初中数学湘教版（2024）九年级上册（2024）第4章 二次函数4.4 二次函数与一元二次方程的关系图文ppt课件

这是一份初中数学湘教版（2024）九年级上册（2024）第4章 二次函数4.4 二次函数与一元二次方程的关系图文ppt课件，共100页。PPT课件主要包含了有两个不同的交点，有两个重合的交点，没有交点，个重合的点，x2-x+10无解，有两个交点，有两个不相等的实数根，b2-4ac＞0，有两个相等的实数根，b2-4ac0等内容，欢迎下载使用。
画出二次函数 y = x2– 2x – 3 的图象， 你能从图象中看出它与 x 轴的交点吗？二次函数 y = x2– 2x – 3 与一元二次方程 x2– 2x – 3 ＝ 0 有怎样的关系？
y = x2– 2x – 3
二次函数 y = x2- 2x - 3的图象与 x 轴的交点坐标分别是（-1，0），（3，0）.
当 x ＝ -1 时， y ＝ 0 ， 即 x2 - 2x - 3 ＝ 0 ， 也就是说，x ＝ -1是一元二次方程 x2 - 2x - 3 ＝ 0 的一个根.
同理， 当 x ＝ 3 时， y ＝ 0 ， 即 x2 - 2x - 3 ＝ 0 ， 也就是说， x ＝ 3 是一元二次方程 x2 - 2x - 3 ＝ 0 的一个根.
一般地， 如果二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0），那么一元二次方程 ax2 + bx + c ＝ 0 有两个不相等的实根 x ＝ x1， x ＝ x2.
观察二次函数 y = x2- 6x + 9 ， y = x2- 2x + 2 的图象，分别说出一元二次方程 x2- 6x + 9 ＝0 和 x2- 2x + 2＝0 的根的情况.
y = x2- 6x + 9
y = x2- 2x + 2
说一说，二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的位置关系有几种？
一般地，如果二次函数 y = ax2 +bx+c 的图象与 x 轴有两个交点( x1，0)，( x2，0 )，那么一元二次方程ax2 +bx+c=0 有两个不相等的实数根 x1，x2.
问题3 观察图象，完成下表：
x2-6x+9=0，x1=x2=3
二次函数 y = ax2+bx+c 与 x 轴交点与一元二次方程 ax2+bx+c = 0 根的关系
例1 二次函数 y＝kx2－6x＋3 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是(　　) A．k＜3 B．k＜3 且 k≠0 C．k≤3 D．k≤3 且 k≠0
1. 若二次函数 y = ax2 + b 的图象经过点( -2，0)，则关 于 x 的方程 a( x - 2)2 + b = 0 的实数根为 (　　)
A．x1 = 0，x2 = 4 B．x1 = -2，x2 = 6C．x1 = ，x2 = D．x1 = -4，x2 = 0
例2 求一元二次方程 的根的 近似值(精确到 0.1).
分析：一元二次方程 x² -2x-1=0 的根就是抛物线 y = x² -2x-1 与 x 轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与 x 轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
解：画出函数 y = x² -2x-1 的图象(如下图)，由图象可知，方程有两个实数根，一个在 -1 与 0 之间，另一个在 2 与 3 之间.
先求位于 -1 到 0 之间的根，由图象可估计这个根是 -0.4 或 -0.5，利用计算器进行探索，见下表：
观察上表可以发现，当 x 分别取 -0.4 和 -0.5 时，对应的 y 由负变正，可见在 -0.5 与 -0.4 之间肯定有一个 x 使 y = 0，即有 y = x2 - 2x -1 的一个根，题目只要求精确到 0.1，这时取 x = -0.4 或 x = -0.5 都符合要求.但当 x = -0.4 时更为接近 0. 故 x1 ≈ -0.4.同理可得另一近似值为 x2 ≈ 2.4.
例3 如图，小丁在扔铅球时，铅球沿抛物线 运行，其中 x 是铅球离初始位置的水平距离，y 是铅 球离地面的高度.
解：(1) 由抛物线的表达式得 即 解得 即当铅球离地面的高度为 2.1 m时，它离初始位置的水平距离是 1 m或 5 m.
(1) 当铅球离地面的高度为 2.1 m时，它离初始位置的水平距离是多少？
(2) 铅球离地面的高度能否达到 2.5 m，它离初始位置的水平距离是多少？
（2）由抛物线的表达式得 即 解得 即当铅球离地面的高度为 2.5 m时，它离初始位 置的水平距离是 3 m.
(3) 由抛物线的表达式得 即 因为 所以方程无实根. 所以铅球离地面的高度不能达到 3 m.
(3) 铅球离地面的高度能否达到 3 m？为什么？
一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了.
判断方程 ax2+bx+c = 0 (a≠0，a，b，c为常数)一个解 x 的范围是( ) A. 3＜ x ＜ 3.23 B. 3.23 ＜ x ＜ 3.24 C. 3.24 ＜ x ＜ 3.25 D. 3.25 ＜ x ＜ 3.26
1. 根据下列表格的对应值:
2．若二次函数 y = -x2 + 2x + k 的部分图象如图所示，且关于 x 的一元二次方程 -x2 + 2x + k = 0 的一个解 x1=3，则另一个解 x2= ；
3. 一元二次方程 3x2+x－10 = 0 的两个根是 x1=－2 ，x2= ，那么二次函数 y = 3x2+x－10 与 x 轴的交点坐标是
.
4. 若一元二次方程 无实根，则抛物线 位于（ ）A. x 轴上方 B. 第一、二、三象限C. x 轴下方 D.第二、三、四象限
5. 已知二次函数 的图象，利用图象回 答问题： (1) 方程 的解是什么？ (2) x 取什么值时，y ＞ 0 ？ (3) x 取什么值时，y ＜ 0 ？
解：(1) x1=2，x2=4；
(2) x＜2 或 x＞4；
(3) 2＜ x ＜4.
6. 某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面 米，与篮框中心的水平距离为 7 米，当球出手后水平距离为 4 米时到达最大高度 4 米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面 3 米． (1) 建立如图所示的平面直角坐 标系，问此球能否准确投中？
解：(1) 由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为 A(0， )，B(4，4)，C(7，3)，其中 B 是抛物线的顶点．设二次函数关系式为 y＝a(x－h)2＋k，将点 A、B 的坐标代入，可得y＝－ (x－4)2＋4.将点 C 的坐标代入上式，得左边＝3，右边＝－ (7－4)2＋4＝3，左边＝右边，即点 C 在抛物线上．所以此球一定能投中；
(2) 此时，若对方队员乙在甲面前 1 米处跳起盖帽 拦截，已知乙的最大摸高为 3.1 米，那么他能否 获得成功？
(2) 将 x＝1 代入函数关系式，得 y＝3. 因为 3.1＞3， 所以盖帽能获得成功．
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系
y = ax2+bx+c(a ≠ 0)，当 y 取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c = 0(a ≠0)，右边换成 y 时就成了二次函数.
二次函数与一元二次方程根的情况
二次函数与 x轴的交点个数