专题06 抽象函数大全培优归类（12题型）（含答案）2026年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）

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题型1 抽象函数基础：单调性型证明
1．（24-25云南昭通·模拟）已知函数的定义域为，且，若，则（ ）
A．B．C．为增函数D．为奇函数
【答案】C
【分析】利用赋值法求出、及的值，从而判断AB；令，结合的值，可得，从而判断CD.
【详解】对于A，令，则，
又因为，所以，
令，则，解得，故A错误；
对于B，令，则，又，
解得，故B错误；
对于C，令，则有，
又因为，所以，
所以函数为单调递增函数，故C正确；
对于D，由C可知，为非奇非偶函数，故D错误.
故选：C.
2．（24-25高三·河北保定·阶段练习）已知定义域为的函数满足，，且时，，则下列说法正确的（ ）
A．B．为减函数
C．为奇函数D．不等式的解集为
【答案】D
【分析】首先令得到，令，求出可判断A；当时，由可得进而确定单调性可判断B；令，结合得可判断C；根据的单调性和解不等式可判断D.
【详解】令，则，得，
对于A，令，则，故A错误；
对于B，若，则，此时，
所以，
即时，，所以为上的增函数，故B错误；
对于C，令，则，所以，
不满足，所以不是奇函数，故C错误；
对于D，因为为上的增函数，且，
所以当时，；当时，，
不等式的解集为，故D正确.
故选：D
3．（24-25高三安徽蚌埠·开学考试）已知函数的定义域为，对、，满足，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】令，且，则，利用函数单调性的定义推导出函数在上单调递减，计算得出，将所求不等式变形为，结合函数的定义域和单调性可得出关于的不等式组，解之即可.
【详解】因为函数的定义域为，对、，满足，
又当时，，令，且，则，则，
所以，所以在上单调递减，因为，所以，，
则不等式可化为，
所以，，解得．因此，不等式的解集为.故选：B.
4．（24-25高三·湖北武汉·模拟）已知函数的定义域为，对任意的，都有，当时，，且，若，则不等式的解集是（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】D
【分析】先由题设结合赋值法求出和，接着求出函数是单调递减函数，再利用函数单调性解不等式得，解该不等式即可得解.
【详解】因为对任意的，都有，，且，
所以，且，
设任意，则，则，
又，所以，
若，则当时，，则，矛盾，
所以，所以，所以函数是单调递减函数，
所以不等式等价于，所以，
故即，解得.
所以不等式的解集是.
故选：D
【点睛】关键点睛：解决本题的关键1是巧妙赋值求出求出和，关键2是由所给条件结合单调性定义求出函数是单调递减函数.
题型2 抽象函数基础：奇偶性型
1．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数满足：对于任意的x，，都有成立，且，则（ ）
A．2025B．2024C．1013D．1012
【答案】C
【分析】赋值法依次求出的值，以及关系式，进而推得，求出函数的周期.进而结合的值，可得出当i为偶数时，；当i为奇数时，根据二项式定理展开式得出除以4的余数为1，即可得出对应值，求和即可得出答案.
【详解】令时，因为，
所以.
令，
则，所以.
令，则，
所以，则，所以4为的一个周期.
又，
所以由周期性可知，即．
当i为偶数时，为偶数，所以；
当i为奇数时，设，
则
，
故被4除的余数为1，所以，
所以．
故选：C．
【点睛】方法点睛：求解与抽象函数有关的值时，常采用赋值法，代入计算.
2．（2025·甘肃定西·模拟预测）若定义在上的函数满足对任意均有，则称为“函数”.已知为“函数”，且，，则（ ）
A．B．0C．D．1
【答案】A
【分析】由新定义赋值得的图象关于直线对称，进一步赋值得为奇函数，是周期为8的周期函数，故只需求出的值即可.
【详解】令，则，所以；
令，则，
所以的图象关于直线对称；
令，则，
因为不恒成立，所以恒成立，所以为奇函数，
所以，所以，
所以是周期为8的周期函数，令，则，
解得，又为奇函数，所以，
所以.
故选：A.
3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则下列说法错误的是（ ）
A．为偶函数B．为周期函数且周期为12
C．D．
【答案】D
【分析】用代替，可得，可判断C；用替换，结合偶函数的性质可得A正确；用替换，结合偶函数的性质可得B正确；由函数的周期性可得D错误.
【详解】因为，用代替，可得，
令，得，即，
令，得，所以，C正确；
用替换，可得，所以，
所以函数为偶函数，A正确；
用替换，可得，
所以，所以，
所以，即．
所以，
故是以12为周期的周期函数，B正确；
，
所以；
，，，
所以，D错误.
故选：D.
4．（2025·山东·二模）已知定义在上的函数满足，且，则
A．B．0C．1D．2
【答案】D
【分析】利用赋值法可得是以4为周期的周期函数，利用周期性可得答案.
【详解】令，则，可得，
令，则，可得，
令，则，可得，
令，则，可得，
令，则，可得，
令，则，可得，
可得是以4为周期的周期函数，
则.
故选：D.
题型3 抽象函数基础：周期型
1．（2025·河北保定·一模）已知函数的定义域为，且为偶函数，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用赋值法可得，且为奇函数，再结合已知的偶函数求得8为的一个周期，借助性质求出目标值.
【详解】函数的定义域为，且有，
令，得，解得；
令，得，则，
而，即不恒为0，因此，函数为奇函数，
由为偶函数，得，则，
于是，，8为的一个周期，
由，得，即
，因此，所以.
故选：B
【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解.
2．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）定义在上的函数满足且，有，且，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】结合题设赋值可得，再根据函数的单调性以及定义域即可求解.
【详解】因为，所以，即，
因为，
所以，可转化为，
即，即.
因为满足且，有，
所以在区间上单调递增，
即，解得，
即不等式的解集为.
故选：C.
3．（24-25高二下·安徽宿州·期末）已知函数的定义域为，为奇函数，且，，则（ ）
A．B．1C．0D．
【答案】B
【分析】由已知结合赋值法推出函数为偶函数，进而采用变量代换的方法，推出函数的对称中心，进而推出其周期，再结合赋值法求得，，，，结合函数的周期性，即可求得答案.
【详解】由题意知函数的定义域为，且，，
令，则，即，故为偶函数；
又由为奇函数，可得，令，则，得，
又由可得的图象关于点成中心对称，则；
又由可得，又结合为偶函数，
则，故，即4为的周期，
故，则，
故
故选：B.
4．（24-25高三·山西吕梁·阶段练习）已知函数的定义域为，且，．若对任意实数，都有，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】D
【分析】利用赋值可得到递推关系，再证明周期性，即可求解.
【详解】将用替换，由对任意实数，都有，
可得，
由，所以，即，
所以，所以函数的周期，
令，则，因为，
所以，所以．
故选：D
题型4 抽象模型：直线型
1．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且当时，．给出以下四个结论：
①；
②可能是偶函数；
③在上一定存在最大值；
④的解集为．
其中正确的结论为（ ）
A．①②B．①③C．①④D．②④
【答案】C
【分析】令，即可判断①；令，结合奇偶性得定义即可判断②；设，结合当时，，判断出函数的单调性，即可判断③④.
【详解】对于①，令，则，所以，故①正确；
对于②，令，则，
所以，所以为奇函数，
又当时，，所以不是常函数，不可能是偶函数，故②错误；
对于③，设，则，
则，
所以，所以是减函数，
所以在上一定存在最大值，故③错误；
对于④，因为为减函数，，
由，得，解得，
所以的解集为，故④正确.
故选：C.
2．（23-24高三·四川成都·阶段练习）若且函数在上单调，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据条件先分析出的奇偶性和单调性，然后根据条件将转化为（为实数），再根据单调性和奇偶性解不等式求出解集.
【详解】令，所以，所以，
令，所以，
所以且的定义域为关于原点对称，
所以是奇函数；
又因为且在上单调，所以在上单调递增；
又因为，所以，
所以不等式等价于，
又因为在上单调递增，所以，
故选：A.
【点睛】本题考查抽象函数的综合应用，其中涉及到抽象函数的单调性和奇偶性判断、根据单调性解不等式，对学生的分析与转化问题的能力要求较高，难度较难.
3．（22-23高三·重庆沙坪坝阶段练习）已知连续函数对任意实数恒有,当时,,,则以下说法中正确的是( )
①
②是上的奇函数
③在上的最大值是
④不等式的解集为
A．①③B．①②C．①②③D．①②③④
【答案】C
【分析】因为函数对任意实数恒有,当时,,,先证明其奇偶性和单调性,在逐项判断,即可求得答案..
【详解】奇偶性证明: 令 令
即又 故是定义域为的奇函数单调性证明:
任取且,则; 令
时, 时,
又 为奇函数 在上是减函数;
对于①,因为,故①正确;
对于②,因为是定义域为的奇函数,故②正确;
对于③,,可得令,可得,,,
在上是减函数 在上的最大值是,故③正确；
对于④, 不等式 即
则 在上是减函数
,解得:或,故④错误.故选:C．
【点睛】本题考查了判断抽象函数的奇偶性和单调性,解函数不等式,解题关键是掌握判断奇偶性和单调性的方法,灵活使用赋值法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
4．（22-23高三·云南玉溪·阶段练习）设定义在R上的函数对任意实数x，y满足，且，则的值为（ ）
A．B．C．0D．4
【答案】B
【分析】根据题设条件令，求出，再令，，得出，即可得出的值.
【详解】由题意令，则有，故得
令，，则有
又∴∴
故选:B
【点睛】本题主要考查了抽象函数求函数值，属于基础题.
题型5 抽象模型：上下平移型
1．（24-25高三·江苏南京·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，当时，．给出以下结论：①；②；③为上减函数；④为奇函数；其中正确结论的序号是（ ）
A．①②④B．①④C．①②D．①②③④
【答案】A
【分析】利用抽象函数的关系式，令判断①的正误；令，判断②的正误；令，可得当时，，再令，结合单调性的定义判断③的正误；令判断④的正误；
【详解】因为，故令，可得，
即，解得，故①正确；
令，，可得，又，
即，解得，再令，可得，
即，故②正确；
令，可得，即
因为，则，可得，所以，
令，不妨设，可得，即，
因为，则，则，可得，即，
所以为上增函数，故③错误；
令，可得，即，整理得，
所以为奇函数，故④正确；
故选：A．
2．（24-25高一上·河南驻马店·期末）已知函数对于任意、，总有，且当时，，若，则不等式的解集为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，分析出函数是柯西函数方程，所以，代入求出，根据代入计算即可.
【详解】令，可得，可得，
令，则，对任意的、，
总有，则，这是柯西函数方程.
由于当时，，可得对于时，，表明是一个线性函数，
形式为，，因此.
因为，所以将代入，得到，即，
因此函数，又因为，
所以，即，
因此，不等式的解集为.
故选：D.
3．（2024高三下·全国·专题练习）若对，，有，则函数在上的最大值和最小值的和为（ ）
A．4B．8C．6D．12
【答案】B
【分析】利用赋值法可得以及，即可构造函数，判断奇偶性，即可根据奇偶性的性质可得为奇函数以及最值.
【详解】，．有，
取，则，故，
取，则，故，
令，则,故为奇函数，
，设，
，故为奇函数，故为奇函数，
故，
则，
故
故函数在上的最大值和最小值的和是8，
故选：B．
4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为R，对任意实数x，y都有，当时，，且，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意利用定义证明函数在R上单调递增，继而转化不等式，求解即可.
【详解】任取，从而,
因为，所以，所以，则在R上单调递增．
不等式等价于不等式，
即．因为在R上单调递增，
所以，解得．故选：A.

题型6 抽象模型：一元二次型
1．（24-25高三上·山东菏泽·模拟）已知函数的定义域为，且满足，，则（ ）
A．4B．8C．14D．16
【答案】C
【分析】依题意利用赋值法代入计算即可得出结果.
【详解】根据题意令，则，可得，
再令，则，可得.
故选：C
2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数满足，若，则（ ）
A．25B．125C．625D．15625
【答案】C
【分析】利用赋值法结合条件可得进而即得；或构造函数求解.
【详解】解法一：由题意取，可得
即知则.
解法二：令，则
，
所以，
即，所以，则.
解法三：由可构造满足条件的函数，
可以快速得到.故选：C.
3．（23-24高三上·贵州遵义·阶段练习）已知函数满足，则（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】A
【分析】分别令，，得出与的关系后可得结论．
【详解】令，得；
令，，得；
令，得.
将以上三式相加得，即.
故选：A．
4．（2023·全国·三模）已知对于每一对正实数，，函数满足：，若，则满足的的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】利用递推式判断在上的符号及单调性，并得到，即可判断的个数.
【详解】令且均属于，则，又，
所以，
所以当，
，
所以，满足仅有，即仅有1个.
故选：A
题型7 抽象模型: 一元三次型
1．（21-22高三上·黑龙江牡丹江·模拟）已知函数对任意的实数都有，且，若当，且时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】令可得，利用累加法可求时的解析式，利用参变分离及基本不等式可求实数的取值范围.
【详解】令可得，
化简可得，故
，

，
累加可得，，
不等式等价于 ，
因为，故在上恒成立，
又，当且仅当时等号成立，
所以，故选A.
【点睛】本题考查函数解析式的求法以及含参数的不等式恒成立问题，属于中档题，注意利用参变分离可把恒成立问题转化为函数的最值问题.
2．（2024·青海·二模）已知定义在R上的函数，其导数为f'x，且满足，，，给出下列四个结论：①为奇函数；②；③：④在0,1上单调递减.其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②B．①③C．②③④D．①②④
【答案】D
【分析】令求出.令可判断①；令，得，再求出、可判断③；利用累加法求出f'x可判断②；利用导数可判断④.
【详解】对于①，令，得，所以.
令，得，所以为奇函数，故①正确；
对于③，令，得，
所以，，故③错误.
对于②，因为，
所以， ，
，，，以上各式相加得
，所以，故②正确.
对于④，当x∈0,1时，f'x