湘教版（2024）八年级上册（2024）3.1 二次根式的概念及性质第一课时教案

这是一份湘教版（2024）八年级上册（2024）3.1 二次根式的概念及性质第一课时教案，共4页。
课题
3.1二次根式的概念及性质（1）
单元
第3单元
学科
数学
年级
八年级上册
教材分析
本节是在数的开方的基础上展开的，是算术平方根概念的抽象与扩张，本节的重点是二次根式的定义及相关性质，本节的关键是理解二次根式的概念和性质，它们是学习二次根式的化简和运算的依据.
核心素养
能力培养
了解二次根式的概念和基本性质,通过对二次根式的概念和性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力,培养学生从具体到抽象的概括能力;让学生感受数学活动中的探索性和创造性,提高学习数学的兴趣;经历观察、比较、总结和应用数学等活动，感受数学活动充满了探索性与创造性.体会发现的快乐，并提高应用的意识.
教学目标
1.了解二次根式的概念，理解被开方数必须是非负数.
2.利用二次根式a (a≥0) 有意义的条件，会求被开方数中字母的取值范围.
3.掌握二次根式的两条重要性质，并应用性质化简二次根式.
教学重点
二次根式的概念和基本性质.
教学难点
二次根式的应用及其被开方数的取值范围.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
复习回顾
（新知导入）
问题1 什么叫做平方根？
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根？
如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.用a (a≥0) 表示.
问题3 什么数有算术平方根？
我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.
学生回忆,思考回答。
用旧知回顾的方式设置导入，培养学生的数学知识整体性思维，加强本节课与前面所学的联系，由浅入深增强学生的学习积极性.
新知探究
思考:
2，3，5的算术平方根分别怎样表示的？
用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度（称为第一宇宙速度），才能克服地球的引力，将飞船送入环地球运行的轨道 .第一宇宙速度 v与地球半径 R之间存在如下关系：v2 = gR，其中 g 为重力加速度. 若已知地球的半径R，则第一宇宙速度 v 是多少？（用带有根号的式子表示）
解：因为速度一定大于0，所以第一宇宙速度v =gR .
比较(1)(2)的结果，它们在表达形式上有什么共同特征？
解：gR与2，3，5等都是形如a的式子.
二次根式:
一般地，形如a的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.
二次根式的特征：
(1)必须含有二次根号“”， “”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”.
(2)二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子.
我们知道：
每一个正实数a有且只有两个平方根，分别为a和-a，其中a称为a的算术平方根.
同时，在实数范围内，负实数没有平方根，因此，只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.
二次根式有意义的条件:
只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义. 反之也成立，即a有意义 a ≥ 0.
求含有字母的式子有意义的字母取值范围的方法：
(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负实数；
(2)如果一个式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数是非负实数，分式的分母不等于0；
(3)如果一个式子中既有二次根式又含有零指数幂或负整数指数幂，那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数是非负实数且零指数幂或负整数指数幂的底数不等于0.
例1
当x是怎样的实数时，二次根式x − 1在实数范围内有意义？
解：由x - 1 ≥ 0，解得x ≥ 1.
因此，当x ≥ 1时，x − 1在实数范围内有意义.
对于非负实数a，由于a是a的一个平方根，因此
（a）2 = a（a≥ 0）.
例2
计算：
（1）（2）2； （2）（-22）2
解：（1）（5）2 = 5.
（2）（-22 ）2=（22）2 = 22 ×（2）2 = 4 × 2 = 8
做一做:
填空：
22 = 2 ； （2） 1.22 = 1.2 ；
（3） （−2）2= 2 ；
（4） （−1.2）2= 1.2 .
由于a的平方等于a2，因此a是a2的一个平方根. 当a ≥ 0时，根据算术平方根的意义，有a2= a，由此得出：
a2= a（a≥ 0）.
由于-a的平方等于a2，因此-a是a2的一个平方根. 当a 0根据算术平方根的意义，可以得到：
a2 =(−a)2 =-a（a＜ 0）.
综上可得：
例3
计算：
（1）（3−π）2； （2）（2−3）2
解：（1）（3−π）2 =| 3- π |= π - 3.
（2）（2−3）2=| 2−3 |= 3-2.
二次根式的性质：
(1)双重非负性：二次根式a表示非负数a 的算术平方根，因此a ≥ 0，a≥ 0；
(2)(a)2=a(a ≥ 0)，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
(3)
即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值.
学生思考作答。
让学生自主观察，交流讨论,得出二次根式的特征。
学生在教师的引导下总结二次根式有意义的条件。
学生独立完成。
学生独立完成，展示计算结果。
学生认真计算，观察发现a2= a（a≥ 0），进一步探究发现a2 =(−a)2 =-a（a＜ 0）。
学生利用二次根式的性质计算解答。
从具体事例引入，学生感到亲切熟悉,调动学习的积极性和学习兴趣.顺其自然地引出新知识一一二次根式的概念，这样，衔接自然，过渡合理.
充分发挥学生的
自主能动性,准确理解二次根式的概念.
通过引导学生发现二次根式有意义的条件，提高学生观察主动思考的能力。
加强对二次根式的被开方数是非负数的理解。
加强对二次根式的性质（a）2 = a（a≥ 0）的理解及运用。
培养学生观察发现问题的能力，总结二次根式的性质。
进一步提高学生运用二次根式的性质来解决实际问题的能力。
课堂练习
1.当x是怎样的实数时， 下列二次根式有意义？
（1）1 − x； （2）2x − 3 .
解：（1）x≤1；
（2）x≥32.
2.计算：
（1）（- 3）2； （2） (52) 2
3.计算：
（1） 72； （2）（−3）2
（3） （1−2）2； （4）（5−2）2
解：（1）（- 3）2=3 （2） (52) 2=54
解：（1）72=7
（2）（−3）2=3
（3） （1−2）2=2-1
（4）（5−2）2=5−2
学生思考计算解答，小组交流谈论，派代表板书答案。
通过练习巩固，及时发现学生掌握新知识的情况，巩固并学习新知识。
课堂小结
1.二次根式的定义:
一般地，形如a的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.
二次根式有意义的条件:
只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义. 反之也成立，即a有意义 a ≥ 0.
3.二次根式的性质：
(1)双重非负性：二次根式a表示非负数a 的算术平方根，因此a ≥ 0，a≥ 0；
(2)(a)2=a(a ≥ 0)，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
(3)
即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值.
学生回顾总结，教师系统归纳。
帮助学生归纳总结，巩固所学知识。
作业布置
必做题：教材习题3.1--学而时习之 1题、2题、3题
选做题：教材习题3.1--温故而知新 7题