专题01 一元函数的导数及其应用（知识清单）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）

这是一份专题01 一元函数的导数及其应用（知识清单）2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版），共19页。试卷主要包含了导数的几何意义，函数f的导函数，，．等内容，欢迎下载使用。
目录导航
01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系
02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点
▶基础梳理・自主夯基
考点01导数的概念
考点02导数的运算
考点03导数与函数的单调性
考点04导数与函数的极值、最值
▶高阶思维・探究拓展
难点解读01过定点的多切线问题
难点解读02函数的隐零点问题
难点解读03极值点偏移问题
03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养
▶高考解密・母题探究
题型01曲线切线方程求解
题型02利用导数研究函数的极值与最值
题型03导数综合应用
▶重点突破・考法深研
重点01含参函数的单调性讨论
重点02单变量不等式恒成立问题
重点03双变量不等式恒成立问题
重点04导数与函数的零点问题
重点05导数构造法解函数不等式
▶技法提炼・审题点拨
技法点拨01导数定义在极限中的应用
技法点拨02曲线“在”某点处的切线问题
技法点拨03曲线“过”某点的切线问题
技法点拨04两曲线的公切线问题
技法点拨05已知函数的单调性求参数
技法点拨06利用导数求函数的极值或极值点
技法点拨07已知函数的极值求参数
技法点拨08利用导数研究函数的最值
▶易错剖析・避坑攻略
易错点01复合函数求导“漏层”或“错层”致错
易错点02误解“导数为0”与“有极值”的关系
易错点03误解“导数符号”与“函数单调性”关系
易错点04误解导数正负与函数图象升降关系
04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用
知识脑图·核心脉络搭建
考点深研·知能分层突破
考点01 导数的概念
1、函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义
一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)．
2、导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
3、函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)为f(x)的导函数．
【新题对点练】（2026·福建福州·模拟预测）曲线在处的切线的倾斜角为__________．
考点02 导数的运算
1、基本初等函数的导数公式表
2、导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq \f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)．
3、复合函数的导数
（1）复合函数的概念：一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作．
（2）复合函数的求导法则：一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
规律：从内到外层层求导，乘法连接．
【新题对点练】（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．5
考点03 导数与函数的单调性
1、导数与函数的单调性的关系
在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；
如果，那么函数在这个区间内单调递减．
【注意】
（1）在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件；
（2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零．
2、导数法求函数单调区间的步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求（通分合并、因式分解）；
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
【新题对点练】（25-26高三上·山东烟台·期中）已知函数，则的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
考点04 导数与函数的极值、最值
1、函数的极值
（1）函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
（2）函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
2、函数的最值
（1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
（2）若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
3、函数极值与最值的关系
（1）函数的最大值和最小值是比较整个定义域区间上的函数值得到的，是一个整体的概念，与函数的极大（小）值不同，函数的最大（小）值若有，则只有一个．
（2）开区间内的可导函数，若有唯一的极值，则这个极值是函数的最值．
【新题对点练】（25-26高三上·江苏淮安·阶段检测）已知函数，则在上的极值为（ ）
A．B．C．D．
难点解读01 过定点的多切线问题
已知，过点，可作曲线的（）条切线问题
第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程；
第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解．
【典例1】（25-26高三上·江苏南通·期中）若曲线有两条过点的切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（25-26高三上·山东济宁·期中）已知函数，过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
难点解读02 函数的隐零点问题
导函数的零点不可求时的应对策略：
1、“特值试探”法：当导函数的零点不可求时，可尝试利用特殊值试探，此时特殊值的选取应遵循以下原则：①在含有的函数中，通常选取，特别地，选当时，来试探；②在含有的函数中，通常选取，特别地，选取当时，来试探，在探得导函数的一个零点后，结合导函数的单调性，确定导函数在零点左右的符号，进而确定原函数的单调性和极值，使问题得到解决．
2、“虚设和代换”法：当导函数的零点无法求出显性的表达式时，我们可以先证明零点存在，再虚设为，接下来通常有两个方向：①由得到一个关于的方程，再将这个关于的方程的整体或局部代入，从而求得，然后解决相关的问题；②根据导函数的单调性，得出两侧导函数的正负，进而得出原函数的单调性和极值，使问题得解．
【典例1】（26-27高三上·河南濮阳·阶段检测）若函数的最小值为，则正实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2026·四川成都·二模）已知函数在处的切线方程为．
(1)求，；
(2)设是方程的两根，求证：．
（注：…是自然对数的底数）
难点解读03 极值点偏移问题
极值点偏移的本质是函数在极值点两侧的不对称（如二次函数对称、三次函数可能偏移）；如何将上边了不等式转化为单变量问题是解题的难点。
证明极值点偏移问题常用思路：利用分析法，将所证不等式中的变量分到不等式的两边，构造对称函数，注意将和化到同一区间，再利用导数据研究函数的单调性，求极值值等手段证得不等式．
【典例1】（2026高三下·重庆·专题练习）已知函数．若函数有两个不相等的零点．
(1)求a的取值范围；
(2)证明：．
【典例2】（2025高三上·福建厦门·专题练习）已知函数，.
(1)若对于任意，都有，求实数的取值范围；
(2)若函数有两个零点，求证：.
素养进阶·答题技法突破
题型01函数切线方程求解
考情定位：选填高频基础题，难度偏低，常单独命题或融入解答第一问，侧重导数几何意义基础运算．
核心考法：已知切点求切线、过外部点求切线、两条曲线公切线、切线斜率 / 倾斜角反求参数．
解题要点：切点同时满足曲线与切线方程，斜率等于切点导数值；过点切线需设切点坐标联立方程求解，公切线联立斜率与截距两组等式．
【典例1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________.
【典例2】（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的一条切线，则________.
题型02 利用导数研究函数的极值与最值
考情定位：导数基础模块，常单独设问或作为综合大题中间步骤，是零点、恒成立问题的必备基础．
核心考法：求解函数极值、判定极值点；求指定闭区间上函数最大值与最小值；根据极值、最值条件反向求解参数取值．
解题要点：先确定函数定义域，求出全部临界点（导数为0或导数不存在的点）；通过临界点左右导函数符号区分极大值、极小值；闭区间最值需同步计算端点函数值，将极值与端点值对比得到最终最值；已知极值/最值求参后，务必回代检验参数是否符合题意．
【典例1】（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则___________
【典例2】（2026·全国一卷·高考真题）已知函数的最大值为1，则（ ）
A．B．1C．D．2
题型03 导数综合应用
考情定位：导数解答题核心大题，分值占比高，综合性极强，完整覆盖导数中档到压轴全部考点，是试卷区分度核心题型．
核心考法：不含参与含参函数单调区间讨论；根据零点个数求解参数范围；不等式恒成立、存在性求参；构造函数证明不等式、隐零点代换应用．
解题要点：解题第一步锁定函数定义域；含参单调性按二次项系数、判别式、零点顺序分层讨论；零点问题数形结合，对比极值与 0 的大小；恒成立优先参变分离转化为最值问题；证明类题型构造辅助函数，必要时借助二阶导分析函数走势，严格验证等号成立条件．
【典例1】（2026·全国二卷·高考真题）已知函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求，；
(2)当时，，求的取值范围；
(3)当时，，求的最小值．
【典例2】（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中．
(1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点；
(2)设分别为在区间的极值点和零点.
（i）设函数.证明：在区间单调递减；
（ii）比较与的大小，并证明你的结论．
重点01 含参函数的单调性讨论
【典例1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，当时，求函数的单调递增区间．
【典例2】（25-26高二下·山东烟台·期末）已知函数.
(1)当时，求过点且与曲线相切的直线的方程；
(2)讨论的单调性.
重点02 单变量不等式恒成立问题
【典例1】（25-26高三下·河南·阶段检测）已知函数，若恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【典例2】（25-26高三下·辽宁·阶段检测）已知函数，若对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
重点03 双变量不等式恒成立问题
【典例1】（2026·四川成都·模拟预测）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围为__________．
【典例2】（2025·辽宁大连·模拟预测）已知，，其中是自然对数的底数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，．存在，，使得成立，试求实数的取值范围．
重点04 导数与函数的零点问题
【典例1】（2026·河南周口·三模）若函数有且仅有2个零点，则______.
【典例2】（2026·湖北孝感·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的零点个数；
重点05 导数构造法解函数不等式
【典例1】（2026·重庆·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为.若对任意，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2026·黑龙江·模拟预测）已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
技法点拨01 导数定义在极限中的应用
【典例1】（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知函数，则____.
【典例2】（25-26高三上·河北·阶段检测）已知函数在处可导，若，则（ ）
A．27B．2C．3D．7
技法点拨02 曲线“在”某点处的切线问题
【典例1】（2026·湖北襄阳·模拟预测）若函数的图象在处的切线过点，则_____________．
【典例2】（2026·河北秦皇岛·二模）曲线在点处的切线与直线平行，则________.
技法点拨03 曲线“过”某点的切线问题
【典例1】（2026·重庆·模拟预测）过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2026·福建福州·模拟预测）曲线过点的两条切线的方程为________，________.
技法点拨04 两曲线的公切线问题
【典例1】（2026·河南南阳·三模）已知函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数_____.
【典例2】（2026·河北秦皇岛·三模）若直线同时是曲线和曲线的切线，则斜率的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
技法点拨05 已知函数单调性求参数
【典例1】（25-26高三上·云南曲靖·阶段检测）已知函数为增函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
技法点拨06 利用导数求函数的极值或极值点
【典例1】（25-26高三上·云南·阶段检测）函数的极小值为（ ）
A．B．0C．2D．4
【典例2】（25-26高三上·湖南湘西·阶段检测）已知函数的定义域为，若，则的极大值点为（ ）
A．B．0C．1D．2
技法点拨07 已知函数的极值求参数
【典例1】（2026·河北·二模）已知函数的极值点为0，则（ ）
A．0B．C．D．
【典例2】（25-26高三上·河北沧州·阶段检测）若函数恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
技法点拨08 利用导数研究函数的最值
【典例1】（25-26高三下·海南·阶段检测）函数在上的最小值为______．
【典例2】（25-26高三下·云南·阶段检测）已知函数，在上的最小值为，则的最大值为_____________．
易错点01 复合函数求导“漏层”或“错层”致错
【典例1】（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）函数的导函数（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）函数的导数为（ ）
A．B．
C．D．
易错点02 误解“导数为0”与“有极值”的关系
【典例1】（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）

A．有2个极值点B．在处取得极大值
C．在上单调递增D．有极小值，没有极大值
【典例2】（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，下列选项中正确的有（ ）
A．函数必有极值B．函数必有最值
C．函数必有零点D．函数必为非奇非偶函数
易错点03 误解“导数符号”与“函数单调性”关系
【典例1】（25-26高三上·安徽·阶段检测）设函数在区间上单调递减，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．3
【典例2】（2026·江西九江·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
易错点04 误解导数正负与函数图象升降关系
【典例1】（2026·广东广州·三模）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中最有可能为图象的是（ ）

A． B．
C． D．
【典例2】（2026·广东东莞·二模）已知函数的图象如图所示，则其导函数图象可以是（ ）
A．B．
C．D．
优题精练·专题实战通关
一、单选题
1．（2026·河南信阳·二模）已知函数，则（ ）
A．B．2C．3D．6
2．（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知函数，则曲线在处的切线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
3．（25-26高三上·福建·期中）若函数的极大值为，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
4．（25-26高三上·辽宁大连·期中）若函数有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（25-26高三上·湖北黄冈·阶段检测）已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（ ）
A．的极大值点为1，无极小值点B．的极小值点为1，无极大值点
C．的极大值点为0，极小值点为1D．的极小值点为0，极大值点为1
6．（2026·江苏南京·模拟预测）若函数在区间内存在最小值，则实数a可以取（ ）
A．0B．2C．4D．6
7．（2026·山西忻州·模拟预测）设，若函数在上恰有一个零点，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2026·山东聊城·模拟预测）已知函数在上有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（25-26高三上·河北石家庄·阶段检测）下列求导运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2026·湖南·一模）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点
B．当时，
C．的零点个数为3
D．不等式的解集为且
11．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知函数，则（ ）
A．在内单调递增
B．当方程有三个不等的实根时，
C．当不等式恰有三个不等的正整数解时，
D．当过点可作曲线的三条切线时，
三、填空题
12．（25-26高三上·四川成都·阶段检测）若在上单调递增，则的取值范围是________．
13．（25-26高三上·四川自贡·期末）若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是______.
14．（2026·广东肇庆·二模）已知函数的定义域为，且，若，则不等式的解集为__________.（结果用区间表示）
四、解答题
15．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若在上的最小值为，求的值．
16．（25-26高三下·云南·阶段检测）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)判断函数的零点个数；
(3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值．原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs_x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a>0且a≠1)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax(x>0，a>0且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x (x>0)
f′(x)＝eq \f(1,x)
（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；
（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；
（3）导函数多个零点时大小的讨论．
一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
1、，
2、，
3、，
4、，．
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有成立，故．
利用导数确定函数零点的常用方法
1、图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需要使用极限）；
2、利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．
关系式为“加”型构造：
构造
（2） 构造
（3） 构造
（4）构造（注意的符号）
（5） 构造
关系式为“减”型构造：
（6） 构造
（7） 构造
（8） 构造
（9）构造（注意的符号）
（10） 构造．
瞬时变化率的变形形式
lim∆x→0fx0+∆x−f(x0)∆x=lim∆x→0fx0−∆x−fx0−∆x=lim∆x→0fx0+n∆x−f(x0)n∆x=lim∆x→0fx0+∆x−f(x0−∆x)2∆x=f'(x0)．
求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率
第二步（写方程）：用点斜式
第三步（变形式）：将点斜式变成一般式．
求曲线“过”某点处的切线方程步骤
第一步：设切点为；
第二步：求出函数在点处的导数；
第三步：利用Q在曲线上和，解出及；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为．
公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解．
（1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立；
（2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立；
（3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点
（4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点．
利用导数求函数极值的方法步骤
（1）求导数；
（2）求方程的所有实数根；
（3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如何变化．
①如果的符号由正变负，则是极大值；
②如果由负变正，则是极小值．
③如果在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点．
根据函数的极值点个数求解参数范围问题的一般思路：
根据函数的极值点个数求解参数范围问题的一般思路先求解出，然后分析的根的个数：
①分类讨论法分析的根的个数并求解参数范围；
②参变分离法分析的根的个数并求解参数范围；
③转化为两个函数的交点个数问题并求解参数范围．
函数在区间上连续，在内可导，则求函数最值的步骤为：
（1）求函数在区间上的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值；
（3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点．
辨析：多层复合函数求导时容易遗漏中间变量的导数、抽象复合函数求导符号错误，求导前先拆分复合层次按“由外及内，逐层求导，乘积相连”的链式法则分步书写．
辨析：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条件是两侧异号．
辨析：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件．
辨析：解答此类题的关键是抓住①导函数的零点与原函数的极值点关系——极值点的导数值为0；②导函数值的符号与原函数单调性的关系——原函数看增减，导函数看正负．