初中数学第3章 二次根式3.1 二次根式的概念及性质第二课时教案设计

这是一份初中数学第3章 二次根式3.1 二次根式的概念及性质第二课时教案设计，共4页。
课题
3.1二次根式的概念及性质（第二课时）
单元
第3单元
学科
数学
年级
八年级上册
教材分析
本节是在研究了二次根式的概念及其有意义的条件的基础上学习的，二次根式的性
质是学习本章的关键，本节学习积的算术平方根的性质，利用该性质进行二次根式的化简，为之后学习二次根式的四则运算做铺垫。
核心素养
能力培养
进一步培养学生运用二次根式的性质进行二次根式化简的能力，提高运算能力；利用二次根式的性质进行计算和化简，培养学生思维的严谨性和良好的运算习惯;通过多种方法化简二次根式，渗透事物间相互联系的辩证观点.
教学目标
1.能准确利用积的算术平方根的性质进行化简;
2.能准确将二次根式计算的结果用最简二次根式表示出来.
教学重点
掌握积的算术平方根的性质，并会根据性质把二次根式化简;
教学难点
理解最简二次根式的概念，并会把二次根式化为最简二次根式.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
复习回顾
（新知导入）
二次根式概念:
一般地，形如a的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.
学生回忆，思考回答。
用旧知回顾的方式设置导入，培养学生的数学知识整体性思维，加强本节课与前面所学的联系，由浅入深增强学生的学习积极性.
新知探究
思考：
（1） 填空：
①4 × 9 = 6 ，
4 × 9 = 6 ；
② 9 × 16 = 12 ，
9 × 16 = 12 .
（2） 当a≥ 0，b≥ 0时，猜想a · b和a ⋅b 的关系，并说明理由.
猜想：a · b=a ⋅b.
证明：一般地，当a ≥ 0，b ≥ 0时，由于
（a ⋅b）2 =（a）2 ⋅（b）2 = a ⋅ b，
因此a · b=a⋅b.
积的算术平方根的性质:
a · b=a⋅b（a≥ 0，b ≥ 0）.
积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.
上述等式就是积的算术平方根的性质 . 利用这一性质，可以化简二次根式.
注意：
公式中的a，b既可以是一个数，也可以是一个式子.
乘积中各个因式必须都为非负数，若不是非负数，应将其化成非负数再运用公式化简.
例4
化简下列二次根式：
（1） 18； （2）20；（3）72 .
解：（1）18=32 × 2 =32 ×2 =32.
（2）20= 22× 5 =22 ×5 = 25 .
（3）72 = 2 × 62 = 2×62 =2× 6 = 62.
化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含开得尽方的因数.
例5
化简下列二次根式：
35； （2）512
解：（1）35=3×55×5=1552=（15）2×15=155.
（2）512=522×3 =5×322×32 =（12×3）2×15=156
化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母.
从例 4和例 5看到，二次根式经过化简后的结果，具有以下特点：
被开方数不含分母，且不含开得尽方的因数（或因式）.
这样的二次根式叫作最简二次根式. 在二次根式的运算中，要把最后结果化成最简二次根式.
最简二次根式满足的两个条件:
(1)被开方数中不含开得尽方的因数(或因式)；
(2)被开方数不含分母.
判断一个二次根式是否是最简二次根式，要紧扣两个条件：
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数中每个因数(或因式)的指数都小于根指数2，即每个因数(或因式)的指数都是1.
注意：分母中含有根式的式子不是最简二次根式.
学生进行计算，并观察计算结果，总结规律。
根据学生回答情况，师生共同总结得出: (1) 被开方数都是正数; (2) 一个二次根式等于两个二次根式的乘积.
学生独立计算。
学生通过例题和教师的引导总结最简二次根式分概念及判断方法。
学生主动探索发现，理解积的算术平方根的性质:a · b=a⋅b（a≥ 0，b ≥ 0），在教师的讲解下，知道公式中的a，b既可以是一个数，也可以是一个式子.
乘积中各个因式必须都为非负数，若不是非负数，应将其化成非负数再运用公式化简.
让学生知道如何利用积的算术平方根的性质进行化简二次根式，提醒学生注意最后结果要求被开方数不含开得尽方的因数，化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母.
让学生理解最简二次根式的概念，井会判断一个二次根式是否属于最简二次根式.
课堂练习
1.化简下列二次根式：
（1） 24； （2）28 ； （3）32； （4）54 .
解：（1） 24=26 （2）28 = 27
32= 42 （4）54=36
2.化简下列二次根式：
（1） 52； （2）712 ； （3）23； （4）320 .
解：（1）52=104
（2）712=216
（3）23=63
（4）320=1510
学生计算解答，小组交流谈论，派代表板书答案。
通过练习巩固，及时发现学生掌握新知识的情况，巩固并学习新知识。
课堂小结
1.积的算术平方根的性质:
a · b=a⋅b（a≥ 0，b ≥ 0）.
2.最简二次根式满足的条件:
(1)被开方数中不含开得尽方的因数(或因式)；
(2)被开方数不含分母.
学生回顾总结，教师系统归纳。
帮助学生归纳总结，巩固所学知识。
作业布置
必做题：教材习题3.1--学而时习之 4题、5题
选做题：教材习题3.1--温故而知新 6题