新高考数学一轮复习核心考点+提升练习培优点01函数性质的综合应用（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习核心考点+提升练习培优点01函数性质的综合应用（2份，原卷版+解析版），共8页。
函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查．
【核心题型】
题型一 函数的奇偶性与单调
(1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)．
(2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小．
【例题1】（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 （ ）
A． B．C．D．
【答案】A
【分析】判断的奇偶性和单调性，再根据函数性质求解不等式即可.
【详解】，定义域为，又，故为偶函数；
又当时，均为单调增函数，故为上的单调增函数；
又，故当时，，则此时为上的单调增函数，故时，为单调减函数；
，即，则，即，，
也即，解得.
故选：A.
【变式1】（2024·辽宁大连·一模）设函数则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】观察题设条件与所求不等式，构造函数，利用奇偶性的定义与导数说明其奇偶性和单调性，从而将所求转化为，进而得解.
【详解】因为，
所以
，
设，显然定义域为，，
又，
所以为上的奇函数，
又，
所以在上单调递增，
又，则，
所以，即，
所以，解得，
则满足的的取值范围是．
故选：C．
【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知定义在R上的函数，其导函数为．若，且当时，有成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，由题意，得出为定义在R上的偶函数，且在上单调递增，再把不等式转化为，利用单调性求解.
【详解】设，则．
由，得，所以为偶函数．
因为当时，有成立，
所以在上单调递增，
又为偶函数，所以在上单调递减，
因为，即，
所以，解得．
故选：D．
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知定义在上的函数，对于定义域内任意的x，y，都有，且在上单调递减，则不等式的解集为 .
【答案】或
【分析】由，利用赋值法，得到函数的奇偶性，构造函数，研究其单调性和奇偶性，再由，将不等式转化为求解.
【详解】由，令，得，所以.
令，得.令，得，所以函数为偶函数.
构造函数，因为，所以为偶函数，且在上为减函数.
因为，
所以不等式等价于，
所以，即，所以或，
故不等式的解集为或.
故答案为：或.
题型二 函数的奇偶性与周期性
周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常利用奇偶性和周期性将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，或已知单调性的区间内求解．
【例题1】（2024·内蒙古赤峰·一模）已知是定义在R上的偶函数，且周期.若当时，，则（ ）
A．4B．16C．D．
【答案】B
【分析】由函数的奇偶性和周期性求解即可.
【详解】因为.
故选：B.
【变式1】（多选）（2024·重庆·模拟预测）已知定义在R上的奇函数满足：，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】对A：令，结合函数是奇函数，即可求得结果；对B：令，结合函数是奇函数，即可判断；对C：根据B中所求，即可判断；对D：取满足题意的特殊函数，即可判断.
【详解】对A：对，令，可得，
又在R上是奇函数，故，解得，故A正确；
对B：对，令，可得，
又在R上是奇函数，故，即，
由A可知，，故，故B正确；
对C：因为，则即，
则，即，故C错误；
对D：由C可知，为周期为的奇函数，
不妨画出满足题意的一个的图象如下所示：
显然，故D错误.
故选：AB.
【变式2】（多选）（2024·湖南邵阳·二模）已知函数在上可导，且的导函数为.若为奇函数，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据已知条件可得的周期，由为奇函数可得的对称性，利用导数公式及函数的周期性、对称性可判断各选项.
【详解】对于D，由，所以，即，
所以的周期为4，
且，
所以，故D正确；
对于A，由为奇函数知关于对称，所以，
由得0，即，
故的周期为4且，可得，故A正确；
对于BC，由上知的周期为4且关于对称，所以关于对称，
则有，即，所以，
令，得，故，所以关于对称，
又，所以，故B错误；
又，所以，故C正确.
故选：ACD.
【点睛】本题关键是利用函数的周期性和对称性，结合函数的导数即可判断各选项.
【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数对任意均有：且不恒为零.则下列结论正确的是 .①；②；③或；④函数为偶函数；⑤若存在实数使，则为周期函数且为其一个周期.
【答案】②④
【分析】根据赋值法及抽象函数的奇偶性、周期性一一判定结论即可.
【详解】令，则恒成立，
因为不恒为零，所以，即②正确，①③错误；
令，则恒成立，
所以函数为偶函数，即④正确；
令，则，
所以，
则为周期函数且为其一个周期，即⑤错误.
故答案为：②④
题型三 函数的奇偶性与对称性
由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等．
【例题1】（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据，为偶函数得到等式关系，可判断C,D；根据函数的对称轴可求得函数的极值点，结合极值点的性质可判断选项B；根据函数的图象的不确定性，可判断选项A.
【详解】为偶函数，可得，
关于对称，
，故不正确；
为偶函数，
，关于对称，故不正确；
关于对称，是函数的一个极值点，
函数在处的导数为0，即，
又的图象关于对称，，
函数在的导数为0，
是函数的极值点，又的图象关于对称，
关于的对称点为，
由是函数的极值点可得是函数的一个极值点，
，
进而可得，故是函数的极值点，
又的图象关于对称，
关于的对称点为，
，故正确；
图象位置不确定，可上下移动，
即每一个自变量对应的函数值不是确定值，故错误．
故选:B.
【变式1】（多选）（2024高三·全国·专题练习）关于函数f（x）＝x|x|＋px＋q，下列命题正确的是（ ）
A．当q＝0时，f（x）为奇函数
B．y＝f（x）的图象关于点（0，q）对称
C．当p＝0，q＞0时，方程f（x）＝0有且只有一个实数根
D．方程f（x）＝0至多有两个实数根
【答案】ABC
【详解】解析：若q＝0，则f（x）＝x|x|＋px＝x（|x|＋p）为奇函数，所以A正确；由A知，当q＝0时，f（x）为奇函数，图象关于原点对称，f（x）＝x|x|＋px＋q的图象由函数y＝x|x|＋px的图象向上或向下平移|q|个单位长度得到的，所以图象关于点（0，q）对称，所以B正确；当p＝0，q＞0时，f（x）＝x|x|＋q＝当f（x）＝0，得x＝－，只有一解，所以C正确；取q＝0，p＝－1，f（x）＝x|x|－x＝由f（x）＝0，可得x＝0，x＝±1，有三个实根，所以D不正确．故选ABC.
【变式2】（多选）（23-24高三下·重庆·阶段练习）函数的定义域为R，且满足，，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．为偶函数D．的图象关于对称
【答案】BC
【分析】利用特殊值法，结合函数的奇偶性即可求解.
【详解】由题可知
令，，则，
即，可得，故A错；
令，则，即，
又因为，，可得，故B正确；
令，可得，故C正确；
若的图象关于对称，则函数满足，
而，，显然，故D错，
令，可得，
的图象关于对称.
故选：BC.
【变式3】（2024·河南·一模）已知函数及其导函数的定义域均为R，记.且，，当，，则 .（用数字作答）
【答案】1012
【分析】根据推出函数为奇函数，由还原成，推理得到，得出函数图象关于直线对称，两者结合得出为以4为周期的函数，分别求出，计算即得.
【详解】由可得，即①
又由可得，即，从而，
故(是常数)，因当时，则,即得②，
由② 可得，又由① 得，即，故函数为周期函数，周期为4.
由，可知，因是R上的奇函数，,则由可得，
，，
则，于是
故答案为：1012.
题型四 函数的周期性与对称性
函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
【例题1】（2024·河北沧州·一模）已知定义在上的函数满足：，且．若，则（ ）
A．506B．1012C．2024D．4048
【答案】C
【分析】根据条件得到函数是周期为的函数，再根据条件得出，即可求出结果.
【详解】，①
，
即，所以，
所以函数的图象关于对称，
令，则，所以，
令，，又，所以，
又，，②
即函数的图象关于直线对称，
且由①和②，得，
所以，则函数的一个周期为4，
则，
所以.
故选：C
【变式1】（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知函数的定义域是，，，当时，，则 ．
【答案】
【分析】根据已知关系式可推导求得，利用周期性和对称性可得，结合已知函数解析式可求得结果.
【详解】由得：，
又，，
，，
.
故答案为：.
【变式2】（2024·全国·模拟预测）写出一个同时满足下列三个条件的函数的解析式 ．
①；
②；
③的导数为且．
【答案】（答案不唯一）
【分析】借助函数的周期性、对称性、奇偶性计算即可得.
【详解】由①得，所以函数图象的周期为4，
由②得的图象关于直线对称，
由③得关于对称，为常数，
则同时满足三个条件的一个函数可以为．
故答案为：（答案不唯一）.
【变式3】（23-24高三下·陕西·开学考试）已知定义在上的函数为奇函数，为偶函数，当时，，则方程在上的实根个数为 ．
【答案】
【分析】根据条件确定函数周期性，画出函数在区间上的图象，根据图象可得实根个数.
【详解】函数为奇函数，即，对称中心为，
函数为偶函数，即，对称轴为，
又由可得
函数是周期函数，且周期为，
当时，，则，
令，得，单调递增，
令，得，单调递减，
所以.
作出函数在区间上的图象如下：
即在区间上，方程有个实根，
又,
则方程在上的实根个数为.
故答案为：.
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2023·河南信阳·三模）已知函数，则对任意实数是（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．不充分且不必要条件
【答案】A
【分析】判断函数的单调性和奇偶性，继而判断“对任意实数”和之间的逻辑关系，即得答案.
【详解】由于在R上单调递增，
且的定义域为R，则在R上单调递增，
又
，即为奇函数，
对任意实数，即，可得；
反之，时，可得，则，即，
故对任意实数是的充分必要条件，
故选：A
2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则使得成立的正实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分析函数的奇偶性，单调性，利用函数的单调性求解不等式即可.
【详解】由题意可知的定义域为，且，所以为偶函数．
当时，，则函数在上单调递减，且．
所以不等式成立，需，
解得或，又，
所以，即正实数的取值范围是．
故选：A．
3．（23-24高三上·辽宁辽阳·期末）已知是偶函数，在上单调递增，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由条件结合图象平移得到的图象，结合图象即可求解.
【详解】函数的图象可由的图象向右平移1个单位得到，
因为是偶函数，则其图象关于轴对称，
所以的图象关于直线对称，
又在上单调递增，则在上单调递减，
又，则有，
当，即时，需，
解得或；
当，即时，需，无解；
综上，不等式的解集为.
故选：D
4．（2024·山东济宁·一模）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】C
【分析】由为奇函数得到函数的对称中心，由为偶函数得到函数的对称轴，进一步求得函数的周期，然后将与转化到已知区间求解即可.
【详解】因为函数定义域为，为奇函数，所以，所以函数关于点中心对称，且，
因为为偶函数，所以，所以函数关于直线轴对称，
又因为，所以函数的周期为，
因为当时，，
所以，，
所以.
故选：C.
二、多选题
5．（23-24高三下·海南省直辖县级单位·开学考试）已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．函数的图象关于点对称
D．
【答案】BD
【分析】根据给定条件，赋值计算判断ABC；推理确定函数的周期，再利用周期性求值判断D.
【详解】定义域为的函数对任意实数都有，
令，则，而，因此，A错误；
，令，则，则，B正确；
显然，则函数的图象关于点不对称，C错误；
令，则，同理，
因此，即，
从而，即函数的周期是6，
由，得，则，
显然，
所以，D正确.
故选：BD
6．（2024·广东·一模）已知偶函数的定义域为，为奇函数，且在上单调递增，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】根据奇函数、偶函数的性质，首先推出函数为周期函数，再根据函数的单调性，判断函数的符号，可得有关的结论.
【详解】因为为偶函数，所以；
因为是上的奇函数，所以，
且的图象是由的图象向左平移个单位得到的，所以的图象关于点对称，进一步得的图象关于点中心对称，即.
所以，所以.所以函数是周期函数，且周期为；
又在上单调递增，所以在上，有.
所以函数的草图如下：
由图可知：，故A错；，故B对；，故C错；
，故D对.
故选：BD
7．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．是函数的一个周期
B．是函数的一条对称轴
C．函数的最大值为，最小值为
D．函数在上单调递减
【答案】ABC
【分析】利用函数周期性及对称性的定义可得A、B，使用换元法，令，可得，结合复合函数单调性可得C、D.
【详解】对A：，
故是函数的一个周期，故A正确；
对B：
，故是函数的一条对称轴，故B正确；
对C、D：令，有，
因为，所以，
则，
由，则函数的最大值为，最小值为，故C正确；
函数由和复合而成，
函数在上先增后减，在上递减，且，
则函数在上不是单调递减，故D错误.
故选：ABC.
8．（23-24高三下·辽宁·开学考试）已知函数是R上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．函数在上单调递增
C．函数在上有3个零点D．点是函数的图象的一个对称中心
【答案】AD
【分析】由，令，得到，进而得到逐项判断.
【详解】解：由，令，得，
又函数是R上的奇函数，则，故A正确；
由，得，则周期为，
作出函数的部分图象，如图所示：
由图象知：函数在上单调递增，又，在2处不连续，
则函数在上不单调，
由，，，
则函数在上有7个零点，故BC错误；
因为是函数的一个个对称中心，则也是函数的一个对称中心，故D正确；
故选：AD
三、填空题
9．（2024·贵州毕节·模拟预测）定义在上的可导函数满足，若，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】构造函数，利用导数判断出函数的单调性，再将所求不等式变形为函数的形式，再根据函数的单调性解不等式即可.
【详解】令，则，
所以函数在上是减函数，
由，得，
即，
所以，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：.
10．（2024·宁夏银川·一模）已知是偶函数，在上单调递增，，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】首先得出的对称性结合的单调性可得的符号变化情况，由此可通过列表法求解.
【详解】由题意是偶函数，所以的对称轴是，
因为在上单调递增，所以在上单调递减，
又，所以，
所以当时，，当时，，
由对称性当时，，当时，
所以的符号随的变化情况如下表：
所以由上表可知不等式的解集为.
故答案为：.
四、解答题
11．（2024高三·全国·专题练习）已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数a，b的值；
(2)求证：函数f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递减函数；
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求实数k的取值范围
【答案】(1)a＝2，b＝1
(2)证明见解析
(3)(－∞，－)
【详解】
(1) 解：因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，
即b＝1，所以f(x)＝.
由f(1)＝－f(－1)，知＝－，解得a＝2.
经检验a＝2，b＝1符合题意．
(2) 证明：由(1)知f(x)＝＝－＋，
设任意x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x2)－f(x1)＝.
因为y＝2x在(－∞，＋∞)上为增函数，所以2x1－2x2＜0，
所以f(x2)－f(x1)＜0，即f(x1)＞f(x2)，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
(3) 解：因为f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，且是奇函数，
f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0，
所以 f(t2－2t)＜f(－2t2＋k)，
所以3t2－2t－k＞0对任意
综合提升练
一、单选题
1．（2024·陕西西安·一模）已知定义在上的奇函数满足，则以下说法错误的是（ ）
A．
B．是周期函数，且2是其一个周期
C．
D．
【答案】C
【分析】根据条件，对各个选项逐一分析判断，即可得出结果.
【详解】选项A，因为是定义在上的奇函数，所以，即，所以选项A正确，
选项B，由，知是周期函数，且2是其一个周期，所以选项B正确，
选项C，因为，又，，得到，所以选项C错误，
选项D，，所以选项D正确，
故选：C.
2．（2024·广西南宁·一模）已知函数的定义域为，且当时，，则（ ）
A．B．是偶函数C．是增函数D．是周期函数
【答案】C
【分析】对A，令求解即可；对B，令化简可得即可；对C，设，结合题意判断判断即可；对D，根据是增函数判断即可.
【详解】对A，令，则，得，故A错误；
对B，令，得，
由整理可得，
将变换为，则，
故，故，故是奇函数，故B错误；
对C，设，则，
且
，故，则.
又，是奇函数，故是增函数，故C正确；
对D，由是增函数可得不是周期函数，故D错误.
故选：C
3．（2024·云南贵州·二模）若函数的定义域为且图象关于轴对称，在上是增函数，且 ，则不等式的解是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先分析不等式在上的解，再根据对称性得出不等式在上的解即可.
【详解】因为在上是增函数且，所以在范围内的解为.
因为函数在定义域上图象关于轴对称，所以在内的解为，所以不等式在R内的解为.
故选：C
4．（2024·广东·一模）已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数为偶函数及函数在单调递增即可求解.
【详解】因为的定义域为，且，
所以为偶函数，
又当时，单调递增，且，
所以由可得，即，
解得，
故选：B
5．（2024·四川成都·二模）已知函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先判断函数单调性和奇偶性，然后结合单调性及奇偶性求解不等式.
【详解】由已知
，
因为，令，则定义域为R，
则，故为奇函数，
又在上单调递增，
则在上单调递增，又其为奇函数，
故在上单调递增，
所以，即，
所以，即.
故选：A.
6．（2024·四川·模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，对任意的，都有成立，且当时，，若在区间内方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可知函数的图象关于轴对称且周期为4，由此可画出函数在区间上的图象，若在区间内方程有5个不同的实数根，即函数与的图象有5个交点，数形结合列出不等式组求解即可.
【详解】因为函数的图象关于直线对称，
所以函数的图象关于轴对称，
因为对任意的，都有成立，
所以，
所以函数的周期为4，
画出函数在区间上的图象，如图所示：

若在区间内方程有5个不同的实数根，
即函数与的图象有5个交点，
显然，则，解得，
即实数的取值范围为.
故选：D．
7．（23-24高三上·四川·阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意利用赋值法求出、、、的值，推出函数的周期，结合，每四个值为一个循环，即可求得答案.
【详解】由，令，得，所以，
由为奇函数，得，所以，
故①．
又②，
由①和②得，即，
所以，③
令，得，得，
令，得，得，
又④，
由③④得，即，
所以函数是以8为周期的周期函数，
故，
所以，
所以
.
故选：B．
8．（23-24高三下·北京西城·开学考试）函数及其导数的定义域均为，记，若和都是偶函数，则（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．是奇函数D．是偶函数
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性可知函数、的图象分别关于直线、对称，结合导数的几何意义可知函数图象关于与对称，且的图象关于点对称，进而证得函数的周期为4，则，即可求解.
【详解】由是偶函数，得，
所以函数的图象关于直线对称；
由是偶函数，得，
所以函数的图象关于直线对称，又，
则关于对称，所以是函数图象的对称中心，
由于不确定的值，所以无法判断函数的奇偶性，故排除选项A、B；
又，由，得，
即，得，
所以函数的图象关于点对称；
由，得，即，
所以，即，
所以函数的周期为4，所以，
所以函数为偶函数，故排除C，选择D.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题通过函数的奇偶性、对称性和周期性，结合导数的几何意义、运算和合理赋值，寻找函数图象的对称性是解题的关键，原函数与导函数图象的关系、奇偶性的联系都是解题的思路.
二、多选题
9．（2024高三·全国·专题练习）(多选)已知函数f(x)＝2x－2－x＋1，则下列说法正确的是（ ）
A．函数f(x)是奇函数
B．函数f(x)是偶函数
C．函数f(x)在R上是增函数
D．函数f(x)的图象的对称中心是(0，1)
【答案】CD
【详解】易知y＝2x，y＝－2－x为增函数，所以f(x)在R上是增函数；f(x)＋f(－x)＝2x－2－x＋1＋2－x－2x＋1＝2，故f(x)的对称中心是(0，1).故选CD.
10．（2024·海南省直辖县级单位·一模）已知定义在上的奇函数，满足，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为6B．函数在上递增
C．D．方程有4个根
【答案】BC
【分析】由题设可得最小正周期为4，可判断A，B，C；根据已知区间解析式画出图象，再画出的图象判断交点情况即知D的正误.
【详解】令等价于，所以，
所以，所以，
所以函数的最小正周期为4，故A错误；
当时，，所以函数在上递增，
因为函数的最小正周期为4，所以函数在上的单调性与单调性相同，故B正确；
又因为，，令时，则，
令时，则，又，
所以，
，故C正确；
又当时，，结合对称性与周期性作出函数的图象，如图，

作出的图象，由图知两函数共有5个交点，
可得方程有5个根，则D错误；
故选：BC.
【点睛】方法点睛：函数的对称性：
（1）若，则函数关于中心对称；
（2）若，则函数关于对称.
11．（2024·安徽池州·二模）已知函数的定义域为是奇函数，且，恒有，当时（其中），.若，则下列说法正确的是（ ）
A．图象关于点对称
B．图象关于点对称
C．
D．
【答案】ABC
【分析】根据是奇函数判断A项正确；由代入可得，又由推导出图象关于直线对称，从而判断B项；利用题设条件得到，分类讨论的取值情况求出的值，从而判断C项；利用选项C的结论，求得，否定D项.
【详解】对于A项，由是奇函数得，
所以函数关于点对称，故A项正确；
对于B项，由函数的定义域为且关于点对称，则，
所以，因，故解得.
由得点在函数图象上，
又点在函数图象上，
所以函数图象关于直线对称.
又由关于点对称，可得关于对称，故B项正确；
对于C项，由函数关于点对称得，
由函数关于点对称得，
故由可得.
①当时，，所以，，
因是增函数，又，故得；
②当时，由函数关于直线对称可知函数在内单减，
所以，又，所以，
这与题设矛盾，舍去.所以，又，即，故C项正确；
对于D项，由上分析，当时，，
显然，由函数关于对称，可知，
由关于点对称得，故D项错误.
故选：ABC.
【点睛】思路点睛：本题解题思路在于利用函数奇偶性及相关条件推断出函数具备的轴对称和中心对称的特征，再利用对称性推断结论，得到相关点的函数值，确定参数值，得到函数的解析式，再利用函数对称性求出相应函数值.
三、填空题
12．（2023·广东·二模）设奇函数的定义域为，且是偶函数，若，则 .
【答案】
【分析】根据所给函数性质求出函数周期，利用周期化简即可得解.
【详解】因为是奇函数，且是偶函数，
所以，
所以，即，
故是4为周期的周期函数，且有，
则.
故答案为：
13．（23-24高三下·安徽·阶段练习）若函数为偶函数，是奇函数，且，则 .
【答案】
【分析】根据抽象函数的奇偶性、对称性、周期性计算即可.
【详解】由题意可知关于轴对称，关于中心对称，
，
所以，故，
所以，
即是的一个正周期，则
由，且，则，
故答案为：
14．（2024高一·全国·专题练习）定义上单调递减的奇函数满足对任意，若恒成立，求的范围 .
【答案】
【分析】根据为R上的奇函数且为减函数，可得出对任意的恒成立，这样求出的最小值，从而可得出的取值范围.
【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，
又因在R上单调递减，
所以对任意恒成立，
所以对任意恒成立，所以，
设，对称轴，
所以当时，，
所以.
故答案为：.
四、解答题
15．（23-24高三上·河南周口·期末）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且.
(1)确定函数的解析式，并用定义研究在上的单调性；
(2)解不等式.
【答案】(1)，函数在上是增函数
(2)
【分析】（1）根据，待定系数即可求得函数解析式；利用单调性的定义，结合函数解析式即可判断和证明；
（2）利用函数奇偶性和单调性求解不等式即可.
【详解】（1）根据题意，是上的奇函数，故，
又，故，则，
时，，所以为奇函数，
故.
在上是增函数，理由如下，
设，则，
因为，所以，且，则，
则，即，
所以函数在上是增函数；
（2）等价于，
又在是单调增函数，故可得，
解得，即不等式的解集为.
16．（23-24高三上·山西晋中·开学考试）设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有，当时，．
(1)求证：是周期函数；
(2)当时，求的解析式；
(3)计算．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据已知等式，利用赋值法进行证明即可；
（2）根据函数的周期性，结合奇函数的性质进行求解即可；
（3）根据函数的周期性进行求解即可.
【详解】（1），
所以：是以为周期的周期函数；
（2）当时，因为函数是定义在R上的奇函数，
所以，
当时，；
（3），
因为函数的周期为，
所以.
17．（23-24高三上·甘肃天水·阶段练习）设函数对任意x、，都有，且时，．
(1)证明：为奇函数；
(2)证明：在R上为减函数．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）取可得，再取即可证明；
（2）任取，，计算的正负即可判断.
【详解】（1）取得
，
取得，
即，所以为奇函数；
（2）任取，，
则，
由，得，所以，
即，
故在R上为减函数．
18．（2023高三·全国·专题练习）已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数（）是奇函数．又已知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值．
(1)证明：；
(2)求的解析式；
(3)求在[4，9]上的解析式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据函数周期性，可得，再结合函数奇偶性即可求得结果；
（2）设出二次函数解析式，结合（1）中结论，求得未知参数，则问题得解；
（3）先求出在的解析式，再结合函数周期性，即可求得结果.
【详解】（1）证明：∵f (x)是以为周期的周期函数，∴，
又∵是奇函数，∴，∴
（2）当时，由题意可设，
由，得，∴，
∴.
（3）根据（2）中所求，可知；又在上是奇函数，故，
故当时，设，则，解得.
故当时，.
又在上是奇函数，故当时，.
综上，则时，.
因为时，.
所以当时，，所以；
当时，，所以，
综上所述，.
19．（2023高三·全国·专题练习）设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，，都有，且．
(1)求f；
(2)证明是周期函数；
(3)记，求．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题意可得、，结合即可求解；
（2）根据抽象函数的对称性和奇偶性可得，即可得出结果；
（3）由（1）可得，结合和周期为2，即可求解.
【详解】（1）因为对任意的，都有，
所以，
又，
，，
∴.
（2）设关于直线对称，故，
即，又是偶函数，
所以，
∴，将上式中以代换，
得，
则是R上的周期函数，且2是它的一个周期．
（3）由（1）知，
∵
，
又，∴.
∵的一个周期是2，
∴，因此．
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2024·陕西西安·一模）已知定义在上的可导函数，满足，且.若，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，可得函数在上是减函数，由，可得函数为奇函数，再根据函数的单调性解不等式即可.
【详解】因为，所以，
所以函数在上是减函数，
又因为，所以，
所以函数为奇函数，
因为，所以，
由，得，即，
所以，解得，
所以满足的的取值范围是.
故选：C.
2．（2024·四川泸州·二模）已知，都是定义在R上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．若，则
C．函数的图象关于直线对称D．
【答案】D
【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断A、D，取可判断C，对于B，通过观察选项可以推断很可能是周期函数，结合的特殊性及一些已经证明的结论，想到令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步得出是周期函数，从而可求的值.
【详解】对于A，令，可得，得，
令，，代入已知等式得，
可得，结合得，
所以，故A错误；
对于D，因为，令，代入已知等式得，
将，代入上式，得，所以函数为奇函数.
令，，代入已知等式，得，
因为，所以，
又因为，所以，
因为，所以，故D正确；
对于B，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：
，，
两式相加易得，所以有，
即，
有，
即，所以为周期函数，且周期为，
因为，所以，所以，，
所以，
所以
，故B错误；
对于C，取，，满足及，
所以，又，
所以函数的图像不关于直线对称，故C错误；
故选：D.
【点睛】思路点睛：对于含有的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系，此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.
3．（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知函数在上可导，其导函数为，若满足：，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据已知条件构造函数，利用导数及题干所给条件求得的单调性，利用函数的对称性，可得，对其进行比较即可判断各选项.
【详解】设，则，
因为函数满足：，
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减；
又由，
所以关于直线对称，从而，
即，，故A错误；
由，，故B错误；
由，，故C正确；
由，，故D错误.
故选：C.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是构造函数，利用导数法研究函数的单调性，结合函数的对称性即可.
二、多选题
4．（2024·辽宁大连·一模）已知函数是定义域为R的可导函数，若，且，则（ ）
A．是奇函数B．是减函数
C．D．是的极小值点
【答案】ACD
【分析】令求出，令可确定奇偶性，将当作常数，作为变量，对原式求导，然后可通过赋值，解不等式求单调性及极值.
【详解】令，得，令，得，所以是奇函数，A正确；
令，
又，
，
令，，，或
在和上为增函数，在上为减函数，
是的极小值，故CD正确，B错误.
故选：ACD.
5．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，若的图象关于直线对称，，且，则（ ）
A．为偶函数B．的图象关于点对称
C．D．
【答案】BCD
【分析】首先根据抽象函数的对称性，判断函数的对称性，以及周期，并结合条件转化，判断函数的对称性，利用抽象函数的导数公式，以及周期性，求，最后利用函数与的关系求和.
【详解】由的图象关于直线对称，可得的图象关于直线对称，即的图象关于直线对称，则
由，可得，又，
所以，所以的图象关于点对称，即为奇函数，
所以，即，即函数的周期为4，
由，可得，因为的周期为4，所以，
则，即，所以的图象关于点对称，故B正确；
因为的图象关于直线对称，则，所以，所以，
因为的周期为4，所以的周期也为4.由，可得，所以，故C正确；
由，可得，所以，即，故D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：本题考察抽象函数的性质，以及导数运算问题，本题的关键是以条件等式为桥梁，发现函数与的性质关系，以及解析式的关系.
三、填空题
6．（2024·陕西·二模）偶函数的定义域为，函数在上递减，且对于任意均有，写出符合要求的一个函数为 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意，结合对数型函数的性质，即可得到满足条件的一个函数.
【详解】由函数，
当，可得，此时函数在上单调递减，
又由，即满足，
故均满足要求.
故答案为：（答案不唯一）
7．（2024·上海长宁·二模）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围为 ．
【答案】或
【分析】由已知结合奇函数的定义可求出及时的函数解析式，然后结合对数函数性质即可求解不等式.
【详解】因为函数是定义域为的奇函数，
所以，
当时，，
当时，，
所以，
所以，
若，
当时，可得，解得，
当时，可得，解得，
当时，可得，显然不成立，
故的取值范围为或.
故答案为：或.
四、解答题
8．（2024高三·全国·专题练习）对于函数.
(1)探索函数的单调性；
(2)是否存在实数使函数为奇函数？
【答案】(1)在上为增函数
(2)存在使函数为奇函数
【分析】（1）根据复合函数的单调性判断，再利用单调性的定义证明即可；
（2）假设存在实数使为奇函数，则，即可求出的值.
【详解】（1）函数的定义域为，
而在定义域上单调递增且，
又在上单调递减，
所以在上单调递减，
所以在上单调递增，
证明如下：任取，且，则，
所以
，
，
故在上为增函数.
（2）假设存在实数使为奇函数，则，
，
即，又，
，
故存在实数，使函数为奇函数.
9．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）函数满足，函数的图象关于点对称，求的值.
【答案】0
【分析】由条件可得函数是周期为12的周期函数，由周期性得，再由图象平移关系可得的对称性，结合对称性与周期性赋值得与的两个等式，解出即可.
【详解】根据题意，由，
知，
两式相减，得，即是周期为12的周期函数，
由，.
又由的图象关于点对称，
且的图象是由的图象向左平移一个单位长度得到的，
则的图象关于点对称，即是奇函数.
由周期为，可得，
而为奇函数，则，所以，
故.
10．（22-23高三上·湖北·开学考试）已知函数为偶函数．
(1)求实数的值；
(2)解关于的不等式；
(3)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程，解出即可；
（2）考查函数在的单调性，根据条件转化不等式，解出即可；
（3）根据题意可知方程有两个不同的根，化简方程后，列出条件，解出即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
因为函数为偶函数．
所以，
即，
所以
，
所以；
（2）因为，
当时，，单调递增，
所以在上单调递增，又函数为偶函数，
所以函数在上单调递减；
因为，所以，
解得或，
所以不等式的解集为
（3）因为函数与图象有个公共点，
所以方程有两个不同的根，
方程即为，
可化为，
则有，，
设，则，
即，
又在上单调递增，
所以方程有两个不等的正根；
所以，
解得，
所以的取值范围为．-
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