数学五年级上册（2024）第六单元 多边形面积的计算三角形的面积优秀第二课时精练

这是一份数学五年级上册（2024）第六单元 多边形面积的计算三角形的面积优秀第二课时精练，文件包含西师大版小学数学五上第2课时三角形的面积讲义与练习学生版docx、西师大版小学数学五上第2课时三角形的面积讲义与练习教师版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共13页， 欢迎下载使用。
本课核心问题
怎样借助平行四边形推导出三角形的面积公式，并用它解决实际问题？
一、学习目标
1. 理解三角形面积公式的推导过程，能借助平行四边形说明三角形的面积与等底等高平行四边形面积的关系
2. 掌握三角形面积公式（底×高÷2），能正确选择对应的底和高计算三角形的面积
3. 能运用三角形面积公式解决简单的实际问题，包括已知面积逆向求底或高
二、重点
• 三角形面积公式的推导：两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形
• 三角形面积公式：S = a×h÷2
三、难点
• 理解等底等高是三角形面积等于平行四边形面积一半的前提条件
• 底和高的对应关系——选择不同的底，对应的高也不同
学习支架
两个完全一样的三角形拼成平行四边形
三角形与拼成的平行四边形的关系
四、知识要点
1. 三角形面积公式的推导
我们已经学过平行四边形的面积=底×高。能不能借助平行四边形来研究三角形的面积呢？可以用拼的方法来试一试。取两个完全一样的三角形，把其中一个旋转180°后，拼到另一个三角形的旁边，就能拼成一个平行四边形。拼的时候要注意：两个三角形的对应边要完全重合，这样才能保证拼出来的是标准的平行四边形。观察拼成的平行四边形和原来的三角形，可以发现以下关系：（1）平行四边形的底等于三角形的底；（2）平行四边形的高等于三角形的高；（3）拼成的平行四边形正好由这两个完全一样的三角形组成，因此平行四边形的面积等于两个三角形面积之和。因为平行四边形的面积=底×高，而它等于两个三角形面积之和，所以：三角形的面积=平行四边形的面积÷2=底×高÷2
这就是三角形面积公式的推导过程。整个推导的核心思路是转化——把未知的三角形面积问题转化为已知的平行四边形面积问题来解决。这种把新问题转化为旧问题的方法，在数学学习中非常重要。关键认识：三角形的面积是等底等高平行四边形面积的一半。这里等底等高是前提条件——三角形的底和高必须与平行四边形的底和高分别对应相等，三角形的面积才是平行四边形面积的一半。如果底或高不相等，就不能直接说面积是一半的关系。例如，一个底10 cm、高6 cm的三角形面积是30 cm²，而一个底10 cm、高6 cm的平行四边形面积是60 cm²，两者等底等高，三角形面积正好是平行四边形的一半。特别注意：必须是两个完全一样的三角形才能拼成平行四边形。面积相等但形状不同的三角形不能拼成平行四边形。所谓完全一样，就是形状和大小都相同，能够完全重合。
2. 三角形面积公式
三角形面积公式：S = a×h÷2
其中，a表示三角形的底，h表示底边上的高，S表示三角形的面积。使用公式时需要注意以下三点：1. 底和高必须对应。三角形有三条边，每条边都可以作为底，但选择不同的边作为底时，对应的高也不同。高是从底边对角的顶点向底边所在直线作的垂线段。计算时，必须用同一条底边和它对应的高相乘。2. 一定不要忘记除以2。这是三角形面积公式与平行四边形面积公式最关键的区别。平行四边形面积=底×高，三角形面积=底×高÷2。很多同学在计算时忘记除以2，导致结果扩大2倍。3. 直角三角形的两条直角边互为底和高。在直角三角形中，如果选择一条直角边作为底，那么另一条直角边就是对应的高，面积=一条直角边×另一条直角边÷2。不需要再另外找高。
3. 三角形面积公式的应用
运用三角形面积公式可以解决两类常见问题：第一类——已知底和高求面积：直接代入公式 S = a×h÷2 计算。这是最基本的应用，只要找到对应的底和高，就能求出面积。第二类——已知面积和底（或高），逆向求高（或底）：- 已知面积和底求高：h = 2×S÷a
- 已知面积和高求底：a = 2×S÷h
逆向运用公式时，关键在于正确变形。由 S = a×h÷2 两边同时乘以2，得到 2S = a×h，再除以已知的量，就能求出未知的量。解决实际问题时要注意以下几点：1. 计算前先统一单位，确保底和高的单位一致。例如底以米为单位、高以厘米为单位时，要先统一成同一种单位再计算。2. 直角三角形可以直接用两条直角边相乘再除以2，不需要另外作高。这是因为两条直角边互相垂直，一条直角边就是另一条直角边上的高。3. 当长方形纸的长和宽分别是某个直角三角形两条直角边的整数倍时，长方形可以正好分割成若干个这样的三角形，不存在边角料浪费。此时，长方形面积÷一个三角形面积=可剪三角形的个数。也可以先看长和宽分别能容纳几条直角边，再相乘乘以2（每个小长方形含2个三角形）。
五、典型例题
【例1】
一个三角形交通标志牌，底是14 dm，高是9 dm。求这个标志牌的面积。
【解答】已知底a=14 dm，高h=9 dm。S = a×h÷2
= 14×9÷2
= 126÷2
= 63（dm²）
答：这个交通标志牌的面积是63 dm²。
【点拨】使用三角形面积公式时，先确认底和对应的高是否匹配。本题中14 dm是底边长度，9 dm是该底边上的高，两者对应，可以直接代入公式计算。最后记得除以2。
【例2】
学校制作三角形彩旗，彩旗的形状是直角三角形，两条直角边分别是30 cm和40 cm。用一张长120 cm、宽80 cm的长方形彩纸，最多可以做多少面这样的彩旗？
【解答】（1）一面彩旗的面积：30×40÷2 = 600（cm²）
（2）长方形彩纸的面积：120×80 = 9600（cm²）
（3）可做彩旗的面数：9600÷600 = 16（面）
答：最多可以做16面彩旗。验证：120÷30=4，80÷40=2，可以在彩纸上排成4×2=8个小长方形（每个30 cm×40 cm），每个小长方形可剪2面彩旗，8×2=16面，恰好用完彩纸。
【点拨】直角三角形的两条直角边互为底和高，直接相乘除以2即可求面积。本题中长方形的长和宽分别是三角形两条直角边的整数倍（120是30的4倍，80是40的2倍），所以彩纸可以正好用完，没有边角料浪费。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 两个完全一样的三角形可以拼成一个（________），三角形的面积是拼成的图形面积的（________）。
2. 三角形面积=（________），用字母表示是（________）。
3. 一个三角形的底是6 cm，高是5 cm，面积是多少？
4. 一个三角形的底是13 dm，高是8 dm，面积是多少？
5. 三角形的面积等于底乘高。（ ）
6. 两个面积相等的三角形一定能拼成一个平行四边形。（ ）
7. 一个三角形的面积是24 cm²，底是8 cm，高是（________）cm。
8. 直角三角形两条直角边分别是8 m和6 m，面积是多少？
★★ 能力提升
9. 下面关于三角形面积的说法，正确的是（________）。
A. 三角形面积是平行四边形面积的一半
B. 等底等高的三角形面积相等
C. 两个三角形一定能拼成一个平行四边形
D. 三角形的面积越大，底就越大
10. 一块三角形花圃，底是24 m，高是15 m。如果每平方米种4棵月季花，这块花圃一共可以种多少棵月季花？
11. 做一面三角形小旗，底是28 cm，对应的高是35 cm。做50面这样的小旗，需要多少平方厘米的布？
★★★ 拓展延伸
12. 一个三角形和一个平行四边形等底等高。平行四边形的底是18 cm，高是12 cm。（1）平行四边形的面积是多少？（2）三角形的面积是多少？（3）如果三角形面积是108 cm²，底不变，高应该是多少？
13. 有5个三角形，它们的高都相等，底分别是2 cm、3 cm、4 cm、5 cm、6 cm。（1）这5个三角形的面积之比是多少？（2）如果高是8 cm，5个三角形的面积分别是多少？（3）你发现了什么规律？
参 考 答 案
第1题：平行四边形；一半
【解析】两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，三角形的面积等于平行四边形面积的一半。
第2题：底×高÷2；S=a×h÷2
【解析】a表示底，h表示高，S表示面积。
第3题：15 cm²
【解析】S=a×h÷2=6×5÷2=15（cm²）
第4题：52 dm²
【解析】S=a×h÷2=13×8÷2=52（dm²）
第5题：×
【解析】三角形的面积=底×高÷2，不能忘记除以2。[错因:概念]
第6题：×
【解析】面积相等的三角形不一定是完全一样的（形状可能不同），只有两个完全一样的三角形才能拼成平行四边形。[错因:理解]
第7题：6
【解析】h=2×S÷a=2×24÷8=6（cm）
第8题：24 m²
【解析】直角三角形的两条直角边互为底和高，面积=8×6÷2=24（m²）
第9题：B
【解析】A错误，必须是等底等高的三角形面积才是平行四边形面积的一半；B正确，等底等高的三角形面积都相等；C错误，只有两个完全一样的三角形才能拼成平行四边形；D错误，面积还与高有关。[错因:理解]
第10题：720棵
【解析】先求三角形花圃的面积，再乘以每平方米种的棵数。面积=底×高÷2=24×15÷2=180（m²），180×4=720（棵）。
第11题：24500 cm²
【解析】先求一面三角形小旗的面积：S=28×35÷2=490（cm²），再乘以50面：490×50=24500（cm²）。
第12题：（1）平行四边形的面积：18×12=216（cm²）
（2）三角形的面积（等底等高，是平行四边形的一半）：216÷2=108（cm²）
（3）高=2×S÷a=2×108÷18=12（cm）
【解析】（1）平行四边形面积=底×高=18×12=216（cm²）。（2）等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半：216÷2=108（cm²）。（3）由S=a×h÷2得h=2S÷a=2×108÷18=12（cm），与平行四边形的高相同，验证了等底等高的关系。[错因:方法]
第13题：（1）面积之比 = 2:3:4:5:6
（2）5个三角形的面积分别为：2×8÷2=8（cm²）
3×8÷2=12（cm²）
4×8÷2=16（cm²）
5×8÷2=20（cm²）
6×8÷2=24（cm²）
（3）当三角形的高相等时，面积与底成正比例关系——底扩大几倍，面积也扩大几倍。
【解析】（1）三角形面积=底×高÷2，当高相等时，面积与底成正比，所以面积之比等于底之比2:3:4:5:6。（2）分别代入计算，高都是8 cm。（3）规律：高不变时，S=a×h÷2中h是常数，S与a成正比例。底越大，面积越大，且倍数关系一致。[错因:推理]比较项目
三角形
拼成的平行四边形
两者关系
底
a
a
相等
高
h
h
相等
面积
S = a×h÷2
2S = a×h
三角形面积是平行四边形面积的一半