.
(2)利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围.先作出所研究对象的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案
(3)利用函数图像求函数的最值，先做出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出结果，这体现出了数形结合的思想。
三种通用解法：
1. 代数解方程：令，直接解方程，方程实数解即为零点；
2. 图像法：画出图像，图像与轴交点横坐标为零点；
3. 转化交点法：变形，求与交点横坐标；
注：零点是实数，不是点，写数值而非坐标。
确定函数的零点（方程的根）所在的区间时，可以利用函数的零点存在性定理确定零点 所在的位置，是零点问题中最常见的一类题型，其要点是要保证函数在某个区间内是连续 的，且在这个区间两端点处的函数值为异号，也可以利用数形结合法，通过画函数图象与轴的交点来确定．
（1）解方程法：令f（x）=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且
f（a）·f（b）