第07讲 函数与方程（复习讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）

这是一份第07讲 函数与方程（复习讲义）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版），共3页。
01
命题透视·考情前瞻
对标素养，研判高考命题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知识框架，构建系统思维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知识，归纳题型技巧
知识解构
知识点1 函数的零点 知识点2 二分法
题型破译 (含超链接）
\l "__x0001_题型5 数集的运算" 题型1 求函数的零点
\l "__x0001_题型5 数集的运算" 题型2 判断函数零点所在区间
【方法技巧】零点所在区间的判断方法
\l "__x0001_题型5 数集的运算" 题型3 根据零点所在区间求参数取值范围
\l "__x0001_题型5 数集的运算" 题型4 求函数零点或方程根的个数
【方法技巧】函数零点个数的判断方法
\l "__x0001_题型5 数集的运算" 题型5 根据函数零点的个数求参数
【方法技巧】已知函数零点求参数的方法
\l "__x0001_题型5 数集的运算" 题型6 利用零点的分布求参数
\l "__x0001_题型5 数集的运算" 题型7 比较零点的大小
\l "__x0001_题型5 数集的运算" 题型8 求函数零点的和的问题
\l "__x0001_题型5 数集的运算" 题型9 二分法求方程近似解
04
真题溯源·考向感知
溯源真题逻辑，感知高考考向
05
课本典例·高考素材
立足课本典例，挖掘高考素材
命题透视·考情前瞻
——对标素养，研判高考命题趋势
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
知●识●解●构
\l "_Tc25045" 知识点1 函数的零点
（1）函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系.
（2）函数零点存在定理：
若①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条 的曲线；② .则函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
必记结论
1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．
2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
自主检测（1）（多选）下列函数存在零点的是（ ）
A． B．
C．（且）D．
（2）（2026·山东泰安·一模）函数的零点所在的大致区间为（ ）
A．B．C．D．
\l "_Tc25045" 知识点2 二分法
（1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做 ．
（2）给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤
= 1 \* GB3 ①确定零点的初始区间，验证
= 2 \* GB3 ②求区间的中点
= 3 \* GB3 ③计算，进一步确定零点所在的区间：
若（此时），则就是函数的零点；
若（此时），则令；
若（此时），则令.
= 4 \* GB3 ④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4）
自主检测( 25-26高三上·陕西西安·期末）用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（ ）
A．B．C．D．
题●型●破●译
题型1 求函数的零点
例1-1（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．函数的零点为
B．函数的零点为
C．函数的零点，即函数的图象与轴的交点
D．函数的零点，即函数的图象与轴的交点的横坐标
例1-2函数的零点为___ ___.
【变式训练1-1】 （2026·湖南长沙·模拟预测）已知a是函数的零点，则实数a的值为________．
【变式训练1-2】（2026·上海徐汇·二模）函数的零点是__________.
【变式训练1-3·变考法】已知三个函数，，的零点依次为a，b，c，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练1-4·变载体】（2025·全国·模拟预测）我们不妨定义：使函数值为0的自变量的值，称为该函数的零点.例如：函数的零点为1和.若函数的零点是和，则函数的零点是____ __.
题型2 判断函数零点所在区间
例2-1（2026·天津东丽·二模）函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
例2-2（2026·天津·模拟预测）方程的根所在区间为（ ）
A．B．C．D．
例2-3（25-26高三上·浙江杭州·期末）已知单调递增函数的零点在区间内，且，则n的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
方法技巧 零点所在区间的判断方法
（1）解方程法，当对应方程易解时,可直接解方程;
（2）利用函数零点存在定理;
（3）数形结合法,画出相应函数图象,观察与x轴的交点来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上的交点的横坐标来判断.
【变式训练2-1】（（25-26高三上·重庆·月考）已知方程的解为，求所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练2-2】（2026·广东深圳·模拟预测）已知，则的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练2-3】（24-25高三上·四川宜宾·期末）函数的零点在下列区间内（ ）
A．B．C．D．
【变式训练2-4】（函数的一个零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练2-5·变考法】函数的零点在区间内，则_________．
题型3 根据零点所在区间求参数取值范围
例3-1已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例3-2已知函数，在区间内存在，使，则实数a的取值范围是（ ）
A．B． C． D．
例3-3（2026·河北衡水·一模）（多选）若函数（）在内存在唯一的，使得，则的取值可能为（ ）
A．B．1C．D．3
【变式训练3-1】已知函数在区间上有零点，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】命题“在区间上有零点”为真命题，则命题成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．或 B． C．或 D．
【变式训练3-3】（25-26高三上·全国·期末）若函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．C． D．
【变式训练3-4】（25-26高三上·四川成都·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C． D．
【变式训练3-5·变考法】函数在有零点，则实数的取值范围为 .
题型4 求函数零点或方程根的个数
例4-1【新思维】设是定义在上的奇函数．当时，，则的零点个数为 ．
例4-2（2025·上海·三模）函数的零点个数为
例4-3（2026·内蒙古赤峰·一模）已知函数，则方程根的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
方法技巧 函数零点个数的判断方法
（1）直接法，令f(x)=0，方程有多少个不同的解则f(x)有多少个不同的零点;
（2）定理法,利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;
（3）图象法，一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数:
（4）若函数f(x)是周期为T的奇函数,则必有f()=0.
【变式训练4-1·变考法】（2026·河南洛阳·模拟预测）曲线与的交点的个数为（ ）
A．个B．个C．个D．个
【变式训练4-2·变载体】（2025·湖南长沙·三模）已知函数 ，方程 的根的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式训练4-3】（2026·江苏苏州·模拟预测）函数的零点个数为______.
【变式训练4-4】函数的零点个数为 ．
【变式训练4-5·变载体】（2026·山西晋中·模拟预测）定义域为的函数满足，当时，，则当时，函数的零点个数为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练4-6】方程的解的个数为_______________.
题型5 根据函数零点的个数求参数
例5-1已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例5-2已知函数，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例5-3【新设问】（25-26高二下·北京朝阳·期中）已知函数；若方程恰有三个根，写出一个满足条件的实数为__________.
方法技巧 已知函数零点求参数的方法
（1）已知函数的零点求参数的一般方法
①直接法：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；
②数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
③分离参数法：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解.
（2）已知函数零点个数求参数范围的方法
已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.
【变式训练5-1】已知函数有唯一零点，则 ．
【变式训练5-2·变载体】已知函数恰有三个零点，则实数a的取值范围为 ．
【变式训练5-3·变设问】已知二次函数有且仅有一个零点，则的最小值为__________．
【变式训练5-4·变考法】若函数的零点为1，2，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练5-5·变考法】（2026·北京朝阳·二模）设函数若关于的方程恰有两个不同的实数解，则满足条件的实数的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
题型6 利用零点的分布求参数
例6-1关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．
C．D．
例6-2若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例6-3【新思维】（2026·河北沧州·一模）已知函数,若函数至少有7个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练6-1】已知函数，则有零点的充要条件是______.
【变式训练6-2】（25-26高三上·海南海口·阶段检测）已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练6-3·变载体】（2026·河南南阳·二模）已知函数，若在区间上恰有5个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练6-4·原创题】已知函数，若正实数 互不相等，且，则的取值范围为______．
题型7 比较零点的大小
例7-1【新角度】（2026·湖南湘西·三模）已知分别为函数的零点，且，则（ ）
A．B．C．D．
例7-2【新思维】（2026·福建福州·三模）已知，则的大小关系不可能为（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练7-1·变考法】（江苏南通市2026届高三下学期二模数学试题）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练7-2·变载体】已知是函数的一个零点，若，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【变式训练7-3】（2026·河南新乡·三模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练7-4】（多选）已知函数，实数、、满足，其中，若实数为方程的一个解，那么下列不等式中，有可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
题型8 求函数零点的和的问题
例8-1（25-26高三上·江西赣州·期中）函数的所有零点的和为（ ）
A．B．C．3D．5
例8-2【新设问】已知函数，方程有四个不同解，则的取值范围是______．
【变式训练8-1·原创题】已知函数,的零点分别为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式训练8-2·变考法】已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练8-3·变载体】（2026·天津红桥·二模）设函数，若有四个不同的零点，从小到大依次为，则的取值范围为______．
【变式训练8-4·变题型】（25-26高三上·上海·期中）已知函数.
(1)求的对称中心坐标；
(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
(3)已知函数，记方程在区间上的根从小到大依次为，求的值.
题型9 二分法求方程近似解
例9-1已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（ ）
A．B．C．D．
例9-2设，某同学用二分法求方程的近似解（精确度为0.5），列出了对应值表如下：
依据此表格中的数据，得到的方程近似解可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练9-1】已知函数－，则用二分法求的零点时，其中一个零点的初始区间可以为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练9-2】（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）已知函数，利用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练9-3】在用二分法求方程在上的近似解时，先构造函数，再依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间可以是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练9-4】已知函数在区间内存在一个零点，用二分法计算这个零点的近似值时，给定精确度为，其参考数据如下：
则这个零点的近似值为___________．（精确到）
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
2.（2026年高考Ⅱ卷真题）若函数有两个零点，则m的取值范围是
3．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．
4．（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ）
A．8B．6C．4D．3
5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A．B．C．1D．2
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1.已知函数，，的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
2．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是 .（填写上所有符合条件的图号）
3．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
函数在哪几个区间内一定有零点？为什么？
4．已知函数，求证：方程在内至少有两个实数解.
5．设函数，且，求证：函数在内至少有一个零点.
6．已知函数.
（1）求函数的解析式；
（2）利用信息技术，画出函数的图象；
（3）求函数的零点（精确度为0.1）.
7．有一道题“若函数在区间内恰有一个零点，求实数a的取值范围”，某同学给出了如下解答：
由，解得.
所以，实数a的取值范围是.
上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答.核心考点
2026年
2025年
2024年
函数零点所在区间判断
北京卷T7
零点个数判断
全国Ⅰ卷T7全国Ⅱ卷T9
已知零点分布求参数
全国Ⅰ卷T13
天津卷T8
全国Ⅱ卷T6，天津卷T15
零点有关的综合问题
全国Ⅱ卷T18，北京卷T20
考情分析
函数的零点问题是高考的重点和热点内容，一般以选择题与填空题的形式出现。函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质，结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，试题难度较大。.
近三年考情显示，命题偏向含参零点讨论、复合型方程实根问题，强化数形结合与等价转化思想，注重与导数、最值问题深度结合，侧重考查综合分析与探究能力。
复习目标
1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系，会判断函数零点所在
区间及零点个数
2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理
3.了解用二分法求方程的近似解，能借助计算工具用二分法求方程近似解
0.125
0.4375
0.75
2
0.49
3.58
x
1
2
3
4
5
6
y
136.136
15.552
-3.92
10.88
-52.488
-232.064