3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（第4课时）（教学课件）数学新教材苏科版九年级上册

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掌握过圆外一点作圆两条切线的尺规作图方法，理解作图原理．
理解切线长的定义，掌握切线长定理．
能运用切线长定理进行线段相等的证明与计算．
1．圆的切线的性质定理是什么？判定定理呢？
性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2．已知圆上一点，如何过该点作圆的切线？
连接圆心与圆上点得到半径，过该点作半径的垂线就是圆的切线．
1．如图，如果点 P 不在圆上，而在圆外，还能用上述方法画切线吗？试一试．
2．假设PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接OA、OP．∠OAP是多少度？
点A在以OP为直径的圆上．
3．点A在怎样的圆上？为什么？
过圆外一点如何作这个圆的切线？
② 以 OP 为直径作圆，交⊙O于点A，B．
③ 连接PA，PB．PA，PB 即为所求．
证明：连接OA，设OP的中点为O′．∵ OP是⊙O′的直径，∴ ∠OAP＝90°，即 OA⊥PA．又∵ OA是⊙O半径，∴ PA是⊙O切线（圆的切线判定定理），同理，PB是⊙O切线．
在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长（length f the tangent）．
如右图，PA，PB是点P到⊙O的切线长．
注意：切线是一条与圆相切的直线，不可度量． 切线长是切线上一段线段的长,即圆外一点与切点间的距离，可度量．
这个图形是轴对称图形吗？对称轴是哪条直线？
是，对称轴为 OP 所在直线．
OA＝OB，PA＝PB．
图中有哪些相等的线段？
已知：如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B．求证：PA＝PB．证明：连接 OA，OB，OP．∵ PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，∴ PA⊥OA，PB⊥OB（圆的切线性质定理）．在 Rt△POA 和 Rt△POB 中，∵ OA＝OB，OP＝OP，∴△POA≌△POB（HL）．∴ PA＝PB．
过圆外一点可作圆的两条切线，切线长相等．
于是，我们得到切线长定理：
符号语言：∵ PA、PB分别切⊙O于A、B，∴ PA＝PB．
证明：连接OD，OE．∵ AB，AC是小圆的两条切线，切点分别为D，E，∴ AD＝AE（切线长定理）， AB⊥OD，AC⊥OE．∵ AB，AC是大圆的弦，∴ AB＝2AD，AC＝2AE（垂径定理）．∴ AB＝AC．
例5 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB，AC 分别与小圆相切于点D，E．求证：AB＝AC．
图中，如果连接 DE，BC，那么 DE 与 BC 有怎样的位置关系和数量关系？为什么？
如图，PA，PB 是⊙O 的切线，切点分别为 A，B，直线 OP 交⊙O于点C，D，交AB于点E．根据题设条件，你能得到哪些结论？
解：① 整个图形是轴对称图形，直线OP是它的对称轴；②切线的性质包含在图形中；③ 连接两个切点何半径，可以得到两个等腰三角形，体现“等腰三角形三线合一”的性质；④ 射线PD平分∠APB，直线 PD垂直平分线段AB；⑤ 体现“垂径定理”；⑥ 连接两个切点和过切点的两条半径，可以得到直角三角形及其斜边上的高.
1．图中所有的垂直关系：OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP．
2．图中相等的角： ∠OAE＝∠OBE＝∠APE＝∠BPE， ∠AOE＝∠BOE＝∠PAE＝∠PBE．
3．图中所有的相等的线段： PA＝PB，AE＝BE，OA＝OB．
4．图中所有的全等三角形： △AOP≌△BOP， △AOE≌△BOE， △AEP≌△BEP．
5．图中所有的等腰三角形：△ABP ， △AOB．
在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形．
1．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别为P，C，D． 已知 AB＝5，AC＝3．求 BD 的长．
解：∵ AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别 为P，C，D，AC＝3， ∴ AP＝AC＝3，BD＝BP（切线长定理）． ∵ AP ＋BP＝AB＝5， ∴ BD＝BP＝AB－AP＝5－3＝2．
证明：∵ AB，BC，CD，DA 与⊙O分别相切 于点E，F，G，H， ∴ AE＝AH，BE＝BF，CG＝CF，DG＝DH． ∴ AE＋BE＋CG＋DG＝AH＋BF＋CF＋DH． ∴ AB＋CD＝AD＋BC．
2．如图，四边形ABCD的各边与⊙O分别相切于点E，F，G，H． AB，BC，CD，DA 之间有怎样的数量关系？为什么？
圆外切四边形：两组对边之和相等，即 AB＋CD＝AD＋BC．
解：(1)∵ PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E．∴ PA＝PB，DA＝DC，EB＝EC， ∴ △PDE的周长＝PD＋DE＋PE ＝(PD＋DC)＋(PE＋EC) ＝(PD＋DA)＋(PE＋EB) ＝PA＋PB＝2PA．∵ PA＝10，∴ △PDE的周长＝2×10＝20．
(2) 连接OD、OE，若∠P＝α，求∠DOE的度数．
3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（4）
过圆外一点作圆的切线：连线段→作辅助圆→画切线
切线长的定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点 之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长．
切线长定理：过圆外一点可作圆的两条切线，切线长相等．
常作的辅助线：(1)连接圆心和切点；(2)连接两切点； (3)连接圆心和两切线的交点．