专题08 导数中的极值点偏移问题10种常见考法归类讲义 2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）

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考法深研·解题技能通关
题型01 加法型
1．已知函数，其中．
(1)若有两个极值点，求实数的取值范围；
(2)若有两个极值点，，证明：．
2．（2026高三·安徽蚌埠·阶段检测）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若存在，使得成立，求的取值范围；
(3)若存在两个极值点，证明：．
3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数．
(1)求在上的极值；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)若存在实数使得函数在上有两个不同的零点，证明：．
4．（2026高三·湖北武汉·阶段检测）已知函数有两个零点，且．
(1)求a的取值范围；
(2)证明：．
5．（2026·天津·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)当时，有两个极值点，且，
（ⅰ）求t的范围；
（ⅱ）证明：
6．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数.
(1)当时，判断函数的单调性;
(2)当时，判断函数的零点个数;
(3)当时，是否存在实数，使得有两个极值点?若存在，求证：（为极值点）；若不存在，请说明理由.
7．（2026·湖南怀化·模拟预测）已知函数，其中、为常数，，且的图象在处的切线方程为．
(1)求、的值；
(2)若存在、满足，求证：；
(3)设函数，结合的取值范围讨论的零点个数．
8．（2026高三·广东广州·期中）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求的取值范围；
(3)若有两个零点，，证明.
9．（2026高三·陕西榆林·期末）已知函数.
(1)当时，求的最小值；
(2)已知函数有两个零点，，且.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明：.
10．（2026高三·山东济宁·期中）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线为，求、；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数存在极值点，且有两个不相等的零点、，证明：．
11．（2026高三·全国·期中）已知函数有两个不同的零点，其极值点为．求证：．
12．（2026高三·广东佛山·阶段检测）已知函数（）．
(1)求的单调区间；
(2)若函数，是函数的两个零点，证明：．
13．（2026高三·重庆·期末）已知函数．
(1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
(2)若函数恰有两个极值点，且的最大值为，求证：．
14．（2026高三·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数在上有两个极值点.
(1)求的取值范围;
(2)求证：.
15．（2026高三·全国·专题练习）已知函数有两个零点
(1)求a的取值范围；
(2)记，为的两个零点，证明：
16．（2026高三·安徽合肥·阶段检测）已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)求函数在处切线方程；
(3)若有两解，，且，求证：．
17．（2026高三·山东滨州·期末）已知函数 且曲线在处切线也是曲线的切线．
(1)求的值；
(2)求证：；
(3)若直线与曲线有两个公共点，，与曲线有两个公共点，，求证：
题型02 减法型
18．（2026高三·全国·课后作业）已知函数．
(1)求函数的单调区间与极值；
(2)若，求证：．
19．（2026高三·云南·期中）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，若方程有三个不相等的实数根，且，证明：.
20．（2026高三·天津·阶段检测）已知函数．
(1)讨论的单调区间；
(2)已知，设的两个极值点为，且存在，使得的图象与有三个公共点；
①求证：；
②求证：．
21．（2026·山东日照·模拟预测）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，若方程有三个不相等的实数根，且，证明：．
22．（2026·河南南阳·模拟预测）已知函数.
(1)若函数在上单调递增，求的取值范围.
(2)若函数的两个零点分别是，且，证明：
①随着的增大而减小；
②.
题型03 乘法型
23．（2026·河北·模拟预测）已知函数，函数，t，a均为实数．
(1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)当时，若存在正实数x，使不等式成立，求a的取值范围；
(3)若函数有两个不同的零点，记作，，且，求证：．
24．（2026·甘肃嘉峪关·模拟预测）已知函数，其中.
(1)设，若不等式对恒成立，求的取值范围.
(2)，若，求证：
25．（2026·山西晋中·模拟预测）已知函数，其中．
(1)讨论的单调性．
(2)若函数有两个不同的零点．
①求实数的取值范围；
②证明：．
26．（2026高三·甘肃定西·期中）设函数，
(1)若有极值点、无零点，求的取值范围；
(2)若的图象在区间内存在两条互相垂直的切线，求的取值范围；
(3)设，若方程有两个实数根、，且，求证：，且．
27．（2026高三·福建莆田·阶段检测）已知函数.
(1)讨论导函数的零点个数情况；
(2)若有两个不同极值点、.当时，证明：.
28．（2026·河北保定·模拟预测）已知函数为其导函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若存在两个不同的正数，使得，证明：．
题型04 平方型（立方型）
29．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，函数有3个不同的零点，，
(1)求证：；
(2)求证：（是自然对数的底数）．
30．（2026·山西·模拟预测）已知函数．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若有2个不同的零点，求证：．
31．（2026高三·四川成都·阶段检测）已知函数，其中为自然对数的底数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若方程有两个不同的根．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：．
题型05 倒数和型
32．（2026高三·全国·专题练习）已知，若有两个不等实根，，求证：．
33．（2026高三·江苏南通·开学考试）设函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，，且．
①求实数的取值范围；
②证明：．
34．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设a，b为两个不相等的正数，且，证明：.
35．（2026高三·全国·专题练习）已知，若，，且，证明：.
36．（2026高三·湖北武汉·期末）已知函数，其中为自然对数的底数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，且，证明：．
37．（2026高三·江苏苏州·期末）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的最大值；
(3)若关于的方程有两个实根，，求证：．
38．（2026高三·江苏无锡·阶段检测）已知函数.
(1)若，当与的极小值之和为0时，求正实数的值；
(2)若，求证：.
题型06 指数型
39．（河北武邑中学2026届高三学期学生全过程纵向评价（六）数学试题）已知函数（）．
(1)当时，求证：；
(2)若函数的两个零点为（）．
①求实数的取值范围；
②求证：．
40．（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求的最小值；
(2)若当时，恒成立，求的取值范围；
(3)若关于的方程有两个不等实根，证明：.
41．（2026高三·安徽合肥·专题练习）已知函数
(1)若有两个零点，求实数的取值范围；
(2)若且，证明：；
(3)若且，证明：.
42．（2026·北京昌平·模拟预测）已知函数，.
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
(2)若在上单调递增，求的取值范围；
(3)若有两个不同的极值点，求证：.
43．（2026·广东佛山·模拟预测）已知函数．
(1)设，求的零点并判断的单调性；
(2)若，且，证明：
（i）；
（ii）．
44．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知函数（其中是自然对数的底数）．
(1)试讨论函数的零点个数；
(2)当时，设函数的两个极值点为，且，求证：．
45．（2026·山东·模拟预测）已知函数.
(1)若有两个零点，求的取值范围；
(2)若方程有两个实数根，且，证明：.
题型07 对数型
46．（2026高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)若函数在上是减函数，求实数m的取值范围；
(2)若函数在上存在两个极值点，，且，证明：．
47．（2026高三·全国·二轮复习）已知函数．若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：．
48．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，.
(1)若，求a的取值范围；
(2)若有两个实数解，，证明：.
49．（2026高三·全国·专题练习）已知函数（，）.若函数有两个零点，.证明：.
50．（2026高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)求函数的最值；
(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：．
51．（2026高三·山东潍坊·期末）已知函数，.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若，求的取值范围；
(3)若有两个实数解，，证明：.
题型08 三元极值点偏移
52．（2026·河南南阳·模拟预测）已知函数，其中.
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)在数学上，我们把在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点称为格点，若曲线与轴相切，且切点为格点．
（i）求的值；
（ii）若，且，证明：.
53．（2026高三·广东·期中）已知函数.
(1)是否可以为的极值点？请说明理由；
(2)证明：若在上单调，则在上单调；
(3)若有三个零点，证明：.
54．（2026高三·辽宁营口·期中）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，若，且，证明：.
55．（2026高三·浙江嘉兴·期末）已知函数，若方程有三个不同的实数根.
(1)求的取值范围；
(2)若，求实数的值；
(3)证明：.
56．（2026·江西赣州·模拟预测）已知函数有三个极值点．
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：．
题型09 综合
57．（2026高三·四川成都·期中）已知函数有两个零点、，且，则下列命题正确的个数是（ ）
①；②；③；④；
A．个B．个C．个D．个
58．（2026·河北衡水·模拟预测）已知函数有两个零点，且，则下列命题正确的是（ ）
A．B．
C．D．
59．（2026高三·湖北恩施·期中）已知，，，均为的解，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
60．（2026高三·江西抚州·期中）已知函数有两个零点，，则下列判断：①；②；③；④有极小值点，且.则正确判断的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
61．（2026高三·四川成都·期中）已知函数有两个零点，，则下列说法：
①函数有极大值点，且；
②；
③；
④若对任意符合条件的实数，曲线与曲线最多只有一个公共点，则实数的最大值为.其中正确说法的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型10 拐点偏移
62．（2026·江苏淮安·模拟预测）已知函数存在两个不同的极值点．
(1)求实数的取值范围；
(2)设，求的最大值；
(3)求证：．
63．（2026高三·全国·专题练习）设函数．
(1)判断函数的单调性；
(2)若，且，求证：．
1.对称构造法（和型偏移首选）
设极值点，构造，求导判断单调性，利用推出与大小，结合函数单调性完成证明；
2.比值换元法（对数零点专用）
由两式作商，令，全部消去双变量化为单变量函数，求导证不等式；
3.对数平均不等式
，直接快速证明和、积型偏移，选择填空优先用，大题需先证明不等式。
1.题型特征：已知两零点/极值点，证明两点差值大于定值；
2.解法一（差值换元）：令，结合消元，转化单变量不等式；
3.解法二（对称构造+放缩）：先证范围，再结合乘积范围，不等式放缩求差值下界；
4.解法三（切线放缩）：利用函数切线不等式分别约束、，作差得到差值范围；
5.易错点：差值无固定偏移方向，必须结合函数增减区间判断放缩方向。
1.题型特征：证明两零点乘积大于/小于常数；
2.核心转化：两边同时取自然对数，转化为加法型偏移；
3.通用步骤：
①令，构造新函数转化和偏移；
②或比值换元：由变形出，设，将表示为含函数；
4.快捷工具：对数平均不等式，结合和的结论直接推乘积范围。
1.代数变形：，拆分转化为加法、乘积两类偏移；
2.解题流程：
①先用加法偏移求出范围，乘法偏移求出范围；
②代入平方公式，结合不等式同向放缩证明；
3.立方拓展：，同理拆分为和、积组合；
4.特殊技巧：若函数含，可指数换元后再平方构造。
1.变形转化：，结合、范围放缩；
2.换元法：令，代入原零点等式重构函数，转化加法偏移；
3.比值换元配套：设，将全部写为只含的函数，求单调性证不等；
4.适用场景：对数函数零点高频考倒数和偏移。
1.题型特征：函数含，零点满足相关证明；
2.核心换元：令，消去指数转化普通偏移；
3.差值换元专用：设，两零点方程相减提取，构造双曲函数证明；
4.对称构造适配：指数函数极值点偏移同样使用，恒正不影响导数符号；
5.放缩工具：切线不等式辅助缩小范围。
1.题型特征：含，零点偏移主流考法；
2.最优解法：比值换元，由整理得，令；
3.标准步骤：
①两零点等式相减分离对数项；
②全部用替换，消去得到单变量函数；
③求导判断单变量函数在恒正/恒负，完成证明；
4.秒杀工具：对数平均不等式，大题需先书写证明过程再使用。
1.题型特征：三次函数、带参超越函数存在三个零点，证明；
2.拆分思路：将三元拆分为两组二元偏移，先证偏移，再证偏移；
3.通用流程：
①求导得两极值点、，三个零点分属三个单调区间；
②分别对、使用对称构造法；
③两个不等式相加消去中间变量，得到范围；
4.补充：三次函数天然对称中心可辅助简化三元偏移证明。
1.解题逻辑：拆分目标不等式，拆分为和、积、倒数基础偏移组合；
2.分步操作：
①先单独证明、基础不等式；
②利用不等式同向可加、同向相乘规则放缩；
③混合分式先通分，转化、表达式再代入范围；
3.辅助手段：对称构造+比值换元结合使用，复杂式子优先换元简化；
4.检验：放缩时注意不等号方向，乘除正数不改变方向，负数反向。
1.核心定义：二阶导数零点为拐点，若两零点中点不等于拐点，称为拐点偏移；求证；
2.区分极值偏移：极值点是，拐点是；
3.标准解法：
①求二阶导数，解出拐点横坐标；
②构造辅助函数，求二阶导判断单调性；
③利用，结合拐点两侧凹凸性完成证明；
4.凹凸性辅助：拐点左侧凸、右侧凹（或相反），直接判断偏移方向。