重难点培优02 抽象函数性质的应用 2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）

这是一份重难点培优02 抽象函数性质的应用 2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版），共4页。
01 \l "_Tc13284" 知识重构·重难梳理固根基 PAGEREF _Tc13284 \h 1
02 \l "_Tc23799" 题型精研·技巧通法提能力 PAGEREF _Tc23799 \h 3
\l "_Tc3045" 题型01 抽象函数的定义域、值域（★★★） PAGEREF _Tc3045 \h 3
\l "_Tc29721" 题型02 抽象函数的求值（★★★★） PAGEREF _Tc29721 \h 6
\l "_Tc16948" 题型03 抽象函数的单调性（定义法）（★★★） PAGEREF _Tc16948 \h 9
\l "_Tc21166" 题型04 抽象函数的奇偶性（★★★） PAGEREF _Tc21166 \h 12
\l "_Tc17424" 题型05 抽象函数的对称性（★★★★★） PAGEREF _Tc17424 \h 14
\l "_Tc3563" 题型06 抽象函数的周期性（★★★★★） PAGEREF _Tc3563 \h 18
\l "_Tc769" 题型07 抽象函数的解析式应用（熟记可用于秒杀）（★★★★） PAGEREF _Tc769 \h 22
03 \l "_Tc29417" 实战检测·分层突破验成效 PAGEREF _Tc29417 \h 26
\l "_Tc1496" 重难知识巩固 PAGEREF _Tc1496 \h 26
\l "_Tc17384" 创新能力提升 PAGEREF _Tc17384 \h 39
知识重构·重难梳理固根基
\l "_Tc25045" 知识点01 常见的抽象函数模型（熟记可用于秒杀）
【反比例函数模型】
反比例函数：，则，
【一次函数模型】
模型1：若，则；
模型2：若，则为奇函数；
模型3：若则；
模型4：若则；
【指数函数模型】
模型1：若，则；
模型2：若，则；
模型3：若，则；
模型4：若，则；
【对数函数模型】
模型1：若，则
模型2：若，则
模型3：若，则
模型4：若，则
模型5：若，则
【幂函数模型】
模型1：若，则
模型2：若，则
代入则可化简为幂函数；
【正弦函数模型】
对于正弦函数 ，与其对应的抽象函数为
注： 此抽象函数对应于正弦平方差公式：
【余弦函数模型】
对于余弦型函数 ，涉及2种余弦的和差化积公式
1、公式一：
其抽象函数模型是：
2、公式二：
其抽象函数模型是：
3、若，则
【正切函数模型】
模型：若，则
2、其他技巧
（1）观察不等式两端的特点，化为同类函数；
（2）借助函数的单调性，脱掉“”；
（3）注意定义域及单调区间，特别是对数函数中真数大于0.
题型精研·技巧通法提能力
题型01 抽象函数的定义域、值域
1．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据复合函数定义域的求法求解即可.
【详解】设，则可化为.
因为定义域为，即，则中的，
即，解得.
所以的定义域为.
2．若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出的定义域为，再由求解即可．
【详解】因为函数的定义域为，
所以，所以的定义域为，
则函数有意义，
有，得，得，
则函数的定义域为：，
故选：D
3．（24-25高三下·湖南长沙·阶段检测）已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】D
【分析】令，求得，得到的定义域为，再结合函数图象变换，得到与函数的值域相同，即可得到答案.
【详解】由函数的定义域和值域分别为和，可得和，
令，解得，所以函数的定义域为，
又由函数的图象向左平移个单位，得到的图象，
所以函数与函数的值域相同，即.
故选：D.
4．已知函数的定义域是，则的定义域是__________．
【答案】
【分析】先由抽象函数的定义域的求法求出的定义域，然后求解即可.
【详解】函数的定义域是，
所以，于是，
所以的定义域为，
由，解得，
故的定义域为，
故答案为：
5．已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是_________.
① ②
③ ④
【答案】①③
【分析】根据各选项中图象变换的特征可得值域为的函数的序号.
【详解】对于①，的图象可看作由的图象向左平移一个单位得到的，
值域不变，①正确；
对于②，由，得，
即的值域为，②错误；
对于③，函数与函数的图象关于轴对称，
则函数的值域与函数的值域相同，为，③正确；
对于④，由，得，
即的值域为，④错误.
故答案为：①③.
题型02 抽象函数的求值
1．（2026·福建福州·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A．34B．35C．36D．37
【答案】B
【详解】在中，且，
令，得，
令，得，
令，得.
2．（24-25高三上·广东·开学考试）已知函数满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用赋值法对进行合理取值，即可得出选项中各函数值，得出结论.
【详解】令得；
令得，所以；
令得，所以；
令得，所以；
令4得.
综上只有正确.
故选：A
3．（25-26高三上·天津红桥·期末）已知函数满足且， （ ）
A．682B．684
C．686D．688
【答案】A
【分析】根据给定条件，依次求出，再求出和即可.
【详解】由函数满足且，得，
，
所以.
故选：A
4．（2025·河北·模拟预测）已知函数的定义域为，，，都有，且，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】赋值法得到，，，，从而
【详解】因为，，所以，
又，有，
又由，有，故，
．
故选：A．
5．（25-26高三上·湖北黄冈·阶段检测）已知定义域为的函数满足，则（ ）
A．102B．101C．100D．99
【答案】B
【分析】令得或1，验证后得到不成立，满足要求，此时，从而得到答案.
【详解】中，令得，
解得或1，
令得，若，上式整理得，
但不一定等于0，故不成立，
若，则，
此时，
，满足，满足要求，
故.
故选：B
6．（2025·重庆·三模）已知定义在上的函数满足对任意的. 则（ ）
A．B．0C．2D．1
【答案】C
【分析】赋值分别令、可得，再令即可得解.
【详解】因为对任意的，
令，则，即；
令，则，即；
可得，
令，则，解得.
故选：C.
7．定义在上的函数满足条件①，，②，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令求出，即可求出，再令求出，最后根据计算可得.
【详解】，，令，得，
又，，，
再令，，，
.
故选：B
题型03 抽象函数的单调性（定义法）
1．已知定义在上的函数满足条件：
①对定义域上任意，都有；②当时，．
(1)求证：；
(2)求证：在上单调递增．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用赋值法可得答案；
（2）设，利用已知结合单调函数的定义可得答案．
【详解】（1）令得，
令，则，即；
（2）设，则，故，
因为，
所以，即在上单调递增．
2．设函数的定义域为，且满足，，又当时，．
(1)判断的奇偶性；
(2)证明在上是增函数；
(3)解不等式．
【答案】(1)奇函数
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）对于奇偶性，利用赋值法找到与关系；
（2）证明单调性根据定义设，，比较与大小；
（3）解不等式先利用已知求出，再结合函数单调性求解.
【详解】（1）令，得，．
令，则，
即，
，
即函数是奇函数；
（2）设，，，
在上是增函数；
（3），，
，
由单调性得，解得．故不等式解集为
3．函数的定义域为，且对一切都有，当时，有．
(1)求的值；
(2)判断的单调性并证明；
【答案】(1)0
(2)在上是增函数，证明见解析
【分析】（1）令，代入可求；
（2）设，由，得，可证在上是增函数．
【详解】（1）．
（2）在上是增函数．
证明：设，则由，
得，
因为，所以．
所以，即，
即在上是增函数．
4．澄城县某中学数学兴趣小组研究一个定义在区间的函数；发现他们满足两个条件：①对于任意的，都有；②时，
(1)的值为多少
(2)证明：在上是增函数
(3)设；解不等式．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）赋值，代入求值；
（2）根据函数单调性的定义，，再计算的正负，即可证明；
（3）根据函数的定义域求的取值范围，再讨论，，和三种情况，结合函数的单调性，即可求解不等式.
【详解】（1）令，得，解得：；
（2）任取，，而且．
由①得．，；
又因为，，所以，则．因此．
由②得．
在递增
（3），得，
当，，左边，不满足
当（且）则；
所以
当，则，不满足
综上：不等式的解集为．
题型04 抽象函数的奇偶性
1．（25-26高三下·重庆·开学考试）已知是偶函数，当，时，，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【详解】令，则，得，
又因是偶函数，故．
2．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知定义在R上的奇函数，满足当时，，且，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【分析】根据给定条件，赋值后与条件联立求出，进而求出，再利用奇函数性质计算即得.
【详解】当时，，则，且，
又，联立解得，因此，
又是R上的奇函数，所以.
故选：A
3．已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．1B．C．2024D．
【答案】B
【分析】先应用赋值法得出函数对称性进而得出得出周期，结合对数运算计算求值.
【详解】令，则，
因为，所以，令，得，
所以.
令，则，
则，
则，
令，得，所以，
则.
故选:B.
4．定义在上的函数对任意、都有．
(1)求的值；
(2)判断函数的奇偶性，并证明．
【答案】(1)0
(2)
函数的定义域为,
令，则，
因为，所以即.
所以函数为奇函数.
【分析】（1）令可求的值.
（2）令可判断函数的奇偶性.
【详解】（1）令，则.
（2）略
5．已知函数的定义域为，对任意都有，且，判断的奇偶性．
【答案】偶函数
【分析】通过赋值找到与的关系，从而确定奇偶性.
【详解】令，则，即，
∵，解得．
再令，则，移项可得，
∴是偶函数．
题型05 抽象函数的对称性
1．已知对任意实数x，y，函数(不是常函数）满足，则（ ）
A．有对称中心B．有对称轴
C．是增函数D．是减函数
【答案】B
【分析】依题意取特值即可求解.
【详解】令，得，∴；
令，得，∴；
令，得，
∴的图象关于直线关于对称，
故选：B.
2．已知连续函数的定义域为，若，且，则函数的图象的对称轴为直线（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令得，应用特殊值及排除法确定正确选项.
【详解】由题设，
令，则，且，
若，则，显然，A排除；
若，则，显然，B排除；
若，则，显然，C排除；
故选：D
3．（2024·甘肃庆阳·一模）已知函数的定义域为R，，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．是奇函数
C．D．的图象关于点对称
【答案】D
【分析】利用赋值法可得，即可判断A，利用，即可根据奇函数的定义判断B，结合奇函数的性质，即可求解C，利用可判断的图象关于点对称，即可判断D.
【详解】对于A，取，则，
即，得，故A正确；
对于B，取，则，
得，故是奇函数，B正确；
对于C，对任意的都有，
可得，即，
因此，故C正确；
对于D，由于，
因此的图象关于点对称，故D错误.
故选：D.
4．（多选题）设函数满足：对任意实数、都有,且当时，.设.则下列命题正确的是（ ）
A．B．函数有对称中心
C．函数为奇函数D．函数为减函数
【答案】ABC
【分析】令，可得，再令，判断选项A；令，即可判断选项B；由，判断选项C；令,利用函数的单调性定义进行判断选项D.
【详解】由对于任意实数， ，
令，则，即,
再令,则，
即，故A正确;
令，则，即，故B正确；
由，则，即是奇函数，故C正确；
对于任意,则，当时，，则，所以单调递增，即单调递增，故D错误.
故选：ABC
5．（多选题）（2026·安徽安庆·一模）已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（ ）
A．
B．是偶函数
C．的图象关于点中心对称
D．
【答案】ABD
【分析】利用赋值法结合函数奇偶性的判断可判断选项A、B，利用函数对称性结合特殊值以及运算规律判断C、D.
【详解】对于A，令，则，又，
所以，解得：，故A正确；
对于B，令，则，
即，
又函数的定义域为关于原点对称，所以是偶函数，故B正确；
对于C，若的图象关于点中心对称，则，
由，不符合题意，故C错误；
对于D，令，则，
即，
所以，
，
，
，
所以
，故D正确.
6．（多选题）（2025·贵州遵义·模拟预测）已知定义域为的函数满足：，且，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．是偶函数
C．
D．的图象关于直线对称
【答案】AC
【分析】对于A：令代入运算即可；对于B：令，结合函数奇偶性的定义分析判定；对于C：令，整理可得，进而运算求解；对于D：举反例说明即可.
【详解】因为定义域为的函数满足，且，
对于选项A：令，则，
即，所以，故A正确；
对于选项B：令，则，
即，即，
所以是奇函数，故B错误；
对于选项C：因为是奇函数，则，
令，则，
即，
若，则；
若，则；
依此类推可得：，故C正确；
对于选项D：例如，
则，，
且，可知符合题意，
但的图象不关于直线对称，故D错误；
故选：AC.
题型06 抽象函数的周期性
1．已知函数的定义域为，且，．若对任意实数，都有，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】D
【分析】利用赋值可得到递推关系，再证明周期性，即可求解.
【详解】将用替换，由对任意实数，都有，
可得，
由，所以，即，
所以，所以函数的周期，
令，则，因为，
所以，所以．
故选：D
2．（2025·山东青岛·三模）已知函数的定义域为，，，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】C
【分析】令，得，为奇函数，令，得，进而得周期为4，可得解.
【详解】令，则，
为奇函数，
令，则
为奇函数，
，
的周期为4，所以.
故选：C
3．（2026高三下·浙江温州·专题练习）已知定义在R上的函数满足，，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】由题意得到，结合题干条件整合得到或，根据可知不满足，从而，最后由函数周期性解题即可.
【详解】因为，可得，
两式相减得，
即，故或，
又，则不满足，
所以，即的周期为2，所以.
故选：C.
4．已知定义在上的函数满足对任意的正数，，都有，若，则（ ）
A．12B．6C．D．
【答案】D
【分析】根据，令可得的值，令，可得，进而可得.令，可得，，即可求解.
【详解】∵对任意的正数，，都有，
∴令可得，解得；
令，可得，∴.
∴，即.
令，可得，∴.
故选：D.
5．函数满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，所以令，化简，得到，从而，联立两式求解出的周期为6，从而，即可求出.
【详解】由题意，取，
则，
即①，
所以②，
联立①②得，，
所以，
所以函数的周期为，
由，所以.
故选：C
6．（24-25高三上·广东广州·阶段检测）已知函数的定义域为R，且，，则（ ）
A．B．4C．0D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用赋值法求出，并探讨函数的性质，再结合周期性求值.
【详解】函数的定义域为R，且，，
则，则
于是，因此，即，
函数是以3为周期的周期函数，
取，得，即，解得，
取，得，即，解得，
因此，
所以原式.
故选：A
题型07 抽象函数的解析式应用（熟记可用于秒杀）
1．若，，则（ ）
A．50B．55C．99D．101
【答案】D
【分析】解法一：通过多次对赋特殊值，依次求出后，结合赋值推导；解法二：先令得到相邻自变量的函数值差的递推式，通过累加法建立与的关系求解；解法三：先根据函数方程和初始条件确定符合题意的具体函数解析式，直接代入计算结果.
【详解】解法一：（赋值）令得，所以；
令得，所以；
令得，所以；
令得，所以；
令，得，所以；
令，得，所以．
解法二：（赋值递推）令得，所以，
所以，累加得，
所以．
解法三：（抽象函数具体化）观察发现满足题意且，
所以．
2．已知函数对于任意的实数都有，且，则下列选项正确的是（ ）
A．B．为偶函数
C．在上单调递减D．为奇函数
【答案】B
【分析】首先赋值，求函数和的解析式，再根据函数的解析式，直接判断函数的性质.
【详解】令，则，且，所以，是非奇非偶函数，故D错误；
设，，，
则，，故A错误；
，所以是偶函数，且在上单调递增，故B正确，C错误.
故选：B
3．已知函数，任意，满足，且，则（ ）
A．B．0C．2D．4
【答案】C
【分析】根据题设条件，挖掘抽象函数的结构特征，吻合正弦平方差公式，合理联想并创新构建三角函数模型，并利用特殊函数值加以配凑对应函数的系数，借助特殊值法加以转化与应用，综合函数的基本性质加以分析与求解．
【详解】依题，吻合正弦平方差公式，
结合，构建特殊函数满足题设条件，
则知该函数是以4为周期的函数，也是一个奇函数，有，
依，可得，
则，
所以.
4．（多选题）已知函数的定义域为，对任意的正实数，都有，且当时，，，则（ ）
A．
B．
C．在区间上单调递减
D．不等式的解集为
【答案】ABD
【分析】利用赋值法即可判断出选项A、B，根据单调性的判断方法分析选项C，结合已知条件及函数单调性求解不等式即可判断出选项D.
【详解】选项A，令，得，因此，故A正确；
选项B，令，得，因此，
由，得，
令，得，故B正确；
选项C，设，，且，则，因为，所以，所以，
所以在区间上单调递增，故C错误；
选项D，不等式可化为，
所以，解得，故D正确.
故选：ABD
5．写出同时满足条件“①函数为增函数，②”的一个函数_____．
【答案】(答案不唯一)
【分析】由指数函数及幂运算性质即可判断.
【详解】由题意，指数函数均满足①②.
故答案为：(答案不唯一)
6．写出一个同时具有性质①对任意，都有；②的函数________.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据函数的单调性，结合及常见的函数特点即可得结果.
【详解】因为对任意，都有，即函数在内单调递减，
由于，即可取，
故答案为：（答案不唯一）.
7．已知函数的定义域为R，且，，请写出满足条件的一个______（答案不唯一）．
【答案】1,（答案不唯一）
【分析】根据所给条件分析函数为偶函数，取特殊函数可得答案.
【详解】令，则，
又，
所以，即，
所以函数为偶函数，
不妨取偶函数，则，
也可取，则，满足题意.
故答案为：,（答案不唯一）
8．已知函数的定义域为，且，则__________，__________.
【答案】
【分析】令，可求得的值；通过令以及令可求得的解析式，由此可求的解析式，则可求.
【详解】令，得，则；
令，得，得，
令，得，
即，所以，
所以，
故答案为：；.
实战检测·分层突破验成效
重难知识巩固
1．（25-26高三上·江西·阶段检测）已知定义在上的函数满足，则（ ）
A．0B．1C．2D．-2
【答案】A
【分析】通过赋值法先求出，继而求得.
【详解】由得，
令，则，得；
令，则，得；
令，则，得.
故选：A.
2．（2025·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出的定义域，根据函数有意义，结合抽象函数定义域的求法和对数函数的定义域，可得出关于的不等式组，解不等式组即可求出答案.
【详解】由的定义域为，得的定义域为.
所以或，
综上，的定义域为.
故选：C.
3．如果且，则的值为（ ）
A．1012B．2024C．1013D．2026
【答案】D
【分析】根据已知得到，结合目标式求值即可.
【详解】因为，所以，又，所以，
则.
故选：D
4．已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】C
【分析】应用抽象函数定义域性质计算求解，应用函数值域计算判断.
【详解】函数的定义域为，即，所以，
因此函数的定义域为；
由函数的值域为，得函数的值域为，
即，则，故函数的值域为．
故选：C．
5．（2025·湖北·三模）已知定义在正整数集上的函数满足，且有，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据新定义函数，直接赋值即可求解.
【详解】取，得，
又，故．
取，得，即．
对正整数x，，
累加，得，,
故选：D．
6．已知函数的定义域为，，则（ ）
A．B．函数是奇函数
C．若，则D．函数在单调递减
【答案】B
【分析】对A，赋值法令求解；对B，赋值法结合奇函数的定义判断；对C，令求得函数的周期求解；对D，利用单调性定义结合赋值法求解判断.
【详解】对于A，令，可得，解得，故A错误；
对于B，令，可得，又，
则，所以函数是奇函数，故B正确；
对于C，令，得，则是周期函数，周期为2，所以，故C错误；
对于D，令，，且，则，
即，而时，与2大小不定，故D错误.
故选：B.
7．（2025·江苏南通·模拟预测）设是定义在上的函数，对，有，且，则（ ）
A．2B．-2C．1D．-1
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用赋值法探讨函数的周期，再求出函数值.
【详解】函数，对，有，
取，得，而，则，
对，令，得，
即，因此，函数周期为4，
令，得，而，则，
所以.
故选：A
8．对于任意的，都有，且，则下列等式不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】应用赋值法计算判断A，C，应用 特殊函数计算判断B，多次应用已知条件计算判断D.
【详解】令，有，且，得，A成立；
令，得，C成立；
不妨设，满足，则，B不成立；
，D成立．
故选：B．
9．（24-25高三上·浙江·期中）已知是定义在上且不恒为的连续函数，若，，则（ ）
A．B．为奇函数
C．的周期为D．的值域为
【答案】D
【分析】对于A，B，C利用赋值法即可判断，对于D，令和，再结合函数的对称性即可判断.
【详解】令得，因为不恒为，所以，所以A错误；
令得，得，则为偶函数，所以B错误；
令得，
则，
则，得周期为，所以C错误；
令得，，即，
令得，即关于中心对称
，即，
所以，所以D正确.
故选：D.
10．（2025·福建泉州·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．B．方程有解
C．D．
【答案】C
【分析】根据抽象函数式，一般考虑赋值法，利用函数的单调性，奇偶性，累加法、累乘法推理计算即可.
【详解】因和，
对于A，令，则，即，故A错误；
对于B，令，则，可得，
令，当时，则，
即，，，，
则
，
其中也符合，因，故方程无实数解，即B错误；
对于C，令，则，得到，
由，则C正确；
对于D，与不能恒相等，故D错误.
故选：C.
11．已知是上的连续函数，满足有，且.则下列说法中正确的是（ ）
A．B．为奇函数
C．的一个周期为8D．是的一个对称中心
【答案】D
【分析】对中分别赋值，得出，进一步研究函数的奇偶性与对称性，对选项逐一分析即可.
【详解】对于A选项，由题，令，则
，故A不正确；
对于B选项，令，则，即，则为偶函数，故B不正确；
对于C选项，令，则，
故，两式相加整理得：即
故，故的一个周期为6，
则，故的一个周期为8不成立，C不正确，
对于D选项，由且为偶函数，故，
所以是的一个对称中心，故D正确；
故选：D.
12．函数的定义域为，若，则（ ）
A．－2B．－4C．2D．4
【答案】C
【分析】方法一，利用赋值法来证明函数的周期性和特殊函数值，即可判断，
方法二，是利用特例函数来满足条件，即可得结论.
【详解】方法一：利用赋值法，
令，则，所以．
令，，则，所以．
令，则．
令，则．
所以，
若恒成立，则与题设条件矛盾，所以不恒为0，
所以，所以，
所以，所以4为的一个周期，
所以．令，得，
又，所以，，所以，
故选：C．
方法二：举满足条件的特例函数，即令，
检验得，且，符合题意，
所以，
故选：C．
13．（多选题）（2024·广西柳州·模拟预测）已知函数的定义域为R，且，若，则（ ）．
A．B．
C．为减函数D．为奇函数
【答案】ABD
【分析】利用已知条件，结合赋值法，即可求解．
【详解】，时，，，
而，∴，
，时，，
∴，∴，故B正确；
令，，，
令，，故A正确；
，是奇函数，故D正确．
令，则，为增函数，故C错误．
故选：ABD.
14．（多选题）（2026·河北衡水·一模）已知函数的定义域为，且对任意实数，，恒成立，则（ ）
A．B．的最小值为
C．D．的图象关于点对称
【答案】ABD
【详解】令，得，
以替代，得，
消去，得.
再令，得，即，
所以，即，
则，，A正确，C错误.
而，
当时，取得最小值，且最小值为，B正确.
因为，
所以的图象关于点对称，D正确.
15．（多选题）（2024·山西阳泉·三模）已知定义在上的函数满足，则（ ）
A．是奇函数B．在上单调递减
C．是偶函数D．在在上单调递增
【答案】AB
【分析】令，求出，令，求出，再分别令和，即可求出函数的解析式，进而可得函数性质.
【详解】定义在上的函数满足，
令，则，所以，
令，则，所以，
令，则，
所以，
令，则，所以，
因为，且定义域关于原点对称，所以函数是奇函数，
由反比例函数的单调性可得函数在和上单调递减.
故选：AB.
16．（多选题）（24-25高三上·重庆渝中·阶段检测）若定义在上的函数满足：对任意都有且，则下列结论一定正确的是（ ）
A．点是图象的一个对称中心B．点是图象的一个对称中心
C．是周期函数D．
【答案】ABD
【分析】A选项，分别令和令，得，可判断结论；B选项，分别令和令，得，可判断结论；C选项，当满足已知，不符合结论，可判断；D选项，令，证得时是3为首项1为公差的等差数列，可求.
【详解】令，则，有，
令，则，得，
又，所以点是图象的一个对称中心，故A正确；
令，则，
令，则，又，
所以点是图象的一个对称中心，故B正确；
设，符合题意，但不是周期函数，故C错误；
令，有，则，
令，有，，
所以时是3为首项1为公差的等差数列，
这样，故D正确.
故选：ABD
17．（多选题）（25-26高三上·河南南阳·期末）定义域为的函数满足：①，②的图象过点，则（ ）
A．B．为偶函数
C．的图象关于点中心对称D．
【答案】AC
【分析】先结合利用赋值法求得判断A；再利用赋值法和偶函数的定义判断B；令得即可判断C；根据，利用累加法求得判断D.
【详解】因为，
对于A，令，，则，
又因为的图象过点，所以，所以，解得，故A正确；
对于B，令，则，由A可知，所以，
所以，故为奇函数，故B错误；
对于C，令，则，
即的图象关于点中心对称，故C正确；
对于D，由于且为奇函数，则有，
即，所以，
故D错误.
故选：AC.
18．（多选题）已知函数的定义域为，，若，且不恒为，则（ ）
A．
B．的图象关于直线对称
C．为奇函数
D．
【答案】AD
【分析】令求出的值，可判断A选项；利用可判断C选项；令，可推导出函数是周期为的周期函数，计算、、、的值，可判断BD选项.
【详解】对于A选项，令，可得，
因为不恒为，所以，选项A正确；
对于C选项，因为函数的定义域为，且，故函数不是奇函数，选项C错误；
对于BD选项，若，令，有，
于是，所以，
因此是周期为的周期函数，
此时，，，
因为，选项B错误，
因为，
故，选项D正确，
故选：AD.
19．（多选题）（2026·山西·二模）已知函数满足对于任意的，都有，且，则以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．是偶函数D．关于对称
【答案】ACD
【分析】先赋值求出并利用舍去，得判定A正确；再令推出，知函数为偶函数，C正确；令得到递推式，递推推出周期为6，算出一个周期内函数值和为0，由求出前2026项和为，故B错误；利用周期推论与偶函数性质，验证得函数关于中心对称，D正确.
【详解】方法一:
对于A,令,得，整理得，故或.
若，令，则，即恒成立，这与矛盾，故，A正确；
对于C，令，因，则，即，故是偶函数，C正确.
对于B，令，则，即.
由此递推：，
则，
于是，故的一个周期为.
又，，，
，，
，，
则
因，
故,B错误.
对于D，由C项知，则，又是偶函数，有，
即，而，
故，即，故关于对称，D正确.
方法二:令函数,由余弦型函数的性质可判断ACD均正确, 函数最小正周期,与方法一同理计算可知
20．（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知定义在上的函数满足：.，.
(1)证明：函数在上单调递增；
(2)证明：曲线是中心对称图形，并求其对称中心.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析，对称中心为.
【分析】（1）利用单调性的定义即可得证；
（2）令得，令得，令，得，进而得的对称中心，即可得，进而求解.
【详解】（1）证明：，，
令，则，，，
∵，∴，，∴单调递增；
（2）（2）令，则，
令，则，，
令，则有，
∴为奇函数，图象关于对称，
∵，∴曲线是中心对称图形，对称中心为.
21．已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，．
(1)判断函数的奇偶性并用定义证明；
(2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明；
(3)解不等式：．
【答案】(1)
函数是奇函数，
证明：令，则，解得，
令，则，令，则．
为定义在上的奇函数．
(2)
函数在上单调递减，
证明：，设，则，
，
，，．
又，，
又当时，，由（1）知为定义在上的奇函数．
则当时，，，
，即，即，
在上单调递减；
(3)
【分析】（1）利用函数的奇偶性定义求解；
（2）利用函数的单调性定义证明；
（3）利用函的奇偶性和单调性求解即可.
【详解】（1）略
（2）略
（3）因为，
由（1）知为定义在上的奇函数，
则，
的定义域为且在上是单调递减的，
解得，
不等式的解集为．
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1．已知的定义域为，且对任意、，有，且当时，，则以下结论正确的个数是（ ）
①；②的图象关于点中心对称；
③在上单调；④当时，.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】取、可求出的值，可判断命题①的正误；当时，令，，由结合不等式的基本性质可判断命题④的正误；利用函数单调性的定义可判断命题③的正误；取，，结合基本不等式可判断命题②的正误.
【详解】对于①，对任意的，取可得，所以，，①对；
对于④，当时，令，，
此时，所以，，④对；
对于③，由题意可知，对任意的，，
任取、且，令，，可得，
所以，，则，，
故函数在上为增函数，③对；
对于②，令，，则，
由基本不等式可得，
因此，函数的图象不关于点对称，②错.
所以，正确命题的序号为①③④.
故选：C.
2．已知函数对于任意、，总有，且当时，，若，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】赋值法得到关于中心对称，在R上单调递增，，从而将不等式转化为，根据单调性得到不等式，求出答案.
【详解】，
令得，，
由于时，，令得，
故，即，
所以在上单调递增，
在中，令得，
令得，
故的图象关于中心对称，故在上单调递增，
又，且时，所以在R上单调递增，
由题意得，
故，
因为，中，
令得，所以，
由得，解得，
因此，不等式的解集为.
故选：D.
3．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知定义在R上的函数满足，对任意，有，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【分析】根据题干等式的函数性质，求出函数解析式，进而根据裂项求和法，求出结果.
【详解】在中，令，得，且，故；
令，得，所以．
所以，
所以.
故选：A．
4．（24-25高三上·福建厦门·阶段检测）定义域为的函数，对任意x，，，且不恒为0，下列说法中正确的是（ ）
A．B．为偶函数
C．D．若，则
【答案】B
【分析】A选项令可判断；B选项令即可得出结论；C选项假设即可得出结论；D选项对进行赋值，可得出函数的周期，即可求解.
【详解】对于A选项，令，则，
所以，所以或，
若，令，则原式变为，
所以，与“不恒为0”矛盾，所以，故A错误；
对于B选项，令，则原式变为，
所以，所以为偶函数，故B正确；
对于C选项，假设，满足，
此时，所以不成立，故C错误；
对于D选项，因为，所以，
令，，则，所以，
令，，则，所以，
令，，则，所以，
令，，则，所以，
令，，则，所以，
由此可知的周期为，一个周期内的函数值为，，，，
所以一个周期内的函数值的和为，
所以，故D错误.
故选：B.
5．（多选题）已知函数满足对于任意的，都有，且，则以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．是偶函数D．关于对称
【答案】ACD
【分析】先赋值求出并利用舍去，得判定A正确；再令推出，知函数为偶函数，C正确；令得到递推式，递推推出周期为6，算出一个周期内函数值和为0，由求出前2026项和为，故B错误；利用周期推论与偶函数性质，验证得函数关于中心对称，D正确.
【详解】方法一:
对于A,令,得，整理得，故或.
若，令，则，即恒成立，这与矛盾，故，A正确；
对于C，令，因，则，即，故是偶函数，C正确.
对于B，令，则，即.
由此递推：，
则，
于是，故的一个周期为.
又，，，
，，
，，
则
因，
故,B错误.
对于D，由C项知，则，又是偶函数，有，
即，而，
故，即，故关于对称，D正确.
方法二:令函数,由余弦型函数的性质可判断ACD均正确, 函数最小正周期,与方法一同理计算可知
6．（多选题）（25-26高三上·河南漯河·期末）设函数满足，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的图象关于中心对称
C．是函数的图象的一条对称轴
D．
【答案】AD
【分析】围绕函数，依据给定的等式关系，通过对不同变量赋值，来判断函数的奇偶性、周期性、对称中心以及计算函数值的和等性质.
【详解】令，得到，解得，故选项A正确；
令，得到，所以，
可得函数是一个偶函数，故选项B错误；
令，可得，
即，
令，则，可得是函数的一个周期，
当，可得，
即 ①
令时，可得 ②
由①+②得到，
因为，所以，
代入②得到，解得，
令，得到
即，即
又因为；即，所以函数关于点 中心对称；
因为是函数的一个周期，所以也是函数的对称中心，故选项C错误；
由前面分析得到，所以，所以，
因为是函数的一个周期且
所以 ，故选项D正确.
故选：AD.
7．（多选题）（24-25高三上·浙江金华·期末）已知定义域是的函数不恒为0，满足且则（ ）
A．B．
C．是函数的一条对称轴D．
【答案】ABD
【分析】利用代入法、结合函数的周期性逐一判断即可.
【详解】令时A正确；
令时解得或
若令得
因为不恒为0，所以B正确；
令可得
所以关于点对称，C不正确；
因为所以
令可得，
所以，
，
因为，
，
所以函数的周期为，
且一个周期内
因为
所以D正确.
故选：ABD
【技巧通法·提分快招】
抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.
【技巧通法·提分快招】
一般采用赋值法，0,1，x,-x是常见的赋值手段，或者是代入……，，……等特殊值求解；
【技巧通法·提分快招】
1、令式子中出现的变换判定单调性；
2、单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题
①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有
；
在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有
；
②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）；
③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有
；
关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有
；
④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
【技巧通法·提分快招】
令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性
【技巧通法·提分快招】
1、对称轴：或者 关于对称；
2、对称中心：或者 关于对称；
3、如果同时关于对称，又关于对称，则的周期
【技巧通法·提分快招】
1、换为确定周期性.
2、①若，则的周期为：
②若，则的周期为：
③若，则的周期为：（周期扩倍问题）
④若，则的周期为：（周期扩倍问题）
⑤，周期为，，周期为
⑥，周期为，周期为；，周期为；，周期为
⑦复合函数：的周期为，则的周期也为
⑧若的周期为，则、的周期均为