第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）

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01
命题透视·考情前瞻
对标素养，研判高考命题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知识框架，构建系统思维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知识，归纳题型技巧
知识解构
知识点1导函数的概念 知识点2导数的几何意义
知识点3基本初等函数的导数公式及运算法则 知识点4复合函数的求导法则
题型破译 (含超链接）
\l "__x0001_题型1 导数的概念" 题型1 导数的概念
【方法技巧】导数定义的应用
\l "__x0001_题型2 导数的和、差、积、商的导数" 题型2 导数的和、差、积、商的导数
【方法技巧】利用导数运算法则的解题策略
\l "__x0001_题型3 复合函数的导数" 题型3 复合函数的导数
题型4 在点P处的切线
【方法技巧】求曲线“在”点处的切线方程
题型5 过点P处的切线
【方法技巧】求曲线“过”点处的切线方程
\l "__x0001_题型6 已知切线或切点求参数" 题型6 已知切线或切点求参数
题型7 切线的条数问题
【方法技巧】公切线问题的处理策略
题型8 公切线问题
\l "__x0001_题型9 利用导数的几何意义求距离最值" 题型9 利用导数的几何意义求距离最值
【方法技巧】利用导数的几何意义求解最值问题
04
真题溯源·考向感知
溯源真题逻辑，感知高考考向
05
课本典例·高考素材
立足课本典例，挖掘高考素材
命题透视·考情前瞻
——对标素养，研判高考命题趋势
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
知●识●解●构
\l "_Tc25045" 知识点1 导函数的概念
1.导函数的概念
当时,是一个唯一__________的数,当变化时,是的函数,称它为的导函数(简称导数),的导函数有时也记作,即__________
2.导函数求法
由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是：
（1）求函数的改变量__________；（2）求平均变化率；
（3）取极限，得导数__________．
自主检测1．设函数的图象在点处的切线方程为，则（ ）
A．1B．2C．D．4
\l "_Tc25045" 知识点2 导数的几何意义
函数在处的导数,就是切线的__________,即.
自主检测2．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则+ =______．
\l "_Tc25045" 知识点3 基本初等函数的导数公式及运算法则
1.基本初等函数的导函数
2.导数的四则运算
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
自主检测3．已知函数，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．分别求下列函数的导数：
(1)
(2)
\l "_Tc25045" 知识点4 复合函数的求导法则
1.复合函数的导数
设函数在点处可导，，函数在点的对应点处也可导，则复合函数在点处可导，并且__________，或写作．
2.掌握复合函数的求导方法
（1）分层：将复合函数__________分出内层、外层．
（2）各层求导：对内层，外层__________．得到，
（3）求积并回代：求出__________：，然后将，即可得到的导数．
自主检测5．函数导数为_________．
题●型●破●译
题型1 导数的概念
例1-1（2026·江苏镇江·一模）设，则曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A．B．C．1D．4
例1-2（2026·广东梅州·一模）某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：cm）与时间（单位：s）之间的关系为，则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为（ ）.
A．B．C．D．
【变式1-1】（2026·上海虹口·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（ ）．
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2024-25高三上·山西晋中·期中）已知函数的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型2 导数的和、差、积、商的导数
例2-1（2025·北京延庆·三模）已知， 则的导函数为__________.
例2-2（2024·25高三上·福建·期中）已知函数，则__________.
【变式2-1】（2024·25高三上·江苏徐州·开学考试）已知函数，则__________.
【变式2-2】（2025·甘肃白银·三模）若函数的导函数为偶函数，则的解析式可以为（ ）
A．B．
C．D．
题型3 复合函数的导数
例3-1（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）函数在处的导数 _____.
例3-2（2026·安徽合肥·模拟预测）若，则（ ）
A．−10B．0C．10D．20
【变式3-1·变题型】（2025·26高三上·河北保定·阶段检测）已知函数，为的导函数，则（ ）
A．0B．2C．D．2026
【变式3-2】（2025·26高三上·天津南开·阶段检测）已知函数，则的值为（ ）
A．29B．C．5D．
【变式3-3·变考法】（2026·陕西宝鸡·三模）已知函数的图象如图所示，若，则下列数值排序正确的是（ ）
A．B．
C．D．
题型4 在点P处的切线
例4-1（2026·安徽·模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
例4-2（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数的定义域为，，当时，，则曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A．2B．1C．D．
【变式4-1】（2025·26高三上·湖南·阶段检测）函数的图象在点处的切线方程为__________.
【变式4-2】（2026·河北沧州·二模）已知函数 则曲线在点处的切线在轴上的截距为（ ）
A．B．C．D．
题型5 过点P处的切线
例5-1（2024高三·全国·专题练习）已知直线l为曲线过点的切线．则直线l的方程为_______．
例5-2（2025·26高三上·天津蓟州·期中）过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1·变载体】（2025·河南·模拟预测）过原点且与曲线相切的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【变式5-2】（2024·25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知直线与曲线相切，则实数的值为_____．
【变式5-3·变题型】（2025·河南周口·二模）将曲线绕原点逆时针旋转角后第一次与y轴相切，则（ ）
A．B．C．D．
题型6 已知切线或切点求参数
例6-1（2026·河北沧州·二模）已知函数，曲线在处的切线方程为，则_________.
例6-2（2026·江苏盐城·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在曲线：上且在第三象限内．若曲线在点处的切线为，则实数________．
【变式6-1】（2026·湖南湘潭·三模）若曲线在点处的切线与直线平行，则__________．
【变式6-2】（2026·山东聊城·模拟预测）已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则最大值为______.
【变式6-3·变考法】（2026·辽宁锦州·二模）已知图象上有两条切线互相垂直，则________.
题型7 切线的条数问题
例7-1（2024·25高三上·山西·期末）已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的值为（ ）
A．或B．或C．D．
例7-2（2025·26高三·全国·一轮复习）已知函数，若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是__________．
【变式7-1】（2025·26高三上·山东泰安·期末）函数，过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围______.
【变式7-2】（2025·海南海口·模拟预测）过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的一个可能值为_________．
【变式7-3·变考法】（2025·26高三上·福建厦门·期末）若过可作曲线的三条切线，切点的横坐标分别为，，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-4】（2026·河北雄安·三模）过点可向曲线作三条切线，则实数的取值范围为________．
题型8 公切线问题
例8-1（2026·河南焦作·一模）已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为___________．
例8-2（2025·陕西汉中·一模）若直线（）是曲线与曲线（）的公切线，则（ ）
A．1B．2C．eD．
【变式8-1】（2025·26高三上·山东·期中）若直线为曲线与的公切线，则直线的方程可以为_________.（写出符合条件的一个方程即可）
【变式8-2】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）（多选）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式8-3】（2025·26高三上·河南南阳·期末）已知，若直线是曲线与曲线的公切线，则________
题型9 利用导数的几何意义求距离最值
例9-1（2026·广东东莞·模拟预测）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为_____.
例9-2（2026·辽宁大连·一模）已知a，b，，（其中是自然对数的底数），则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式9-1】（2025·陕西西安·二模）若M是曲线上任意一点，则点M到直线的最小距离为_________.
【变式9-2】（2026·安徽淮南·二模）已知定义在上的函数，其导函数为，对，满足，，点，分别为曲线和直线上的动点，则的最小值等于________.
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
1．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的一条切线，则_________.
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________.
4．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2026·全国一卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·天津·高考真题）已知函数
(1)时，求在点处的切线方程；
7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
8．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
9．（2026·天津·高考真题）已知．
(1)求曲线在点处的切线方程；
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1．求下列函数在给定点的导数：
（1）在处的导数；
（2）在处的导数．
2．已知函数，且，求．
3．已知函数满足，求在的导数．
4．已知函数.
(1)求这个函数的导数；
(2)求曲线在点处的切线方程.
5．设曲线在点处的切线与直线垂直．求a的值．
核心考点
2026年
2025年
2024年
导数的运算
——
全国二卷T3（5分）
全国I卷T18（1）（5分）
全国甲卷（文）T20（1）（5分）
导数的几何意义
全国一卷T4（5分）
全国一卷T12（5分）
全国甲卷（理）T6（5分）
全国II卷T16（1）（5分）
全国I卷T13（5分）
考情分析
近三年考情显示，导数的概念及其意义、导数运算的考查较为稳定，题型、分值与难度变化不大。以选择题、填空题、解答题第一问为主，侧重考查导数的几何意义、基本初等函数求导公式、四则运算法则，核心是求曲线在某点处的切线方程，偶尔涉及切线斜率与导数定义的理解，整体属于基础必考内容。
复习目标
1.理解导数的概念，掌握基本初等函数的导数公式，能准确表述导数的定义与本质。
2.结合函数图象，理解导数的几何意义，能熟练求解曲线在某点处的切线方程。
3.熟练运用导数四则运算法则进行计算，能正确求解简单函数及简单复合函数的导数。
基本初等函数
导函数
（为常数）
__________
__________
__________
__________
__________
加减运算
__________
乘法运算
__________
除法运算
，则__________
方法技巧 导数定义的应用
（1）在导数的概念中,增量的形式是多种多样的,但无论是哪种形式,分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致,常见的形式还有：
（2）用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤
①求函数的增量；②求平均变化率；③求极限
方法技巧 利用导数运算法则的解题策略
（1）先分析待求导式子的结构，判断适用的求导法则，明确各部分对应的基本初等函数，选用正确的求导公式。
（2）若函数表达式较为复杂，可先化简变形再求导，比如将乘积展开、分式转化、三角恒等变换后再计算。
（3）求导时优先把式子转化为和差形式，尽量使用和差求导法则，减少使用积、商求导法则，降低计算出错概率。
方法技巧 求曲线“在”点处的切线方程
（1）计算切点的纵坐标；（2）计算切线斜率；
（3）计算切线方程.切线过切点，切线斜率；
（4）根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
方法技巧 求曲线“过”点处的切线方程
（1）设切点为；（2）求出函数在点处的导数；
（3）利用Q在曲线上和，解出及；
（4）根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
方法技巧 公切线问题的处理策略
解决公切线问题时，要抓住两个核心条件：一是两个函数在各自切点处的导数值相等，即切线斜率相同；二是两个切点既在对应函数图象上，又在同一条切线上。我们需要分别设出两个函数的切点横坐标，依据斜率相等、坐标满足曲线与直线方程列出方程组，再通过解方程组求出切点横坐标及公切线方程。
方法技巧 利用导数的几何意义求解最值问题
借助数形结合的思想，将代数最值转化为图像上的直观位置关系来分析。这类问题最常用的方法是平移切线法：通过平行移动函数的切线，观察切线与曲线的位置变化，找到临界状态下的切线位置，从而确定对应的最值。