西师大版（2024）五年级上册（2024）不规则图形的面积精品第4课时巩固练习

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本课核心问题
没有面积公式的图形，怎样估计它的面积才既合理又方便？
一、学习目标
1. 能用数整格和半格的方法估计不规则图形的面积，并能说出面积的合理范围
2. 通过对比不同大小方格纸的估计结果，理解方格越小估计越精确的道理
3. 能根据实际需要选择合适的方法估计生活中不规则图形的面积
二、重点
• 用方格纸估计不规则图形面积的方法：数整格 + 不完整格看作半格
• 不规则图形面积的合理范围在整格数与总格数之间
三、难点
• 理解方格大小对估计精度的影响，能合理选择方格
学习支架
方格纸——数格估面积
不同方格大小估计结果对比
估计不规则图形面积的步骤
1. 把图形放在透明方格纸下覆盖
2. 数出完整方格的数量
3. 数出不完整方格的数量，看作半格
4. 计算：整格数 + 不完整格数 ÷ 2 = 近似面积
5. 说出面积的合理范围（整格数 ~ 总格数）
四、知识要点
1. 用方格纸估计不规则图形面积的方法
生活中有很多不规则图形，比如湖泊、花田、树叶等，它们不能用我们学过的面积公式直接计算。这时可以用方格纸来估计。方法：把不规则图形放在透明方格纸下面，然后数方格。具体步骤：第一步：数出完全在图形内部的完整方格，记下数量。第二步：数出被图形边界穿过的不完整方格，记下数量。第三步：把不完整方格看作半格（即2个不完整方格算1个整格）。第四步：计算近似面积 = 整格数 + 不完整格数 ÷ 2。注意：每个小方格代表的实际面积由方格纸的规格决定。例如，每个小方格表示1 m²，那么数出的格数就是面积数。这种方法得到的不是精确值，而是一个合理的估计值。
2. 不规则图形面积的取值范围
用方格纸估计面积时，只数整格和把所有不完整方格都算作整格，会得到两个不同的结果：① 只数整格 → 比实际面积小（因为漏掉了不完整格中的部分面积）
② 全算整格 → 比实际面积大（因为不完整格中有些部分在图形外，却被算进去了）
所以，不规则图形的实际面积一定在这两个值之间：整格数 < 实际面积 < 总格数（整格数 + 不完整格数）
半格法就是取这两个极端的中间值：近似面积 = 整格数 + 不完整格数 ÷ 2
这个值在范围内，是比较合理的估计。理解这一点很重要：估计不规则图形面积时，不仅要算出近似值，还要能说出它的合理范围。
3. 方格大小对估计结果的影响
用方格纸估计面积时，方格的大小会影响估计的精确程度。想象一下：- 如果方格很大，不完整方格就多，每个不完整方格代表的面积也大，估计误差就大。- 如果方格很小，不完整方格虽然数量可能增多，但每个不完整方格代表的面积很小，估计误差就小。结论：方格越小，估计结果越接近真实面积，也就是越精确。但方格越小，数格的工作量也越大。所以实际估计时要权衡：- 需要精确结果 → 用较小的方格
- 只需粗略估计 → 用较大的方格即可
例如：估计一个操场的面积用1 m²的方格就够了，但估计一片小树叶的面积可能需要1 cm²甚至更小的方格。
五、典型例题
【例1】
学校有一块不规则的小花园，把它放在透明方格纸下（每个小方格表示1 m²）。数得完整方格有24个，不完整方格有18个。估计这块小花园的面积大约是多少平方米？面积的合理范围是多少？
【解答】第一步：确定整格数
完整方格有24个。第二步：处理不完整方格
不完整方格有18个，看作半格：18 ÷ 2 = 9（个）
第三步：计算近似面积
近似面积 = 24 + 9 = 33（m²）
第四步：确定合理范围
只数整格：24 m²（比实际小）
全算整格：24 + 18 = 42 m²（比实际大）
所以面积的范围在 24 m² 到 42 m² 之间。答：小花园的面积大约是33 m²，面积在24至42 m²之间。
【点拨】记住三步走：先数整格，再数不完整格看作半格，最后相加。同时要能说出范围：整格数是最小估计，总格数是最大估计。
【例2】
小明用两种方格纸估计同一片树叶的面积。用边长1 cm的方格纸，数得整格12个、不完整格20个；用边长0.5 cm的方格纸，数得整格48个、不完整格24个。哪种方格纸的估计更接近实际面积？两种方法各估计多少？
【解答】方法一：用边长1 cm的方格纸
整格：12个
不完整格：20个，看作半格 → 20 ÷ 2 = 10个
近似面积 = 12 + 10 = 22（cm²）
范围：12 ~ 32 cm²
方法二：用边长0.5 cm的方格纸
注意：边长0.5 cm的方格，每个面积 = 0.5 × 0.5 = 0.25 cm²
整格：48个
不完整格：24个，看作半格 → 24 ÷ 2 = 12个
总格数 = 48 + 12 = 60个
近似面积 = 60 × 0.25 = 15（cm²）
范围：48 × 0.25 ~ 72 × 0.25 = 12 ~ 18 cm²
比较：方法一的估计范围是 12~32 cm²，跨度为20 cm²
方法二的估计范围是 12~18 cm²，跨度为6 cm²
方法二的跨度更小，说明估计更精确，更接近实际面积。答：用边长0.5 cm的方格纸估计更接近实际面积。方法一约22 cm²，方法二约15 cm²。
【点拨】比较精度时，看范围的跨度（最大值减最小值），跨度越小越精确。另外要注意：方格边长变了，每个方格代表的面积也变了，不能直接比格数。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 用方格纸估计不规则图形面积时，只数完整方格得到的结果比实际面积（________），把不完整方格全算作整格得到的结果比实际面积（________）。
2. 一个不规则图形放在方格纸下（每格表示1 m²），数得完整方格15个，不完整方格16个。用半格法估计面积是（________）m²，面积的范围在（________）至（________）m²之间。
3. 用方格纸估计面积时，方格越小，估计结果越（________）实际面积。
4. 一个池塘放在方格纸下（每格表示4 m²），数得完整方格20个，不完整方格12个。用半格法估计这个池塘的面积大约是（________）m²。
5. 用方格纸估计不规则图形面积，得到的结果是精确值。（ ）
6. 用方格纸估计面积时，不完整方格一定要看作半格。（ ）
7. 用同一张方格纸估计两个不规则图形的面积，整格数多的图形面积一定大。（ ）
8. 估计不规则图形面积时，半格法的计算公式是：近似面积 =（________）+（________）÷2，再乘以每个方格表示的面积单位。
★★ 能力提升
9. 一块不规则草地放在方格纸下（每格表示1 m²），数得整格28个，不完整格22个。下面说法正确的是（________）。
A. 这块草地的面积一定是39 m²
B. 这块草地的面积一定大于28 m²且小于50 m²
C. 这块草地的面积一定大于39 m²
D. 这块草地的面积一定小于28 m²
10. 关于方格大小与估计精度的关系，下面说法正确的是（________）。
A. 方格越大，估计越精确
B. 方格越小，估计越精确
C. 方格大小不影响估计精度
D. 方格越小，估计越不准确
11. 学校操场的跑道围成了一个不规则图形。用透明方格纸覆盖（每格表示4 m²），数得完整方格32个，不完整方格18个。（1）用半格法估计跑道围成区域的面积。（2）说出面积的合理范围。
12. 小红和小刚用不同方格纸估计同一片池塘的面积。小红用每格表示9 m²的方格纸，数得整格10个、不完整格14个。小刚用每格表示4 m²的方格纸，数得整格24个、不完整格16个。谁的估计更接近实际面积？请说明理由。
★★★ 拓展延伸
13. 一个不规则图形放在方格纸下（每格表示1 m²），用半格法估计面积为40 m²。已知不完整格有16个，求完整方格有多少个？面积的合理范围是多少？
14. 实践活动：请你找一个生活中不规则图形的物品（如一片树叶、一块石头截面图等），用两种不同大小的方格纸估计它的面积。（1）记录每种方格纸的整格数和不完整格数。（2）分别用半格法计算估计面积。（3）比较哪种方格纸的估计更精确，并解释原因。
15. 一块不规则的花圃需要铺草坪，每平方米草坪造价15元。用方格纸（每格表示1 m²）估计花圃面积，数得整格35个，不完整格20个。（1）估计铺满这块花圃大约需要多少元？（2）如果预算只有600元，这些钱够不够？说明你的判断方法。
参 考 答 案
第1题：小；大
【解析】只数整格会漏掉不完整格中的面积，所以偏小；全算整格会把图形外的部分也算进去，所以偏大。
第2题：23；15；31
【解析】半格法：15 + 16÷2 = 15 + 8 = 23 m²。范围：最小为整格数15，最大为总格数15+16=31。
第3题：接近
【解析】方格越小，每个不完整方格代表的面积越小，估计误差越小，结果越接近实际面积。
第4题：104
【解析】半格法格数 = 20 + 12÷2 = 20 + 6 = 26（格）。每格4 m²，面积 = 26 × 4 = 104 m²。
第5题：×
【解析】方格纸法得到的是估计值（近似值），不是精确值。[错因:理解]
第6题：×
【解析】看作半格是一种常用的估计方法，但不是唯一方法。也可以分别估算每个不完整格中图形约占几成，但半格法操作简便，是最常用的方法。[错因:理解]
第7题：×
【解析】整格数多不代表总面积一定大，还要看不完整格的数量。例如A图形整格10个、不完整格30个，B图形整格12个、不完整格4个，用半格法A约25格、B约14格，A反而更大。[错因:理解]
第8题：整格数；不完整格数
第9题：B
【解析】只数整格28 m²是最小估计，全算整格28+22=50 m²是最大估计，所以面积在28至50 m²之间。半格法估计约28+11=39 m²，但这只是近似值，不是精确值。A错在说一定；C错在方向判断；D方向相反。[错因:理解]
第10题：B
【解析】方格越小，每个不完整方格代表的面积越小，估计误差越小，结果越精确。[错因:理解]
第11题：164 m²
（1）半格法：32 + 18÷2 = 41（格），41 × 4 = 164（m²）
（2）最小估计：32 × 4 = 128 m²，最大估计：(32+18) × 4 = 200 m²
【解析】先算总格数再乘以每格面积。注意范围也要乘以每格面积。[错因:方法]
第12题：小红：半格法格数 = 10 + 14÷2 = 17（格），面积 = 17 × 9 = 153 m²，范围 90~216 m²，跨度126 m²
小刚：半格法格数 = 24 + 16÷2 = 32（格），面积 = 32 × 4 = 128 m²，范围 96~160 m²，跨度64 m²
小刚的范围跨度更小（64 m² < 126 m²），说明小刚的估计更精确，更接近实际面积。答：小刚的估计更接近实际面积，因为他用的方格更小，估计范围更窄。
【解析】比较精度看范围的跨度（最大值减最小值），跨度越小越精确。小刚的方格面积更小（4 m² < 9 m²），所以更精确。[错因:方法]
第13题：设完整方格有 x 个。半格法：x + 16÷2 = 40
x + 8 = 40
x = 32
完整方格有32个。最小估计 = 32 m²
最大估计 = 32 + 16 = 48 m²
面积范围在 32 至 48 m² 之间。答：完整方格有32个，面积在32至48 m²之间。
【解析】这是逆向问题：已知半格法结果和不完整格数，反推整格数。用方程 x + 16÷2 = 40 求解。[错因:方法]
第14题：参考答案（以树叶为例）：用边长1 cm的方格纸：整格8个，不完整格16个
半格法面积 = 8 + 16÷2 = 16 cm²
范围：8~24 cm²，跨度16 cm²
用边长0.5 cm的方格纸（每格0.25 cm²）：整格36个，不完整格20个
半格法格数 = 36 + 20÷2 = 46（格）
面积 = 46 × 0.25 = 11.5 cm²
范围：36×0.25~56×0.25 = 9~14 cm²，跨度5 cm²
边长0.5 cm的方格纸范围跨度更小（5 cm² < 16 cm²），估计更精确。原因：方格越小，不完整方格在总面积中占比越小，估计误差越小。
【解析】这是一个开放性实践任务，学生的数据会因所选物品和数格方式不同而不同。重点在于比较范围跨度，理解方格越小越精确。[错因:理解]
第15题：（1）半格法面积 = 35 + 20÷2 = 35 + 10 = 45（m²）
费用 = 45 × 15 = 675（元）
（2）判断方法：最小面积 = 35 m²，最少费用 = 35 × 15 = 525（元）
最大面积 = 55 m²，最多费用 = 55 × 15 = 825（元）
预算600元对应的面积 = 600 ÷ 15 = 40（m²）
面积范围是35~55 m²，40 m²在这个范围内但偏向较小的一端。用半格法估计45 m² > 40 m²，所以估计不够。但如果实际面积接近最小值35 m²，则525元 < 600元，可能够。结论：按估计值不够（需675元 > 600元），但存在不确定性。建议多准备一些预算，或用更小的方格重新估计以缩小范围。
【解析】这道题综合了面积估计和实际应用。关键在于理解估计值有误差范围，做预算时要考虑最坏情况。[错因:方法]方格边长
整格数
不完整格数
半格法估计面积
与精确值差距
2 m
8
20
18 m²
较大
1 m
33
28
47 m²
较小
0.5 m
168
44
190 m²
更小