初中数学湘教版（2024）八年级上册（2024）2.1 分式的概念及基本性质第二课时教学设计

这是一份初中数学湘教版（2024）八年级上册（2024）2.1 分式的概念及基本性质第二课时教学设计，共6页。
课题
2.1分式的概念及基本性质（2）
单元
第2单元
学科
数学
年级
八年级上册
教材分析
分式的基本性质是在小学学习了分数的基本性质的基础上进行的，是分式变形的依据，也是进一步学习分式的通分及四则运算的基础，本节内容是学好本章及以后学习方程、函数等问题的关键,对后续学习有重要影响.
核心素养
能力培养
1.通过类比分数的基本性质,理解并掌握分式的基本性质；会用分式的基本性质将分式进行简单的恒等变形；利用类比探究式教学,对分式的基本性质及符合法则的探究过程,在探究中获得一些探索定理性质的初步经验；
2.通过分数与分式的比较,培养学生良好的类比思维习惯和思想方法。通过对分式基本性质的探究，在探究过程中培养学生的观察能力及语言表达能力；在探究的过程中培养学生善于观察、勇于探索和勤于思考的精神,在合作与交流活动中发展学生的合作意识和团队精神,在探究活动中获得成功的体验。渗透类比转化的数学思想方法。
教学目标
1.使学生理解并掌握分式的基本性质，并能运用这些性质进行分式的恒等变形.
2.通过分式的恒等变形提高运算能力.
3.渗透类比转化的数学思想方法.
教学重点
使学生理解并掌理分式的基本性质，这是学好本章的关键。
教学难点
灵活运用分式的基本性质和变号法则进行分式的恒等变形。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
复习回顾
1.分式的概念：
设f 和g都是多项式，其中g不为0. 我们把f 除以g的结果记作fg，称fg是分式，其中f 称为分子，g称为分母.
2.分式fg存在的条件是g≠0；
分式fg不存在的条件是g＝0；
分式fg的值为0的条件是f＝0且g≠0．
学生回忆分式的概念，思考回答。
用旧知回顾的方式设置导入，培养学生的数学知识整体性思维，加强本节课与前面所学的联系，由浅入深增强学生的学习积极性.
新知探究
说一说：
我们已经知道，分数具有如下基本性质：
分数的分子与分母都乘同一个不为0的数，分数的值不变.
类似地，对于分式fg，若h是不为0的多项式，则
f·ℎg·ℎ=fg ①
从右到左看①式，可以发现：分式的分子与分母都乘同一个不为0的多项式，所得分式与原分式相等.
从左到右看①式，可以发现：分式的分子与分母都除以同一个不为0的多项式，所得分式与原分式相等.
分式的基本性质:
一般地，分式具有如下基本性质：
分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为0的多项式，所得分式与原分式相等.
f 2f=f ·f 1·f=f 1
由于不为 0 的多项式 f 可以看成分式f2f，则利用分式的基本性质可得， ，因此f 可以看成 f1.
字母表示：
其中A,B,C是整式.
思考:
（1）−f−g=fg （2）−fg=f−g
下列关于分式的等式是否成立？为什么？
（−f）÷（−1）（−g）÷（−1）=fg
解：（1） 分式−f−g的分子与分母都除以-1，根据分式的基本性质得 ，
即−f−g=fg.
（−f）·（−1）（g）·（−1）=f−g
分式−fg的分子与分母都乘-1，根据分式的基本性质得 ，
即−fg=f−g.
分式的符号法则：
分式的分子、分母与分式本身这三处的正负号，同时改变两处，分式的值不变.
式子表示：

做一做：
5xx2−3x=5( )
利用分式的基本性质填空，并说明理由.
5xx2−3x=5·xx·(x−3)=5x−3
由于5x = 5⋅x，x2 - 3x = x⋅（x - 3），于是，由分式的基本性质得
约分:
像这样，利用分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去（即分子与分母都除以它们的公因式），叫作分式的约分.
找公因式方法:
（1）找系数的最大公约数；
（2）找分子、分母相同因式的最低次幂；
（3）两者的乘积即为公因式.
分式的约分的一般步骤:
（1）若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公因式，即分子、分母系数的最大公约数和分子、分母中的相同字母的最低次幂的乘积；
（2）若分式的分子、分母中至少有一个是多项式，应先分解因式，再确定公因式并约去.
在小学就已知道，如果一个分数的分子与分母没有公因数，那么称这个分数是最简分数.
类似地，分式5xx2−3x经过约分后得到5x−3，约分后其分子与分母没有公因式. 由此引出下述概念：
最简分式：
如果分式的分子与分母没有公因式，那么称这个分式是最简分式.
例3
把下列分式化成最简分式：
（1）24xy34x2 y2; （2）x2−2xx2 −4x+4.
分析：化成最简分式的方法是约分. 若分子或分母是多项式，应先将其因式分解，然后找出分子与分母的公因式，最后约去公因式.
解：（1）24xy34x2 y2=4xy2·6y4xy2·x=6yx
（2）x2−2xx2 −4x+4=x(x−2)(x−2)2=xx−2
x2−2xy+y2x2 −y2
例4
当x = 23，y = 17时，求分式 的值
解：x2−2xy+y2x2 −y2 = (x−y)2(x+y)(x−y) = x−yx+y,
将x−yx+y中的x,y分别用23,17代入，则分式x−yx+y的值为23−1723+17 = 640 = 320.
因此，当x = 23，y = 17时，分式x2−2xy+y2x2 −y2的值为320.
直接将x,y的值代入原分式，算一算，哪个简便？
解：将x = 23，y = 17代入分式
x2−2xy+y2x2 −y2 =232−2×23×17+172232 −172 =320
学生由之前学的分数的基本性质探索得出分式的基本性质。
学生在教师的引导下总结分式的基本性质。
学生小组合作解答。
学生利用分式的基本性质作答。
学生通过分式的基本性质总结出约分的概念及一般步骤。
小组合作解答。
通过分数与分式的比较,培养学生良好的类比思维习惯和思想方法。
培养学生的总结归纳能力。
提高学生合作交流能力，主动参与课堂。
巩固对分式基本性质的理解。
提高学生主动探索的精神，增强自信心。
通过例题检验学生对最简分式的理解，会用约分化成最简分式，提高合作交流能力。
课堂练习
1.利用分式的基本性质填空：
（1）1−x6−x2 =x−1（ ） （2）xy =2x2y（ ）
（3）2x+1=2(x−1)（ ） （4）2x+2(x+1)(x−1)=2（ ）
解：(1)x2-6 (2)2xy2 (3)x2-1 (4)x-1
2.把下列分式化成最简分式：
18x4y312x2y4 (2)8x(x−y)6y(y−x) (3)y+5y2+10y+25
(4) (x+y)2−z2x+y+z (5)x2−xyx2−y2
解：(1) 18x4y312x2y4 = 3x22y
(2)8x(x−y)6y(y−x) =-4x3y
(3)y+5y2+10y+25 = 1y+5
(4) (x+y)2−z2x+y+z =x+y−z
(5)x2−xyx2−y2 =xx+y
3.当x = 41，y = 13时，求分式x2−9y2x2+6xy+9y2的值.
解：x2−9y2x2+6xy+9y2 = (x+3y)(x−3y)(x+3y)2 =x−3yx+3y ,
将x−3yx+3y中的x,y分别用41,13代入，则分式x−3yx+3y
的值为41−3×1341+3×13 = 280 = 140.
因此，当x = 41，y = 13时，分式x2−9y2x2+6xy+9y2的值为140.
学生利用已学知识计算解答，小组交流谈论，派代表板书答案。
通过练习巩固本课所学，及时发现学生掌握新知识的情况，巩固并学习新知识。
课堂小结
1.分式的基本性质:
分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为0的多项式，所得分式与原分式相等.
2.约分:
利用分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去（即分子与分母都除以它们的公因式），叫作分式的约分.
3.最简分式：
如果分式的分子与分母没有公因式，那么称这个分式是最简分式.

学生回顾总结本节知识点，教师系统归纳。
帮助学生归纳总结，巩固所学知识。
作业布置
必做题：教材习题2.1--学而时习之 3题、4题、5题、6题
选做题：教材习题2.1--温故而知新 7题、8题