专题05 指对幂函数及其应用（针对训练）-2023年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第5练  指对幂函数及其应用

学校____________          姓名____________          班级____________

一、单选题

1．已知，则（       ）

A．6 B．8 C．12 D．16

【答案】B

【详解】

因为，所以，所以.

故选：.

2．设，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

解：由题意得：

故选：D

3．函数 的图象大致为（     ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

由，定义域为

，

所以函数为奇函数，故排除BD；

当时，；当时，函数的增长速度比的增产速度快，所以，故排除C；

故选：A

4．1947年，生物学家Max Kleiber发表了一篇题为《body size and metabolicrate》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的次幂成正比，即，其中F为基础代谢率，M为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率为原来的（参考数据：）（       ）

A．5.4倍 B．5.5倍 C．5.6倍 D．5.7倍

【答案】C

【详解】

设该哺乳动物原体重为、基础代谢率为，则，

经过一段时间生长，其体重为，基础代谢率为，则

则，则

故选：C

5．已知函数，则关于的方程有个不同实数解，则实数满足（       ）

A．且 B．且

C．且 D．且

【答案】C

【详解】

令，作出函数的图象如下图所示：

由于方程至多两个实根，设为和，

由图象可知，直线与函数图象的交点个数可能为0､2､3､4，

由于关于x的方程有7个不同实数解，

则关于u的二次方程的一根为，则，

则方程的另一根为，

直线与函数图象的交点个数必为4，则，解得.

所以且.

故选：C.

6．浮萍是我国南方常见的一种水生植物，生长速度非常快．最快每30个小时浮萍铺在水面的面积就可以扩大为原来的2倍．李大爷承包了一块面积为3亩（1亩≈666.7平方米）的鱼塘，为养殖草鱼购买了一些浮萍．最初，浮萍铺在水面上大约有1平方米，如果浮萍始终以最高效繁殖，大约（       ）天后，浮萍可以铺满整个鱼塘．（不考虑草鱼对浮萍的损耗．结果四舍五入到整数，参考数据：）

A．12 B．14 C．16 D．18

【答案】B

【详解】

由题，鱼塘面积共平方米，浮萍天后在水面上的面积大约有平方米，故浮萍铺满整个鱼塘的天数满足，两边取对数化简有，解得，故大约14天后，浮萍可以铺满整个鱼塘

故选：B

7．设为指数函数（且），函数的图象与的图象关于直线对称．在，，，四点中，函数与的图象的公共点只可能是（       ）

A．点P B．点Q C．点M D．点N

【答案】D

【详解】

由题意，知．逐一代入验证，

点代入中，求得：，不合要求，舍去；

点代入中，解得：，将代入中，，Q点不在上，不合要求，舍去；

点代入中，解得：，将代入中，，解得：，故与矛盾，舍去；

代入中，，解得：，将代入中，，解得：，满足题意.

故仅点N可能同时在两条曲线上．

故选：D．

8．甲、乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为x＝－2或，乙写错了常数c，得到的根为x＝0或x＝1，则原方程的根是（       ）

A．x＝－2或 B．x＝－1或x＝1

C．x＝0或x＝2 D．x＝－1或x＝2

【答案】D

【详解】

方程，即

设，即转转为方程

甲写错了常数b，得到的根为x＝－2或，即甲得到的根为

则，所以

乙写错了常数c，得到的根为x＝0或x＝1，即乙得到的根为

所以，所以

所以方程为，解得或，即，或

解得或

故选：D

二、多选题

9．下列函数在定义域内既是奇函数又是减函数的有（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【详解】

，定义域是R，BCD三个选项中函数定义域都是R，

A中函数是奇函数，B中函数，是奇函数，

C中函数，是奇函数，

D中函数，，是奇函数，

A中函数在定义域内不是减函数，

B中函数由于是减函数，是增函数，因此是减函数，

C中函数，时，递增，递增，递增，所以递增，不是减函数，

D中，时，是减函数，由于其为奇函数，因此在上也递减，从而在定义域内递减，

故选：BD．

10．若，则（　　）

A． B．

C．  D．

【答案】AD

【详解】

解：令，因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以在定义域上单调递增，由，即，所以，故A正确；

因为在定义域上单调递减，所以，故D正确；

当，，满足，但是，故B错误；

当，，满足，但是，故C错误；

故选：AD

11．已知，且，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【详解】

由题设，，则(仅等号成立)，可得，

由，即，则，A正确；

由，即，B错误；

由，C正确；

由，当且仅当时等号成立，D错误；

故选：AC

12．在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【详解】

当时，在单调递增且其图象恒过点，

在单调递增且其图象恒过点，

则选项B符合要求；

当时，在单调递减且其图象恒过点，

在单调递减且其图象恒过点，

则选项D符合要求；

综上所述，选项B、D符合要求.

故选：BD.

三、填空题

13．已知函数，则______．

【答案】11

【详解】

由于，，，从而

．

故答案为：11．

14．已知是定义在上的函数，对任意实数都有，且当时，，则______．

【答案】##

【详解】

因为，则，故可得，

故的一个周期为，则，

对，令，故可得.

即.

故答案为：.

15．幂函数在上单调递增，在上单调递减，能够使是奇函数的一组整数m，n的值依次是__________．

【答案】1，（答案不唯一）

【详解】

因为幂函数在上单调递增，所以，

因为幂函数在上单调递减，所以，

又因为是奇函数，所以幂函数和幂函数都是奇函数，所以可以是，可以是.

故答案为：1，（答案不唯一）.

16．已知定义域为的奇函数，当x>0时，有，则______．

【答案】0

【详解】

上的奇函数，则有，而当x>0时，有，

于是有，，，

因，，则有，，

所以.

故答案为：0

四、解答题

17．已知函数．

(1)若，求函数的定义域．

(2)若函数的值域为R，求实数m的取值范围．

(3)若函数在区间上是增函数，求实数m的取值范围．

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【解析】(1)

由题设，，则或，

所以函数定义域为.

(2)

由函数的值域为R，则是值域的子集，

所以，即.

(3)

由在上递减，在上递增，而在定义域上递减，

所以在上递增，在上递减，

又在上是增函数，故，可得.

18．已知函数是奇函数.

(1)求a的值并判断函数的单调性（不需要证明）；

(2)若对任意的实数t，不等式恒成立，求实数k的取值范围.

【答案】(1)，是R上的增函数；(2)．

【解析】

(1)

因为函数是奇函数，定义域为R，所以，令，有，即，经检验符合题意，

所以，又因为函数在R上递增，函数在R上递减，所以函数是R上的增函数．

(2)

不等式可化为，由函数是R上的增函数，所以，即，而，所以，故实数k的取值范围为．