专题02 幂函数、指数函数与对数函数（知识清单）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）

这是一份专题02 幂函数、指数函数与对数函数（知识清单）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版），共16页。试卷主要包含了根式与分数指数幂，指数幂的运算性质，对数与对数运算，估值法，构造函数，运用函数的单调性比较，放缩法等内容，欢迎下载使用。
目录导航
01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系
02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点
▶基础梳理・自主夯基
考点01指数与对数运算
考点02幂函数与二次函数
考点03指数函数及其性质
考点04对数函数及其性质
▶高阶思维・探究拓展
难点解读01指数型复合函数的单调性与值域问题
难点解读02对数型复合函数的单调性与值域问题
难点解读03指对函数恒成立与参数范围问题
03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养
▶高考解密・母题探究
题型01指数与对数运算
题型02指对比较大小
题型03指对幂函数的单调性应用
▶重点突破・考法深研
重点01幂函数的图象与性质
重点02指数函数的图象与性质
重点03对数函数的图象与性质
重点04利用函数单调性求解指对不等式
▶技法提炼・审题点拨
技法点拨01指数幂与对数式运算
技法点拨02指对幂比较大小的常用方法
技法点拨03二次函数在闭区间上的最值问题
▶易错剖析・避坑攻略
易错点01忽略对指数与对数底数的讨论致错
易错点02求复合函数单调性时忽略定义域致错
04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用
知识脑图·核心脉络搭建
考点深研·知能分层突破
考点01 指数与对数运算
1、根式与分数指数幂
（1）根式的定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且。
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
（2）根式的性质（，且）：；
（3）分数指数幂的表示
正分数指数幂：规定：
负分数指数幂：规定：
性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
2、指数幂的运算性质
（1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．
有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
（2）指数幂的运算性质
①． ②． ③．
3、对数与对数运算
（1）对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，lgaN叫做对数式．
（2）对数的性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝lgaN(a>0，且a≠1)；
= 1 \* GB3 ①lga1＝0， = 2 \* GB3 ②lgaa＝1， = 3 \* GB3 ③algaN＝N， = 4 \* GB3 ④ lgaaN＝N (a>0，且a≠1)．
指数式与对数式的关系
（3）对数的的运算法则与换底公式：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0
运算法则： = 1 \* GB3 ①lga(M·N)＝lgaM＋lgaN = 2 \* GB3 ②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN = 3 \* GB3 ③lgaMn＝nlgaM(n∈R)
换底公式： = 1 \* GB3 ①lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)，
= 2 \* GB3 ②换底公式的三个重要结论：lgab＝eq \f(1,lgba)； lgambn＝eq \f(n,m)lgab； lgab·lgbc·lgcd＝lgad.
【新题对点练】（2026·广东广州·三模）若，则（ ）
A．B．C．1D．2
考点02 幂函数与二次函数
1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
（1）幂函数的特征：xα的系数是1；xα的底数x是自变量；xα的指数α为常数．
只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．
（2）幂函数的图象：同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y=x12的图象(如图)．
2、幂函数的性质
（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；
（2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；
（3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；
（4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．
3、二次函数的图象和性质
【新题对点练】（2026·四川广安·模拟预测）若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是（ ）
A．B．2C．D．3
考点03 指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．
2、指数函数的图象与性质
3、指数函数的常用技巧
（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情况讨论；
（2）指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图象，
底数与1的之间的大小关系为；
规律：在轴右（左）侧图象越高（低），其底数越大．
（3）指数函数与的图象关于轴对称．
【新题对点练】（2025·湖南长沙·模拟预测）若指数函数满足，则_____．
考点04 对数函数及其性质
1、对数函数的概念
（1）定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为．
（2）特殊的对数函数
= 1 \* GB3 ①常用对数函数：以10为底的对数函数.
= 2 \* GB3 ②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数.
2、对数函数的图象与性质
3、对数函数图象的常用结论
（1）函数y＝lgax与y=lg1ax的图象x轴对称；
（2）对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
【新题对点练】（25-26高三上·安徽淮北·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
难点解读01 指数型复合函数的单调性与值域问题
1、指数型复合函数的单调性问题
（1）研究的函数的单调性：函数的单调性与函数的单调性在时相同，在时相反．
（2）研究型函数的单调性：一般用换元法，即令，则只需研究与的单调性即可．
2、指数型复合函数的值域问题
（1）形如函数的值域：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围．
（2）形如函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域．
【典例1】（25-26高三上·重庆·开学考试）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（25-26高三上·福建厦门·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的定义域为RB．函数的值域为
C．D．函数为减函数
难点解读02 对数型复合函数的单调性与值域问题
1、对数型复合函数的单调性问题的求解策略
（1）对于型函数的单调性：函数的单调性与函数的单调性在时相同，在时相反．
（2）研究型函数的单调性：一般用换元法，即令，则只需研究与的单调性即可．
2、对数型复合函数的值域问题的求解策略
（1）对于函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性，再求出的值域．
（2）对于函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性，求出的值域．
【典例1】（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．在定义域上是增函数D．在定义域上是减函数
难点解读03 指对函数恒成立与参数问题
新高考中档综合难点，主打指对函数恒成立、存在性求参问题。解题核心思路为分离参数、数形结合、分类讨论，优先采用参变分离法，结合函数单调性求解最值，以此约束参数范围；含底数参数时，必须分类讨论与两种单调性情况．
【典例1】（25-26高三上·山东·阶段检测）已知为偶函数，为奇函数，且满足.
(1)求，的解析式；
(2)存在，使得不等式成立，求的取值范围.
【典例2】（2026·河南开封·模拟预测）已知函数为定义在上的偶函数，且满足，．
(1)求的解析式；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．
素养进阶·答题技法突破
题型01 指数与对数运算
考情定位：新高考基础题型，是函数、导数综合题的运算基础，侧重公式灵活运用，题型基础但易错，稳定考查化简、求值类基础运算．
核心考法：根式与分数指数幂互化化简、指对公式正向逆向求值、换底公式统一底数化简、多层复杂指对式运算．
解题要点：优先统一式子结构，分步逐层化简；严格遵守公式变形规则，时刻校验底数、真数取值范围，规避无意义变形与运算失误．
【典例1】（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则______．
题型02 指对比较大小
考情定位：新高考选填中档题型，常以小题形式考查，区分度高，核心考查分层推理与数形结合思维．
核心考法：同结构单调性比大小、指对幂异构混合比大小、0/1中间量搭桥估值、构造辅助函数判大小．
解题要点：遵循“先分层、后同质、再构造”逻辑，先区分数值与0、1大小，同结构用单调、异构用中间量，复杂式子依托辅助函数精准判定，杜绝主观估值．
【典例1】（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（ ）
A．B．C．D．
题型03 指对幂函数的单调性应用
考情定位：函数板块核心母题，贯穿选填与基础解答题，是解不等式、求值域、定参数范围的核心依据，综合性极强．
核心考法：利用单调性求解指对幂不等式、结合单调性判定函数值与参数范围、复合函数单调区间判定、依托单调性求函数最值值域．
解题要点：单一函数依底数、幂指数判单调；复合函数坚守定义域优先，用“同增异减”判定区间；脱号解不等式按需调整不等号方向，全程兼顾定义域约束．
【典例1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______.
重点01 幂函数的图象与性质
【典例1】（25-26高三下·云南昭通·期中）“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【典例2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知幂函数为偶函数，则____．
重点02 指数函数的图象与性质
【典例1】（2026·山东潍坊·三模）已知，函数，为奇函数，则（ ）
A．13B．24C．80D．240
【典例2】（25-26高三上·湖北·阶段检测）已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（ ）
A．B．C．2D．4
重点03 对数函数的图象与性质
【典例1】（2026·安徽滁州·二模）函数且的图象恒过的定点是_______.
【典例2】（25-26高三上·广东肇庆·阶段检测）已知函数（且）是上的单调函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
重点04 利用函数单调性求解指对不等式
【典例1】（25-26高三上·广东东莞·阶段检测）不等式的解集（用区间表示）________________．
【典例2】（25-26高三上·河北衡水·期末）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
技法点拨01 指数幂与对数式运算
【典例1】（25-26高三下·广东东莞·阶段检测）__________.
【典例2】（2026·河南开封·模拟预测）设、为正数，若，且，则____．
技法点拨02 指对幂比较大小的常用方法
【典例1】（2026·重庆·模拟预测）已知，，，比较，，的大小为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
技法点拨03 二次函数在闭区间上的最值问题
【典例1】（24-25高三下·山西太原·阶段检测）如果函数，那么函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，且的解集为．
(1)求的解析式；
(2)求在区间上的最小值．
易错点01 忽略对指数与对数底数的讨论致错
【典例1】（2026·山东·模拟预测）当时，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（25-26高三下·广东·阶段检测）若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
易错点02 求复合函数单调性时忽略定义域致错
【典例1】（2026·河南南阳·模拟预测）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（25-26高三下·湖北随州·阶段检测）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
优题精练·专题实战通关
一、单选题
1．（2026·北京大兴·三模）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
2．（2026·广东深圳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2026·山东聊城·一模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数（，，）的图象如图所示，则下列关系式一定不成立的是（ ）
A．B．C．D．
5．（25-26高三上·山东济南·阶段检测）函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）
A．5B．2C．D．
6．（25-26高三下·江苏扬州·阶段检测）已知函数恒过定点，且点在函数的图象上，则的最小值为（ ）
A．B．8C．4D．
7．（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）已知，当时，的最小值是，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2026·河南开封·模拟预测）已知，且，若函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）以下运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2026·湖南·三模）若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2026·河南洛阳·模拟预测）下列选项中说法正确的是（ ）
A．函数的单调减区间为
B．幂函数过点，则
C．函数的定义域为，则函数的定义域为
D．若函数的值域为，则实数的取值范围是
三、填空题
12．（2026·广西崇左·一模）函数的值域为______.
13．（2026·山西朔州·一模）若，且，，则__________.
14．（2026·广东茂名·二模）已知函数，若，则实数的取值范围是________．
四、解答题
15．（25-26高三上·安徽淮北·阶段检测）函数．
(1)当时，求该函数的值域；
(2)若对于恒成立，求的取值范围．
16．（25-26高三下·河南郑州·阶段检测）已知函数为奇函数．
(1)求实数的值；
(2)求证：在上单调递增；
(3)若在区间上有解，求实数的取值范围．函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
图象(抛物线)
定义域
R
值域
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))
对称轴
x＝－eq \f(b,2a)
顶点坐标
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))
奇偶性
当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上是减函数；
在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上是增函数
在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上是增函数；
在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上是减函数
图象
图像特征
在轴的上方，过定点
当逐渐增大时，图象逐渐上升
当逐渐增大时，图象逐渐下降
性质
定义域
值域
单调性
在上是增函数
在上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
范围
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
图象
a＞1
0＜a＜1
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)
当0＜x＜1时，y＜0；
当x＞1时，y＞0
当0＜x＜1时，y＞0；
当x＞1时，y＜0
在(0，＋∞)上为增函数
在(0，＋∞)上为减函数
核心解题要点：熟练掌握五类核心幂函数的定义域、值域、奇偶性与单调性，牢记所有幂函数在第一象限的图象规律与定点(1,1)；可依托幂函数单调性比较同指数幂数值大小，结合奇偶性判断函数对称性，快速求解简单不等式与参数问题．
高频陷阱：混淆幂函数与指数函数解析式；忽略不同幂函数的定义域限制；乱用第一象限单调性判断其他象限函数值大小．
核心解题要点：依托指数函数定点、单调性、图象特征解题，根据底数的范围判定函数增减性，可快速比较指数式大小、求解简单指数不等式；结合图象分布规律，辨析函数图象、求解参数取值，适配基础选填题型．
高频陷阱：记错底数范围对应的单调性；忽略指数函数值域恒大于0的隐藏条件；底数大小与图象高低对应关系混淆出错．
核心解题要点：严格遵循定义域优先原则，依托对数函数定点、单调性、反函数性质解题；根据底数范围判断增减趋势，用于对数值比大小、简单对数不等式求解，结合图象对称性解决函数综合基础问题．
高频陷阱：忽略对数真数大于0的硬性定义域限制；底数单调性判断错误导致比大小、解不等式出错；混淆指数与对数函数反函数图象特征．
核心解题要点：将不等式两侧化为同底数指对函数形式，根据底数范围判定单调性，顺势脱去函数符号转化为代数不等式；对数不等式必须联立真数大于0的定义域条件，最终取交集得到解集．
高频陷阱：底数时忘记反转不等号方向；遗漏对数定义域限制导致解集范围偏大；非同一底数强行脱号求解，逻辑出错．
1、指数幂运算的一般原则
（1）指数幂的运算首先将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算；
（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；
（3）底数为负数，先确定符号；底数为小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数；
（4）运算结果不能同时包含根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
2、对数混合运算的一般原则
（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式化简合并；
（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；
（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；
（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；
（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式．
1、单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．
2、作差法、作商法：
（1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；
（2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法．
3、中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小．
4、估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
（2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值．
5、构造函数，运用函数的单调性比较：
构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律．
（1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f( )外衣”比较大小；
（2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小．
6、放缩法：
（1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；
（2）指数和幂函数结合来放缩；
（3）利用均值不等式的不等关系进行放缩；
（4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系．
二次函数在闭区间上的最值主要有四种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动、轴动区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，分对称轴在区间左侧、区间内、区间右侧三种情况讨论；区间外单调直接取端点最值，区间内含对称轴则对比端点与顶点函数值，精准锁定最值．
辨析：指数与对数函数问题中，其底数若不是确定的数值，需要对底数分a＞1或0